第1章 复数精选文档.ppt

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1、第1章 复数1本讲稿第一页，共五十五页第一章 复数与复变函数n复数n复数表示及运算n平面点集n复变函数极限和连续性2本讲稿第二页，共五十五页复数、复数表示及运算n复数的概念复数相等复数形如z=x+iy的数被称为复数，其中x,yR。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1复数不能比较大小3本讲稿第三页，共五十五页复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角主幅角并规定幅角按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.4本讲稿第四页，共五十五页当 z=0 时,|z|=0,而幅角不确定.arg

2、 z可由下列关系确定:说明：当 z 在第二象限时，5本讲稿第五页，共五十五页例例3 求 和解解本讲稿第六页，共五十五页n复数的表示代数表示：z=x+iy三角表示：指数表示：注意在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差7本讲稿第七页，共五十五页例例4 求 的三角表示式与指数表示式.解解因为所以设则又因为 位于第II象限所以于是本讲稿第八页，共五十五页例4 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.解1)z在第三象限,因此因此2)显然,r=|z|=1,又因此9本讲稿第九页，共五十五页n复数的运算设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1+z2=(x1+x2)+

3、i(y1+y2)复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1+(-z2)-z210本讲稿第十页，共五十五页乘法运算两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加11本讲稿第十一页，共五十五页除法运算两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减12本讲稿第十二页，共五十五页复数四则运算规律：（1）加法交换律（2）乘法交换律（3）加法结合律（4）乘法结合律（5）乘法对于加法的分配律13本讲稿第十三页，共五十五页共轭运算复数z=x+iy的共轭复数为共轭复数为 是复数z关于实轴的对称点14本讲稿第十四页，共五十五页共轭复数的运算性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）为实数.15本讲稿第十五页，共五十五页

4、n.n 例例1 化简解解16本讲稿第十六页，共五十五页例例2 设 ，求 及解解所以本讲稿第十七页，共五十五页1.复数的乘幂设 为正整数，个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即若 ，则有当 时，得到著名的棣莫弗公式18本讲稿第十八页，共五十五页例例7 求解解因为所以例例8 已知 ，求解解因为本讲稿第十九页，共五十五页所以本讲稿第二十页，共五十五页复数的方根称满足方程 的复数 为 的 次方根，记作或记作令解出由即21本讲稿第二十一页，共五十五页可求出6个根，它们是例例 解方程解解 因为所以本讲稿第二十二页，共五十五页例例2 计算解解 因为 所以 即本讲稿第二十三页，共五十五页练习24本

5、讲稿第二十四页，共五十五页平面点集邻域平面上以 为心，为半径的圆：内部所有点 的集合称为点的 邻域，记为 ，即称集合 为 的去心 邻域，记作 z025本讲稿第二十五页，共五十五页n开集开集 如果点集 的每一个点都是 的内点，则称 为开集.n闭集闭集如果点集 的余集为开集，则称 为闭集.n连通集连通集 设是 开集，如果对于 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 ，则称开集 是连通集.Dz1z2p本讲稿第二十六页，共五十五页区域区域n区域（或开区域）区域（或开区域）连通的开集称为区域或开区域.n闭区域闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为 .27本讲稿第二十七页，共五十

6、五页平面图形的复数表示 很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。例1：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为Z平面上以 Z0为中心、R为半径的圆周方程为连接z1 和z2两点的线段的参数方程为过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为28本讲稿第二十八页，共五十五页例2：考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。（1）该方程表示到点2i和2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y=x。（2）设 z=x+iy,29本讲稿第二十九页，共五十五页（3）表示实轴方向与由点

7、i 到 z 的向量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点）（4）30本讲稿第三十页，共五十五页例3：指出不等式中点z的轨迹所在范围。解：因为所以于是有31本讲稿第三十一页，共五十五页它表示在圆外且属于左半平面的所有点的集合32本讲稿第三十二页，共五十五页图 11.简单曲线、简单闭曲线平面曲线若存在满足且的使重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或则称此曲线C有，约当（Jordan）曲线；除 外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如是一条简单闭曲线（如图1）.本讲稿第三十三页，共五十五页n在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”

8、情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的 是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的 ，不是简单曲线，但 是闭曲线.图1.10 图1.11 本讲稿第三十四页，共五十五页n2.光滑曲线、分段光滑曲线n设曲线 的方程为 n 若 ，在 上可导且 ，连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.n3.单连通域、多连通域n设 是复平面上一区域，如果在 内任作一条简单闭曲线 ，其内部的所有点都在 中，则称区域 为单连通区域；否则称 为多连通区域或复连通区域.本讲稿第三十五页，共五十五页n在几何直

9、观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12）.图1.12本讲稿第三十六页，共五十五页复变函数复变函数之定义设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，有一个或多个复数=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数，或复变函数，记为=f(z)。说明1如果z的一个值对应着的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个的值，那么我们称f(z)是多值函数。38本讲稿第三十八页，共五十五页说明2复变函数=f(z)可以看作是z平面到平面上的一个映射。复变函数=f(z)可以写成=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy=f(z)z平面平面39本讲稿第三十九页，共五十五页举例求0argz,0r0,0 当当z1,z2 E且且|z1-z2|有有|f(z1)-f(z2)|55本讲稿第五十五页，共五十五页