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1、第四章矩阵论第四章矩阵论1本讲稿第一页，共八十一页1 矩阵的矩阵的概念概念4.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算2 矩阵的线性运算矩阵的线性运算4 矩阵的转置矩阵的转置3 矩阵的乘法矩阵的乘法2本讲稿第二页，共八十一页引例引例产品分配问题：某厂向三个商店发送四个产品.产品产品 产品产品 产品产品 产品产品 1 2 3 4店店1店店2店店3 单单 单件单件价价 重重产品产品1产品产品2产品产品3产品产品43本讲稿第三页，共八十一页1 矩阵概念矩阵概念简记为:4本讲稿第四页，共八十一页矩阵相等矩阵相等 若两个矩阵行数相同若两个矩阵行数相同,列数也相同列数也相同,则则称为称为同型矩阵同型矩阵.

2、矩阵的相等矩阵的相等则称则称A 与与B 相等相等,记作记作 A=B.零矩阵零矩阵0 所有元素全是零的矩阵所有元素全是零的矩阵.5本讲稿第五页，共八十一页特殊矩阵特殊矩阵特殊矩阵特殊矩阵(1)n 阶方阵阶方阵 (2)行矩阵行矩阵 (又称为行向量又称为行向量)(3)列矩阵列矩阵 (又称为列向量又称为列向量)6本讲稿第六页，共八十一页对角阵对角阵(4)(4)方阵中从左上角元素到右下角元素的元素族称方阵中从左上角元素到右下角元素的元素族称为为主对角线主对角线.主对角线以外的元素都是零的方阵称为主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵对角矩阵，简称对角阵，简称对角阵.记为记为7本讲稿第七页，共八十一页

3、上、下三角阵上、下三角阵(5)(5)单位矩阵单位矩阵 主对角线上的元素全是主对角线上的元素全是1 1的对角阵的对角阵(6)(6)上三角阵上三角阵 主对角线下方所有元素均为零的主对角线下方所有元素均为零的 方阵方阵;下三角阵下三角阵 主对角线上方所有元素均为零的主对角线上方所有元素均为零的 方阵方阵.8本讲稿第八页，共八十一页2 矩阵线性运算矩阵线性运算加法加法：两同型矩阵两同型矩阵 之和为之和为 运算律运算律:9本讲稿第九页，共八十一页续续数乘数乘：运算律运算律:给定矩阵给定矩阵 及数及数 ,10本讲稿第十页，共八十一页3 矩阵的乘法矩阵的乘法的乘积为的乘积为 其中其中 A 的第的第 i 行行

4、 B 的第的第 j 列列 注意注意:A 的列数的列数=B 的行数的行数!11本讲稿第十一页，共八十一页矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质(1)结合律结合律 (AB)C=A(BC).(2)(AB)=(A)B=A(B)，(为数为数).(3)右分配律右分配律 A(B+C)=AB+AC，左分配律左分配律 (B+C)A=B A+C A.12本讲稿第十二页，共八十一页例例1 1 则则 可见可见:AB=O A=O 或或 B=O BA=CA B=C AB=BA 13本讲稿第十三页，共八十一页注解注解特别注意特别注意:(1)一般情形一般情形 AB BA 若同阶方阵若同阶方阵 A,B 满足满足 AB=BA,则称则称 A

5、 与与B 可交换可交换.(2)矩阵乘法无消去律矩阵乘法无消去律 AB=O A=O 或或 B=O.AB=AC B=C.(A B)C=O A=B.14本讲稿第十四页，共八十一页续续(1)单位矩阵在矩阵乘法中的作用单位矩阵在矩阵乘法中的作用 相当于相当于 数数 1.简写成简写成 EA=AE=A.E 与任何同阶方阵可交换与任何同阶方阵可交换.(2)纯量矩阵纯量矩阵 可见可见,纯量矩阵纯量矩阵 E 与任何同阶方阵都可交与任何同阶方阵都可交换换,它将数与矩阵之积转换为矩阵与矩阵之积它将数与矩阵之积转换为矩阵与矩阵之积.15本讲稿第十五页，共八十一页方阵的幂方阵的幂运算律运算律 16本讲稿第十六页，共八十一

6、页续续思考思考:设设 A,B 为为 n 阶方阵阶方阵,对吗？对吗？仅当仅当A,B 可交换可交换 时等号才成立时等号才成立.反例反例:17本讲稿第十七页，共八十一页4 矩阵的转置矩阵的转置运算律运算律:18本讲稿第十八页，共八十一页对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵若若 n 阶方阵阶方阵A 满足满足 则称则称 A 为对称矩阵为对称矩阵.A 为对称矩阵当且仅当：为对称矩阵当且仅当：若若 n 阶方阵阶方阵A 满足满足 则称则称 A为反对称矩阵为反对称矩阵.A 为反对称矩阵当且仅当：为反对称矩阵当且仅当：19本讲稿第十九页，共八十一页证证例例2E为为n 阶单位

