第一节微分方程基本概念PPT讲稿.ppt

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1、第一节第一节 微分方程基微分方程基本概念本概念第1页，共14页，编辑于2022年，星期一解解一、两个实例一、两个实例例例1 一曲线通过点一曲线通过点(1,2),处的切线的斜率为处的切线的斜率为 求这曲线的方程求这曲线的方程.且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点第2页，共14页，编辑于2022年，星期一解解例例2 2 列车在平直的线路上以列车在平直的线路上以20米米/秒的速度行驶秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度当制动时列车获得加速度（1）开始制动后多少时间列车才能停住？）开始制动后多少时间列车才能停住？问问米米/秒秒2,（2）在这段时间内列车行驶了多少路程？）在这段时间内列车行驶了多少路程？

2、第3页，共14页，编辑于2022年，星期一所以，开始制动到列车完全停住共需所以，开始制动到列车完全停住共需令令=0 得得50（秒）（秒）.故故将（将（3）代入条件（）代入条件（4）得）得将（将（2）代入条件（）代入条件（5）得）得在这段时间内列车行驶了在这段时间内列车行驶了500（米）（米）.第4页，共14页，编辑于2022年，星期一 1.1.定义定义 凡含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做凡含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做 微分方程微分方程（方程）（方程）.例如例如 微分方程的实质微分方程的实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数未知函数以及未知函数的导数的导数(或微分或微分

3、)之间的关系式之间的关系式.都是微分方程。都是微分方程。注意：微分方程中必需含有未知函数的导（或微分）注意：微分方程中必需含有未知函数的导（或微分）二、微分方程的定义二、微分方程的定义第5页，共14页，编辑于2022年，星期一一一 （1 1）微分方程的阶微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为的最高阶导数的阶数称为2.微分方程微分方程分类分类1 1：微分方程中的未知函数只含一个自变量微分方程中的未知函数只含一个自变量,这样这样的微分方程称为的微分方程称为例如例如和和是是 阶微分方程阶微分方程.是是 阶微分方程阶微分方程.?二二?常微分方程。常微分方

4、程。微分方程的阶微分方程的阶.常微分方程常微分方程;偏微分方程偏微分方程.否则，称为否则，称为偏微分方程。偏微分方程。3.微分方程中的几个概念：微分方程中的几个概念：第6页，共14页，编辑于2022年，星期一一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程分类分类2:2:第7页，共14页，编辑于2022年，星期一这个函数就称这个这个函数就称这个微分微分解的分类：解的分类：且任意且任意微分方程的解有两种形式微分方程的解有两种形式（2 2）微分方程的解：微分方程的解：通解通解:如：如：如果将一个函数代入微分方如果将一个函数代入微分方程能使方程成为恒等式程能使方程成为恒等式,方程的方程的解解.

5、微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数C,C,常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同.第8页，共14页，编辑于2022年，星期一不含任意常数不含任意常数C C的解的解.特解特解:特解的图象特解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.这就是微分方程的这就是微分方程的几何意义几何意义.第9页，共14页，编辑于2022年，星期一用来确定通解中任意常数的条件用来确定通解中任意常数的条件.（如例（如例1，例，例2）（3 3）初始条件）初始条件:过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的

6、斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.第10页，共14页，编辑于2022年，星期一解解例例3右边右边=所求特解为所求特解为第11页，共14页，编辑于2022年，星期一例例4解解(特解特解?)(通解通解.)第12页，共14页，编辑于2022年，星期一(1)(2)思考：思考：第13页，共14页，编辑于2022年，星期一微分方程微分方程;微分方程的阶微分方程的阶;微分方程的解微分方程的解;通解通解;初始条件初始条件;特解特解;小小 结结思考：思考：思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.的什么解的什么解?第14页，共14页，编辑于2022年，星期一