第2章插值法精选文档.ppt

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1、第2章 插值法本讲稿第一页，共七十四页应用：例如程控加工机械零件等。应用：例如程控加工机械零件等。这样确定的这样确定的 就是插值函数。就是插值函数。本讲稿第二页，共七十四页二、一般概念二、一般概念本讲稿第三页，共七十四页本讲稿第四页，共七十四页从几何上看，插值法就是求曲线y=p(x),使其通过给定的n+1个点(xi,yi),i=0,1,n,并用它近似已知曲线y=f(x).y1ynxx1xnyx0图 2-1本讲稿第五页，共七十四页2.1.2 2.1.2 多项式插值多项式插值设在区间a,b上给定n+1个点 ax0 x1xnb上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,n),求次数不超过n的多项（1,2

2、）使 p(xi)=yi,i=0,1,n.(1.3)由此可得到关于系数a0,a1,an的n+1元线性方程组（1.4）本讲稿第六页，共七十四页此方程组的系数矩阵为A=称为范德蒙德（Vandermonde)矩阵，由于xi(i=0,1,n)互异，故detA =因此，线性方程组（1.4）的解a0,a1,an存在且唯一，于是有下面的结论：定理一定理一 满足条件（满足条件（1.3）的插值多项式）的插值多项式p(x)是存在唯一的。是存在唯一的。（1.5）本讲稿第七页，共七十四页2 2 拉格朗日插值拉格朗日插值一、线性插值和抛物插值一、线性插值和抛物插值对给定插值点,求出形如的插值多项式的方法有多种.几何意义：

3、就是通过两点（xk,yk)与（xk+1,yk+1)的直线，如图2-2所示y=L1(x)y=f(x)yk+1ykxk+1xkyx0本讲稿第八页，共七十四页本讲稿第九页，共七十四页yx0 xkxk+1111图 2-3本讲稿第十页，共七十四页几何上就是通过三点（xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1)的抛物线。本讲稿第十一页，共七十四页yx0 xkXk+1Xk-11图 2-4本讲稿第十二页，共七十四页本讲稿第十三页，共七十四页2.2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式本讲稿第十四页，共七十四页本讲稿第十五页，共七十四页需要指出需要指出(2.3)(2.3)式与（式与（2.52

4、.5）式是当）式是当n=1n=1和和n=2n=2时的特殊情形。时的特殊情形。本讲稿第十六页，共七十四页注意：n次插值多项式Ln(x)通常是次数为n的多项式，特殊情况下次数可能小于n.本讲稿第十七页，共七十四页练习练习 给定数据表给定数据表 xi 0 1 2 3 yi 0 1 5 14求三次拉格朗日插值多项式求三次拉格朗日插值多项式L3(x).本讲稿第十八页，共七十四页2.2.3 插值余项与误差估计插值余项与误差估计定义：若在a,b上用Ln(x)近似f(x)，则其截断误差为Rn(x)=f(x)-Ln(x)，也称为插值多项式的余项余项。本讲稿第十九页，共七十四页证明：由给定条件知Rn(x)在节点x

5、k(k=0,1,，n)上为零，即Rn(xk)=0(k=0,1,，n)，于是 其中K(x)是与x有关的待定函数。现把x看成a,b上的一个固定点，作函数（2.13）本讲稿第二十页，共七十四页根据 f 的假设可知 在a,b上连续，在(a,b)内存在，根据插值条件及余项定义，可知 在点 及 x 处均为零，故 在a,b上有n+2个零点，根据罗尔定理，在 的两个零点间至少有一个零点，故 在a,b内至少有n+1个零点，对 再应用罗尔定理，可知 在a,b内至少有n个零点。依此类推，在(a,b)内至少有一个零点，记为 ，使于是将它代入（2.13）式，就得到余项表达式（2.12）。证毕。注意：余项表达式只有在f(

6、x)的高阶导数存在时才能应用。本讲稿第二十一页，共七十四页本讲稿第二十二页，共七十四页利用余项表达式（2.12），当f(x)=xk(kn)时，由于f n+1(x)=0,于是有由此得（2.17）特别当k=0时，有（2.18）本讲稿第二十三页，共七十四页例例1 1 已知已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值计算和用线性插值计算和抛物插值计算抛物插值计算sin0.3367的值的值,并估计误差并估计误差.本讲稿第二十四页，共七十四页例例1 1 已知已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin

7、0.36=0.352274,用抛物插值计算用抛物插值计算sin0.3367的值的值,并估计误差并估计误差.本讲稿第二十五页，共七十四页2.3 2.3 差商与牛顿插值差商与牛顿插值2.3.1 插值多项式的逐次生成插值多项式的逐次生成利用插值基函数很容易得到拉格朗日多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为重要.但当插值节点增减时，计算要全部重新进行，甚为不便。本讲稿第二十六页，共七十四页本讲稿第二十七页，共七十四页2.3.2 均差及其性质本讲稿第二十八页，共七十四页差商的基本性质:本讲稿第二十九页，共七十四页本讲稿第三十页，共七十四页本讲稿第三十一页，共七十四页本讲稿第三十二页，共七十四页由(3.4

8、)得差商表:kxkf(xk)一阶差商 二阶差商 三阶差商 01234x0 x1x2x3x4f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)fx0,x1fx1,x2 fx0,x1,x2fx2,x3 fx1,x2,x3 fx0,x1,x2,x3fx3,x4 fx2,x3,x4 fx1,x2,x3,x4 本讲稿第三十三页，共七十四页2.3.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式本讲稿第三十四页，共七十四页（3.7）（3.8）牛顿均差插值多项式本讲稿第三十五页，共七十四页kxkf(xk)一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商012341234514786 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -

9、1/6 1/24本讲稿第三十六页，共七十四页本讲稿第三十七页，共七十四页2.3.4 2.3.4 差分与等距节点插值差分与等距节点插值上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分一、差分及其性质一、差分及其性质本讲稿第三十八页，共七十四页本讲稿第三十九页，共七十四页差分的基本性质:本讲稿第四十页，共七十四页本讲稿第四十一页，共七十四页差分表:2f0 2f1 2f2 f0f1f2f3f0f1f2f3f401234 2 3 fkk本讲稿第四十二页，共七十四页二、等距节点插值公式二、等距节点插值公式本讲稿第四十三页，共七十四页本讲稿第四十四页，共七十四

10、页本讲稿第四十五页，共七十四页2.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值本讲稿第四十六页，共七十四页本讲稿第四十七页，共七十四页本讲稿第四十八页，共七十四页本讲稿第四十九页，共七十四页本讲稿第五十页，共七十四页本讲稿第五十一页，共七十四页2.5 2.5 分段低次插值分段低次插值一、高次插值的病态性质一、高次插值的病态性质上面我们用插值多项式Ln(x)近似f(x),一般认为Ln(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好，实际并非如此。龙格给出了一个等距节点插值多项式Ln(x)不收敛于 f(x)的例子。他给出的函数为f(x)=1/(1+x2),它在-5,5上各阶导数均存在。在-5,5上取n+1个等距节

11、点所构造的拉格朗日插值多项式为如下表所示，本讲稿第五十二页，共七十四页n 2 4 6 81012141618200.1379310.0663900.0544630.0496510.0470590.0454400.0443340.0435300.0429200.042440 0.759615-0.356826 0.607879-0.831017 1.578721-2.755000 5.332743-10.173867 20.123671-39.952449-0.621864 0.423216-0.553416 0.880668-1.531662 2.800440-5.288409 10.2173

12、97-20.080751 39.994889龙格证明了，存在一个常数c3.63,使得本讲稿第五十三页，共七十四页下面取n=10，根据计算画出可以看出，在x=5附近这说明用高次插值多项式Ln(x)近似f(x)效果并不好，因而通常不用高次插值，而用分段低次插值。-51.5yx501.00.5本讲稿第五十四页，共七十四页二、分段线性插值二、分段线性插值所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).本讲稿第五十五页，共七十四页本讲稿第五十六页，共七十四页本讲稿第五十七页，共七十四页二、分段三次埃尔米特插值二、分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和导数，可构造一个导数

13、连续的插值函数Ih(x)，满足本讲稿第五十八页，共七十四页本讲稿第五十九页，共七十四页本讲稿第六十页，共七十四页根据以上证明可得：本讲稿第六十一页，共七十四页7 7 样条插值样条插值问题背景一、样条插值的概念一、样条插值的概念本讲稿第六十二页，共七十四页本讲稿第六十三页，共七十四页本讲稿第六十四页，共七十四页二、三次样条插值函数的建立二、三次样条插值函数的建立本讲稿第六十五页，共七十四页本讲稿第六十六页，共七十四页本讲稿第六十七页，共七十四页本讲稿第六十八页，共七十四页本讲稿第六十九页，共七十四页本讲稿第七十页，共七十四页本讲稿第七十一页，共七十四页本讲稿第七十二页，共七十四页本讲稿第七十三页，共七十四页三、误差界与收敛性三、误差界与收敛性作业作业 P60,20(1)只列出方程组;20(2)应得结果.本讲稿第七十四页，共七十四页