三角函数的图象和性质精选PPT.ppt

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1、三角函数的图象和性质第1页，此课件共21页哦一、三角函数图象的作法一、三角函数图象的作法1.几何法几何法y=sinx 作图步骤作图步骤:(2)平移三角函数线平移三角函数线;(3)用光滑的曲线连结各点用光滑的曲线连结各点.(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线等分单位圆作出特殊角的三角函数线;xyoPMA xyoy=sinx-1 1 o1 A2 23 2 第2页，此课件共21页哦2.五点法作函数五点法作函数 y=Asin(x+)的图象的步骤的图象的步骤:(1)令相位令相位 x+=0,2,解出相应的解出相应的 x 的值的值;23 2 (3)用光滑的曲线连结用光滑的曲线连结(2)中五点中五点.(2)

2、求求(1)中中 x 对应的对应的 y 的值的值,并描出相应五点并描出相应五点;3.变换法变换法:函数函数 y=Asin(x+)+k 与与 y=sinx 图象间的关系图象间的关系:函数函数 y=sinx 的图象纵坐标不变的图象纵坐标不变,横坐标向左横坐标向左(0)或向右或向右(0)或向下或向下(k0)平移平移|k|个单位得个单位得 y=Asin(x+)+k 的图象的图象.要特要特别别注意注意,若由若由 y=sin(x)得到得到 y=sin(x+)的的图图象象,则则向向左或向右平移左或向右平移应应平移平移|个单位个单位.第3页，此课件共21页哦二、三角函数图象的性质二、三角函数图象的性质 注注 正

3、正切切函数的对称中心有两类函数的对称中心有两类:一类是图象与一类是图象与 x 轴的交点轴的交点,另一类另一类是渐近线与是渐近线与 x 轴的交点轴的交点,但无对称轴但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之这是与正弦、余弦函数的不同之处处.1.正弦函数正弦函数 y=sinx(x R)是奇函数是奇函数,对称中心是对称中心是(k,0)(k Z),对称轴是直线对称轴是直线 x=k+(k Z);余弦函数余弦函数 y=cosx(x R)是偶函数是偶函数,对称中心是对称中心是(k+,0)(k Z),对称轴对称轴是直线是直线 x=k (k Z)(正正,余余弦函数的对称轴为过最高点或最低弦函数的对称轴为过最高点或

4、最低点且垂直于点且垂直于 x 轴的直线轴的直线,对称中心为图象与对称中心为图象与 x 轴的交点轴的交点).2 2 2.正切函数正切函数 y=tanx(x R,x +k,k Z)是奇函数是奇函数,对对称中称中心是心是(,0)(k Z).2k 2 第4页，此课件共21页哦三、正、余弦函数的性质三、正、余弦函数的性质1.定义域定义域:都是都是 R.2.值域值域:都是都是-1,1.对对 y=sinx,当当 x=2k+(k Z)时时,y 取最大值取最大值 1;当当 x=2k+(k Z)时时,y 取最小值取最小值-1;对对 y=cosx,当当 x=2k(k Z)时时,y 取最取最大值大值 1,当当 x=2

5、k+(k Z)时时,y 取最小值取最小值-1.2 23 3.周期性周期性:y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是的最小正周期都是 2;f(x)=Asin(x+)和和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是的最小正周期都是 T=.|2 4.奇偶性与对称性奇偶性与对称性:正弦函数正弦函数y=sinx(x R)是奇函数是奇函数,对称中对称中心是心是(k,0)(k Z),对称轴是直线对称轴是直线 x=k+(k Z);余弦函数余弦函数 y=cosx(x R)是偶函数是偶函数,对称中心是对称中心是(k+,0)(k Z),对称轴对称轴是直线是直线 x=k (k Z)(正正(余余)弦型函数的对称轴为

6、过最高点或弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于最低点且垂直于 x 轴的直线轴的直线,对称中心为图象与对称中心为图象与 x 轴的交点轴的交点).2 2 第5页，此课件共21页哦 5.单调性单调性:y=sinx 在在 2k-,2k+(k Z)上单调递增上单调递增,在在2k+,2k+(k Z)上单调递减上单调递减;y=cosx 在在 2k,2k+(k Z)上单调递减上单调递减,在在 2k+,2k+2(k Z)上上单调递增单调递增.2 2 2 23 2.值域值域是是 R,在上面定在上面定义义域上无最大域上无最大值值也无最小也无最小值值.1.定义域定义域:x|x +k,k Z.2 3.周期性周期性