7、矩阵阶单位矩阵,证明证明 H 为对称矩阵为对称矩阵,且且所以所以H 为对称矩阵为对称矩阵.20本讲稿第二十页，共八十一页1 矩阵行列式的定义矩阵行列式的定义4.2 方阵的行列式方阵的行列式2 矩阵行列式的性质矩阵行列式的性质 21本讲稿第二十一页，共八十一页二阶行列式的定义二阶行列式的定义行列式的元素行列式的元素 行标行标列标列标对角线法则对角线法则22本讲稿第二十二页，共八十一页三阶行列式的定义三阶行列式的定义不同行不同列元素乘积之代数和！不同行不同列元素乘积之代数和！加减号加减号的规律的规律:23本讲稿第二十三页，共八十一页1 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 式 1)当当 n=2时时,2

8、)当当 n 2 时时,假定假定n-1阶行列式已定义阶行列式已定义.所在行和列后所得的所在行和列后所得的n1 阶行列式阶行列式.则则n阶行列式阶行列式定义为：定义为：24本讲稿第二十四页，共八十一页续续n 阶行列式阶行列式 中划去中划去 所在的行所在的行和列后所得的和列后所得的 n1阶行列式阶行列式的的余子式余子式;的的代数余子式代数余子式.因此因此,n 阶行列式阶行列式25本讲稿第二十五页，共八十一页例例3行列式行列式和代数余子式分别为：和代数余子式分别为：26本讲稿第二十六页，共八十一页例例4 4 求下三角行列式之值求下三角行列式之值27本讲稿第二十七页，共八十一页2 性质性质拉普拉斯展开定

9、理拉普拉斯展开定理 设设Ai j 为行列式为行列式D中元素中元素ai j的代数余子式的代数余子式,则则 28本讲稿第二十八页，共八十一页例例5 5 求上三角行列式之值求上三角行列式之值29本讲稿第二十九页，共八十一页例例6 6利用对角线法则计算得：30本讲稿第三十页，共八十一页变换性质变换性质1 1交换行列式的两行交换行列式的两行(列列),行列式变号行列式变号.性质性质1 1例如例如 若若 则推论推论:行列式行列式D中有两行中有两行(或两列或两列)完全相同完全相同 D=0.31本讲稿第三十一页，共八十一页变换性质变换性质2 2性质性质2 2例如例如 若若 则D中第中第 i 行行 乘以乘以k 得

10、行列式得行列式 D1(j 列)推论推论:同一行同一行(列列)的公因子可提到行列式符号外的公因子可提到行列式符号外.32本讲稿第三十二页，共八十一页续续推广推广33本讲稿第三十三页，共八十一页变换性质变换性质3 3性质性质3 3 把行列式的某行把行列式的某行(列列)的的 k 倍加到另一行倍加到另一行(列列),行列式的值不变行列式的值不变.推论推论 D 中有两行中有两行(列列)元素成比例元素成比例 34本讲稿第三十四页，共八十一页分解性质分解性质性质性质4对行有类似结果对行有类似结果!35本讲稿第三十五页，共八十一页注解注解36本讲稿第三十六页，共八十一页例例7 7计算行列式计算行列式 37本讲稿

11、第三十七页，共八十一页例例8 8 计算计算解法解法1.D 38本讲稿第三十八页，共八十一页 计算计算解法解法2.D 39本讲稿第三十九页，共八十一页v方阵的行列式方阵的行列式由由n 阶方阵阶方阵A 的元素构成的行列式称为方阵的元素构成的行列式称为方阵 A 的行列式的行列式,定义定义运算律运算律 40本讲稿第四十页，共八十一页例例9 9设 解法解法1.解法解法2.设A为n 阶方阵,1 或或 1.41本讲稿第四十一页，共八十一页1 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵4.3 矩阵的秩与矩阵的逆矩阵的秩与矩阵的逆2 矩阵的等价与阶梯矩阵矩阵的等价与阶梯矩阵4 矩阵的逆矩阵的逆3 矩阵的秩

12、矩阵的秩42本讲稿第四十二页，共八十一页1 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵下列三种变换称为矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行初等行 变换变换:(列列)初等行变换与初等初等行变换与初等列列变换统称为变换统称为初等变换初等变换.43本讲稿第四十三页，共八十一页例例101044本讲稿第四十四页，共八十一页初等矩阵的初等矩阵的定义定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵.三种初等矩阵三种初等矩阵(1)对调单位矩阵对调单位矩阵E的第的第 i 行行(列列)与第与第j 行行(列列)E(i,j)E(i(k)(3)以数以数 k 乘第乘

