第五章 弯曲应力PPT讲稿.ppt

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1、第五章 弯曲应力第1页，共55页，编辑于2022年，星期三 51 引言引言 (Introduction)52 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams)53 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending )54 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(Shear stresses in beams and strength condition)第五章第五章第五章第五章 弯曲应力弯曲应力弯曲应力弯曲应力 (Stresses in beams)(Stresses in bea

2、ms)55 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)第2页，共55页，编辑于2022年，星期三mmF FS SM一一一一、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力 (Stresses in flexural members)(Stresses in flexural members)当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时,一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下,梁的横梁的横梁的横梁的横截面上既又弯矩截面上

3、既又弯矩截面上既又弯矩截面上既又弯矩MM,又有剪力又有剪力又有剪力又有剪力F FS S .51 引言引言 (Introduction)mmF FS S mmM 弯矩弯矩弯矩弯矩MM 正应力正应力正应力正应力 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N=d dA A 才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩剪力剪力剪力剪力F FS S 切应力切应力切应力切应力 内力内力内力内力只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力

4、元素 d dF FS S=d dA A 才能合成才能合成才能合成才能合成剪力剪力剪力剪力所以所以所以所以,在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有正应力正应力正应力正应力(Normal stresses)(Normal stresses),又有又有又有又有切应力切应力切应力切应力(Shear stresses)(Shear stresses)第3页，共55页，编辑于2022年，星期三三、分析方法三、分析方法三、分析方法三、分析方法 (Analysis method)(Analysis method)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面

5、平面弯曲时横截面 纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁(横截面上只有横截面上只有横截面上只有横截面上只有MM而无而无而无而无F FS S的情况的情况的情况的情况)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 横力横力横力横力 弯曲弯曲弯曲弯曲(横截面上既有横截面上既有横截面上既有横截面上既有F FS S又有又有又有又有MM的情况的情况的情况的情况)简支梁简支梁简支梁简支梁CDCD段任一横截面上段任一横截面上段任一横截面上段任一横截面上,剪力等于零剪力等于零剪力等于零剪力等于零,而弯矩为常量而弯矩为常量而弯矩为常量而弯矩为常量,所以该段梁的弯曲就是所以该段梁的弯曲就是所以该段梁的

6、弯曲就是所以该段梁的弯曲就是纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲；ACAC、DBDB段横力弯曲。段横力弯曲。段横力弯曲。段横力弯曲。若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常量量量量,剪力为零剪力为零剪力为零剪力为零,则该段梁的弯曲就称为则该段梁的弯曲就称为则该段梁的弯曲就称为则该段梁的弯曲就称为纯纯纯纯弯曲弯曲弯曲弯曲(Pure bending)(Pure bending).既有剪力又有弯既有剪力又有弯既有剪力又有弯既有剪力又有弯矩就是横力弯曲。矩就是横力弯曲。矩就是横力弯曲。矩就是横力弯曲。二、纯弯曲二、纯弯曲二、纯弯曲二、

7、纯弯曲（Pure bending)Pure bending)与与与与横力弯曲（横力弯曲（横力弯曲（横力弯曲（nonuniform bending)nonuniform bending)FFaaCD+FF+F.a图图 5-1AB第4页，共55页，编辑于2022年，星期三 as shown in Fig 5-1 as shown in Fig 5-1 The central region of this The central region of this beam has nobeam has no shear force shear force（剪力（剪力（剪力（剪力 ）and is subj

8、ected toand is subjected to a constanta constant bending moment bending moment（弯矩）（弯矩）（弯矩）（弯矩）equal to equal to F.a.F.a.This condition of constant bending moment This condition of constant bending moment is called is called pure bendingpure bending（纯弯曲）（纯弯曲）（纯弯曲）（纯弯曲）Pure BendingPure Bending（纯弯曲）（纯弯

9、曲）（纯弯曲）（纯弯曲）Beam with central region in pure bendingFig 5-1FFaaCD+FF+F.aAB第5页，共55页，编辑于2022年，星期三deformationdeformationgeometricgeometricrelationshiprelationship Examine the deformationExamine the deformation，then propose the hypothesisthen propose the hypothesis Distribution regularity Distribution r

10、egularity of deformationof deformationDistribution regularity Distribution regularity of stressof stressEstablish the formulaEstablish the formula变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系 观察变形，观察变形，观察变形，观察变形，提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建