7、:是周期函数且周期是是周期函数且周期是 ,它与直它与直线线 y=a 的两个相的两个相邻邻交点交点之之间间的距离是一个周期的距离是一个周期 .注注 一般一般说说来来,某一周期函数解析式加某一周期函数解析式加绝对值绝对值或平方或平方,其周期性是其周期性是:弦弦减半、切不减半、切不变变.四、正切函数的性质四、正切函数的性质第6页，此课件共21页哦oxy五、典型例题五、典型例题 例例1 利用单位圆中的三角函数线证明当利用单位圆中的三角函数线证明当 0 时时,不等式不等式 sin tan 成立成立.2 提示提示 由由 SOAPS扇形扇形OAPSOAT 得得:OAMP OA2 OAAT 121212故有故

8、有 sin tan.1sin 12 cosx.x|+2k x0,0 )是是 R 上的偶函数上的偶函数,其图象关于点其图象关于点 M(,0)对称对称,且在区间且在区间 0,上是单调函数上是单调函数,求求 和和 的值的值.43 2 解解:f(x)=sin(x+)(0,0 )是是 R 上的偶函数上的偶函数,sin(-x+)=sin(x+),即即-cos sin x=cos sin x 对任对任 意实数意实数 x 都成立都成立.0,cos=0.又又0 ,=.2 f(x)的的图象关于点图象关于点 M 对称对称,f(x)=cos x.点点 M 为为 f(x)图象的一个对称中心图象的一个对称中心.=k+(k

9、 Z).43 2 =(k Z).4k+2 3f(x)=cos x 在区间在区间 0,上是减函数上是减函数.0,第11页，此课件共21页哦2 23综上所述综上所述,=,=2 或或 .2 必有必有 ,即即 0 2.要使要使 f(x)=cos x 在区间在区间 0,上是单调函数上是单调函数,2 4k+2 300,即即 2sin(x-)0 得得:4 2k+x2k+,k Z4 45 x|2k+x0,0,x R)在一个周期内的图在一个周期内的图象如图所示象如图所示:23 2-25 27 2 oxy2 求直线求直线 y=3 与函数与函数 f(x)图象的所有交点的坐标图象的所有交点的坐标.27 解解:根据图象

10、得根据图象得 A=2,T=-(-)=4,2 =.12y=2sin(x+).1212由由 (-)+=0 得得 =.2 4 y=2sin(x+).124 由由 3=2sin(x+)得得 124 32sin(x+)=.124 x+=2k+或或 2k+(k Z).124 32 3 x=4k+或或 4k+(k Z).65 6 6 65 故所有交点坐标为故所有交点坐标为 (4k+,3)或或 (4k+,3)(k Z).第17页，此课件共21页哦 3.设函数设函数 f(x)=a b,其中向量其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx,3 sin2x),x R.(1)若若 f(x)=1-3 且且 x-,求

11、求 x;(2)若函数若函数 y=2sin2x 的图象按向量的图象按向量 c=(m,n)(|m|)平移后得到函数平移后得到函数 y=f(x)的图象的图象,求实数求实数 m,n 的值的值.3 3 2 解解:(1)依题意依题意 f(x)=2cos2x+3 sin2x=1+2sin(2x+).6 由由 1+2sin(2x+)=1-3 得得:6 sin(2x+)=-.6 32x-,2x+-,.3 3 2 6 65 2x+=-.6 3 x=-.4 由由(1)知知 f(x)=2sin2(x+)+1.12 12 m=-,n=1.|m|0,0,0 0 时时,有有-3 a+2a+b=-3,且且 4a+b=3-1.解得解得 a=1,b=3-5.故此时不存在符合条件的故此时不存在符合条件的 a,b.b Q,当当 a0 时时,有有-3 a+2a+b=3-1,且且 4a+b=-3.解得解得 a=-1,b=1,且且 a Q,b Q.故符合条件的有理数故符合条件的有理数 a,b 存在存在,且且 a=-1,b=1.第21页，此课件共21页哦