13、第 j 行行(i 列列)加到第加到第 i 行行(j 列列)上上 E(i j(k)45本讲稿第四十五页，共八十一页初等矩阵初等矩阵对调对调E第第 i 行行(列列)与第与第j 行行(列列)E(i,j)作用作用 对调对调 A的第的第i 行与第行与第j 行行.对调对调 A 的第的第 i 列与第列与第j 列列.46本讲稿第四十六页，共八十一页例例11 给定矩阵给定矩阵则有则有直接计算可得：直接计算可得：47本讲稿第四十七页，共八十一页初等矩阵初等矩阵E(i(k)作用作用 对对A 施行运算施行运算 对对A施行运算施行运算 48本讲稿第四十八页，共八十一页初等矩阵初等矩阵第第i 行行(j列列)加第加第j行行

14、(i列列)的的k 倍倍E(i j(k)作用作用 对对A 施行运算施行运算 对对A施行运算施行运算 49本讲稿第四十九页，共八十一页例例1212给定矩阵给定矩阵则有则有50本讲稿第五十页，共八十一页计算得计算得所以有所以有：用一系列初等矩阵用一系列初等矩阵左乘左乘矩阵矩阵A等价于对等价于对A施加一系施加一系列初等列初等行变换行变换，用一系列初等矩阵，用一系列初等矩阵右乘右乘矩阵矩阵A等价于对等价于对A 施加一系列初等施加一系列初等列变换列变换.51本讲稿第五十一页，共八十一页2 矩阵的等价与矩阵的等价与(行行)阶梯矩阵阶梯矩阵设矩阵设矩阵A经过有限次初等变换化成矩阵经过有限次初等变换化成矩阵B，

15、则称矩阵则称矩阵A与与B等价等价，记为，记为例如，矩阵例如，矩阵等价等价.因为因为52本讲稿第五十二页，共八十一页(行行)阶梯矩阵阶梯矩阵定义定义满足下列条件的矩阵称为（行）满足下列条件的矩阵称为（行）阶梯矩阵阶梯矩阵.(1)每行第一个非零元素的列标大于或等于其行标每行第一个非零元素的列标大于或等于其行标.(2)每行第一个非零元素的列标大于其上一行第一个非零元素每行第一个非零元素的列标大于其上一行第一个非零元素的列标的列标.例如例如，初等行变换可将任意一个矩阵变为阶梯形矩阵初等行变换可将任意一个矩阵变为阶梯形矩阵！(3)所有零行（即元素全为零的行）均在非零行的下方所有零行（即元素全为零的行）均

16、在非零行的下方.53本讲稿第五十三页，共八十一页行标准形矩阵行标准形矩阵 称满足下列条件的阶梯矩阵为称满足下列条件的阶梯矩阵为行标准形矩阵行标准形矩阵：(1)各非零行的第一个非零元（即首非零元）都是各非零行的第一个非零元（即首非零元）都是1；(2)每个首非零元所在列的其余元素都是零每个首非零元所在列的其余元素都是零.例如，矩阵例如，矩阵初等行变换可将任意一个矩阵变为行标准形矩阵初等行变换可将任意一个矩阵变为行标准形矩阵！是行标准形矩阵是行标准形矩阵.54本讲稿第五十四页，共八十一页3 矩阵的秩矩阵的秩引理引理 1 1、任何一个矩阵经过有限次行初等变换、任何一个矩阵经过有限次行初等变换可以化成（

17、行）阶梯形矩阵可以化成（行）阶梯形矩阵.称与矩阵称与矩阵A等价的阶梯形矩阵的等价的阶梯形矩阵的非零行数必相等非零行数必相等.2 2、与矩阵、与矩阵A等价的任何两个阶梯形矩阵的等价的任何两个阶梯形矩阵的 非零行数为矩阵非零行数为矩阵 A的的秩秩,记作记作 r(A).规定规定:零矩阵的秩为零矩阵的秩为 0.矩阵秩的定义矩阵秩的定义 55本讲稿第五十五页，共八十一页矩阵秩的性质矩阵秩的性质 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵,若若 r(A)=n,则称则称 A为为满秩矩阵满秩矩阵;若若 r(A)n,则称则称 A为为降秩矩阵降秩矩阵.(2)矩阵的初等变换不改变矩阵的秩！即矩阵的初等变换不改变矩阵的秩！即(