11、立公式建立公式建立公式physicalphysicalrelationshiprelationshipstaticstaticrelationshiprelationship 52 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams)第6页，共55页，编辑于2022年，星期三一、实验一、实验一、实验一、实验（Experiment Experiment）1 1 1 1、变形现象、变形现象、变形现象、变形现象（Deformation phenomenon)Deformation phenomenon)第7页，共55页，编辑于2022年，星期三试验现象试验

12、现象 横线仍为直线横线仍为直线，仍与纵线正交仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短，靠底部纵靠顶部纵线缩短，靠底部纵 线伸长线伸长 纵线伸长区，截面宽度纵线伸长区，截面宽度减小减小,纵线缩短区，纵线缩短区，截面截面宽度宽度增大增大弯曲假设弯曲假设 横截面变形后仍保持平面,仍与纵线正交弯曲平面假设弯曲平面假设 各纵向”纤维”,处于单向受力状态单向受力假设单向受力假设 （纯弯与正弯矩作用）（纯弯与正弯矩作用）第8页，共55页，编辑于2022年，星期三推推 论论 梁内存在一长度不变的过渡层中性层中性层 横截面间绕中性轴相对转动 中性轴截面纵向对称轴第9页，共55页，编辑于2022年，星期三观察变形观察变形观察

13、变形观察变形提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式实实实实 验验验验平面假设平面假设平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴第10页，共55页，编辑于2022年，星期三dx图（图（图（图（b b）yzxo应变分布规律应变分布规律应变分布规律应变分布规律直梁纯弯曲时纵向纤

14、维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比图（图（图（图（a a）dx二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系（Deformation geometric relation Deformation geometric relation）图（图（图（图（c c）yzyxoobbybboo第11页，共55页，编辑于2022年，星期三三、物理关系三、物理关系三、物理关系三、物理关系(Physical relationship)所以所以所以

15、所以Hookes LawHookes LawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比成正比成正比成正比应力分布规律应力分布规律应力分布规律应力分布规律?待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径?第12页，共55页，编辑于2022年，星期三观察变形观察变形观察变形观察变形提出假设提出假设提

16、出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式实实实实 验验验验平面假设平面假设平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴第13页，共55页，编辑于2022年，星期三yzxOMd dA AzyddA A四、静力关系四、静力关系四、静力关系四、静力关系(Static relationship(Sta

17、tic relationship）横截面上内力系为垂直于横截面上内力系为垂直于横截面上内力系为垂直于横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系横截面的空间平行力系横截面的空间平行力系横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量这一力系简化，得到三个内力分量这一力系简化，得到三个内力分量这一力系简化，得到三个内力分量中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径 中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题FNMzMy内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得(1)(1)(2)(2)(3)(

18、3)第14页，共55页，编辑于2022年，星期三将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(1)(1)(1)(1)式，得式，得式，得式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(2)(2)(2)(2)式，得式，得式，得式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(3)(3)(3)(3)式，得式，得式，得式，得中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心自然满足自然满足自然满足自然满足第15页，共55页，编辑于2022年，星期三观察变形观察变形观察变形观察变形提出假设提出假设提出假设提出

19、假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式实实实实 验验验验平面假设平面假设平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心EIEIz z称为抗弯刚度称为抗弯刚度称为抗弯刚度称为抗弯刚度 (Flexural rigidity)(Flexu

20、ral rigidity)第16页，共55页，编辑于2022年，星期三纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:MM为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩y y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离I Iz z为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩讨论讨论(1)(1)应用公式时应用公式时应用公式时应用公式时,一般

21、将一般将一般将一般将 MM,y y 以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入.根据梁变形的情况直接根据梁变形的情况直接根据梁变形的情况直接根据梁变形的情况直接判断判断判断判断 的正负号的正负号的正负号的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号为正号为正号为正号).).凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力(为负号为负号为负号为负号).).(2)(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发

22、生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处则公式改写为则公式改写为则公式改写为则公式改写为引用记号引用记号引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数第17页，共55页，编辑于2022年，星期三（1 1）当）当）当）当 中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy第18页，共55页，编辑于2022年，星期三zy（2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对

23、于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和和和 直接代入公式直接代入公式直接代入公式直接代入公式求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力第19页，共55页，编辑于2022年，星期三一些易混淆一些易混淆的的概念概念 平面弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横平面弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横 向外力时的受力与变形形式

24、向外力时的受力与变形形式 纯纯 弯弯 曲梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩曲梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩 为常数的受力状态为常数的受力状态 中性轴横截面受拉与受压区的分界线中性轴横截面受拉与受压区的分界线 形心轴通过横截面形心的坐标轴形心轴通过横截面形心的坐标轴 弯曲刚度弯曲刚度EI代表梁截面抵抗弯曲变形的能力代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数抗弯截面系数Wz代表梁截面几何性质对弯曲代表梁截面几何性质对弯曲 强度的影响强度的影响中性轴中性轴与与形心轴形心轴平面弯曲平面弯曲与与纯弯曲纯弯曲 截面弯曲刚度截面弯曲刚度与与抗弯截面系数抗弯截面系数第20页，共55页，编辑于2022年，星期三例例

25、 1 梁用梁用18 工字钢工字钢 制成制成,Me=20 kNm,E=200 GPa。计算：计算：最大最大弯曲正弯曲正应力应力 max,梁轴曲率半径梁轴曲率半径 r r解：解：1.工字钢工字钢一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材（GB 706-88）18 工字钢：工字钢：第21页，共55页，编辑于2022年，星期三2.应力计算应力计算3.变形计算变形计算Me=20 kNm，E=200 GPa，求求 max 与与 r r第22页，共55页，编辑于2022年，星期三当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时,横截面上既

26、又横截面上既又横截面上既又横截面上既又 弯矩又有剪力弯矩又有剪力弯矩又有剪力弯矩又有剪力.梁在此种情况下的梁在此种情况下的梁在此种情况下的梁在此种情况下的弯曲称为弯曲称为弯曲称为弯曲称为横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲(Nonuniform bending)(Nonuniform bending)53 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal stresses of the beam in nonuniform bending)横力弯曲时横力弯曲时横力弯曲时横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力梁的横截面上既有正应力又有切应力梁的横截面上既有正应力又有切应力梁的横截面上既有正应

27、力又有切应力.切应力使横截切应力使横截切应力使横截切应力使横截面发生翘曲面发生翘曲面发生翘曲面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立时所作的平面假设和单向受力假设都不成立时所作的平面假设和单向受力假设都不成立时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲(Nonuniform bending)虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异虽然

28、横力弯曲与纯弯曲存在这些差异虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明但进一步的分析表明但进一步的分析表明但进一步的分析表明,工程中常用的梁工程中常用的梁工程中常用的梁工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式纯弯曲时的正应力计算公式纯弯曲时的正应力计算公式纯弯曲时的正应力计算公式,可以精确的计算可以精确的计算可以精确的计算可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力横力弯曲时横截面上的正应力横力弯曲时横截面上的正应力横力弯曲时横截面上的正应力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力

29、公式为第23页，共55页，编辑于2022年，星期三二、公式的应用范围二、公式的应用范围二、公式的应用范围二、公式的应用范围(The applicable range of the flexure formula)(The applicable range of the flexure formula)1 1 1 1、在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内(All stresses in the beam are below the proportional limit)(All stresses in the beam are below the proportional limit

30、)3 3 3 3、平面弯曲、平面弯曲、平面弯曲、平面弯曲（Plane bendingPlane bending）4 4 4 4、直梁、直梁、直梁、直梁（Straight beamsStraight beams）2 2 2 2、具有切应力的梁、具有切应力的梁、具有切应力的梁、具有切应力的梁（The beam with the shear stressThe beam with the shear stress）三、强度条件三、强度条件三、强度条件三、强度条件（Strength condition)：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超

31、过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力1 1 1 1、数学表达式、数学表达式、数学表达式、数学表达式（Mathematical formula)Mathematical formula)第24页，共55页，编辑于2022年，星期三2 2 2 2、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条件的应用(Application of strength condition)(Application of strength condition)(2)(2)(2)(2)设计截面设计截面设计截面设计截面(3)(3)(3)(3)确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷(1)(

32、1)(1)(1)强度校核强度校核强度校核强度校核对于铸铁等对于铸铁等对于铸铁等对于铸铁等 脆性材料脆性材料脆性材料脆性材料 (Brittle materials)Brittle materials)制成的梁制成的梁制成的梁制成的梁,由于材料的由于材料的由于材料的由于材料的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴中性轴中性轴 (Neutral axis)(Neutral axis)一般也不是对称轴一般也不是对称轴一般也不是对称轴一般也不是对称轴,所以梁的所以梁的所以梁的所以梁的(两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上两者有时

33、并不发生在同一横截面上)要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的许用拉应力许用拉应力许用拉应力许用拉应力(Allowable tensile stress)(Allowable tensile stress)和和和和许用压应力许用压应力许用压应力许用压应力 (Allowable compressive stress)(Allowable compressive stress)第25页，共55页，编辑于2022年，星期三例题例题例题例题2 2 螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长已知板长