18、1)行阶梯矩阵的秩等于它的非零行数行阶梯矩阵的秩等于它的非零行数.56本讲稿第五十六页，共八十一页例例13求矩阵求矩阵 A 的秩的秩解解 因为因为所以，所以，r(A)=2.57本讲稿第五十七页，共八十一页4 矩阵的逆矩阵的逆对对 n 阶方阵阶方阵 A,若存在若存在 n 阶方阵阶方阵 B,使得使得 则称则称 A 可逆可逆,B为为A 的的逆矩阵逆矩阵.命题命题 若若A 可逆可逆 A 的逆矩阵惟一的逆矩阵惟一.证则则于是有于是有证毕证毕.定义定义:58本讲稿第五十八页，共八十一页矩阵逆的性质矩阵逆的性质59本讲稿第五十九页，共八十一页例例1414求矩阵求矩阵的逆矩阵的逆矩阵.解解 构造矩阵构造矩阵则

19、则60本讲稿第六十页，共八十一页矩阵的逆求法矩阵的逆求法 例例1515解解61本讲稿第六十一页，共八十一页因此有因此有62本讲稿第六十二页，共八十一页1 线性方程组可解条件线性方程组可解条件4.4 线性方程组线性方程组2 线性方程组的解法线性方程组的解法63本讲稿第六十三页，共八十一页概述概述一般形式一般形式(1)系数矩阵系数矩阵常常向向量量 未未知知向向量量64本讲稿第六十四页，共八十一页线性方程组的矩阵形式与向量形式线性方程组的矩阵形式与向量形式矩阵形式矩阵形式向量形式向量形式(2)(3)65本讲稿第六十五页，共八十一页几个概念几个概念若有常数若有常数 ，使得方程组，使得方程组(1)中的中

20、的m个式个式若常向量若常向量b=0,则称则称 为方程组为方程组(1)的的解解.子均成为恒等式，子均成为恒等式，方程组方程组(1)有解有解,就称它是就称它是相容的相容的,方程组方程组(1)无解无解,就称它是就称它是不相容的不相容的.则称方程组则称方程组(1)为为齐次齐次线性方程组，线性方程组，否则，称方程组否则，称方程组(1)为为非齐次非齐次线性方程组线性方程组.即即(4)66本讲稿第六十六页，共八十一页1 线性方程组的可解条件线性方程组的可解条件引例引例 求解求解解解67本讲稿第六十七页，共八十一页引例（续）引例（续）68本讲稿第六十八页，共八十一页69本讲稿第六十九页，共八十一页70本讲稿第

21、七十页，共八十一页可解条件可解条件(1)无解无解 线性方程组线性方程组(2)有惟一解有惟一解(3)有无穷多解有无穷多解齐次线性方程组齐次线性方程组 一定有解一定有解.(1)有惟一零解有惟一零解(2)有非零解有非零解71本讲稿第七十一页，共八十一页例例1616 给定给定问问方程组是否有解方程组是否有解;有多少个解？有多少个解？解解 故方程组无解故方程组无解.72本讲稿第七十二页，共八十一页性质性质2 2 若若 2 线性方程组的求解方法线性方程组的求解方法均是非齐次线性方程组的解，均是非齐次线性方程组的解，也是非齐次线性方程组的解也是非齐次线性方程组的解.是非齐次线性方程组的解，是非齐次线性方程组

22、的解，是齐次方程是齐次方程 的解，的解，是非齐次线性方程组的解是非齐次线性方程组的解.推推 论论 通解为通解为 其中其中 是是一个特解，一个特解，是是 通解通解.性质性质1 若若 73本讲稿第七十三页，共八十一页例例1717给定给定求求方程组的解方程组的解.解解 故方程组有无穷多个解故方程组有无穷多个解.74本讲稿第七十四页，共八十一页原原方程组的同解方程组是方程组的同解方程组是 等价于等价于故原方程组的通解为：故原方程组的通解为：75本讲稿第七十五页，共八十一页例例1818给定给定求求方程组的解方程组的解.解解 故方程组有无穷多个解故方程组有无穷多个解.76本讲稿第七十六页，共八十一页原原方程组方程组 等价于等价于故原方程组的通解为：故原方程组的通解为：等价于等价于77本讲稿第七十七页，共八十一页例例1919求非齐次线性求非齐次线性方程组的解方程组的解.解解 得得 78本讲稿第七十八页，共八十一页故原方程组的通解为：故原方程组的通解为：79本讲稿第七十九页，共八十一页例例2020求非齐次线性求非齐次线性方程组的解方程组的解.解解 80本讲稿第八十页，共八十一页故原方程组同解于：故原方程组同解于：从而，原线性方程组的通解为：从而，原线性方程组的通解为：81本讲稿第八十一页，共八十一页