34、已知板长已知板长3 3a a150mm150mm，压板材料的，压板材料的，压板材料的，压板材料的弯曲许用应力弯曲许用应力弯曲许用应力弯曲许用应力 140MP.140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力F F.ACBFa2a203014FRAFRB+Fa解解解解 (1)(1)作出弯矩图的作出弯矩图的作出弯矩图的作出弯矩图的最大弯矩为最大弯矩为最大弯矩为最大弯矩为FaFa(2)(2)求惯性矩，抗弯求惯性矩，抗弯求惯性矩，抗弯求惯性矩，抗弯截面系数截面系数截面系数截面系数(3)(3)求许可载荷求

35、许可载荷求许可载荷求许可载荷第26页，共55页，编辑于2022年，星期三80y1y22020120z例题例题例题例题3 T3 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉许用应力铸铁的抗拉许用应力铸铁的抗拉许用应力铸铁的抗拉许用应力为为为为 t t=30MPa,=30MPa,抗压许用应力为抗压许用应力为抗压许用应力为抗压许用应力为 c c=160MPa.=160MPa.已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知截面对形心轴Z Z的惯的惯的惯的惯性矩为性矩为性矩为性矩为 I

36、 Iz z =763cm=763cm4 4,y y1 1 =52mm,=52mm,校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m第27页，共55页，编辑于2022年，星期三RARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解解解解最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上上上 B B截面截面截面截面C C截面截面截面截面80y1y22020120z第28页，共55页，编辑于2022年，星期三例例4.4.图示矩形截面简

37、支梁，材料容许应力图示矩形截面简支梁，材料容许应力 10MPa10MPa，已知，已知q q4KN/m4KN/m，若采用截面高宽比为，若采用截面高宽比为h/bh/b5/35/3，试求梁横截面尺寸，试求梁横截面尺寸h h和和b b？解：作梁的弯矩图，解：作梁的弯矩图，解：作梁的弯矩图，解：作梁的弯矩图，+l/2弯矩的极值弯矩的极值弯矩的极值弯矩的极值=8KN.m=8KN.m第29页，共55页，编辑于2022年，星期三m3m3m=12mmh=20mm第30页，共55页，编辑于2022年，星期三一、梁横截面上的剪应力一、梁横截面上的剪应力一、梁横截面上的剪应力一、梁横截面上的剪应力（Shear str

38、esses in beams）1 1 1 1、矩形截面梁、矩形截面梁、矩形截面梁、矩形截面梁(Beam of rectangular cross section)(Beam of rectangular cross section)54 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition)（1 1 1 1）两个假设）两个假设）两个假设）两个假设 (a)(a)(a)(a)剪应力与剪力平行；剪应力与剪力平行；剪应力与剪力平行；剪应力与剪力平行；(b)(b)(b)(b)剪应力沿截面宽度均匀分布剪应力沿截面宽度均匀分

39、布剪应力沿截面宽度均匀分布剪应力沿截面宽度均匀分布(即矩中性轴等距离处剪应力相等即矩中性轴等距离处剪应力相等即矩中性轴等距离处剪应力相等即矩中性轴等距离处剪应力相等)第31页，共55页，编辑于2022年，星期三mnnmxyzobdxmmhn(2)(2)分析方法分析方法分析方法分析方法(Analysis method)(a)用横截面用横截面用横截面用横截面mm-mm,n n-n n从梁中截取从梁中截取从梁中截取从梁中截取d dx x一段一段一段一段.两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一所以两截面同一所以两截面同一所以两截面同一y y处的

40、正应力也不处的正应力也不处的正应力也不处的正应力也不等等等等.(b)假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素mBmB1 1在两端面在两端面在两端面在两端面mAmA1 1,nBnB1 1上两个法向内上两个法向内上两个法向内上两个法向内力不等力不等力不等力不等.ABB1A1mnxzyymq(x)F1F2mmnnxdxyABA1B1FN2FN1第32页，共55页，编辑于2022年，星期三mnnmxyzoyABA1B1bdxmmhn(c)(c)在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿 x x 方向的切向内力方向的切

41、向内力方向的切向内力方向的切向内力d dF Fs s.故在此面上就有切应力故在此面上就有切应力故在此面上就有切应力故在此面上就有切应力 ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS根据假设根据假设根据假设根据假设 横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等.各点的剪各点的剪各点的剪各点的剪应力方向均与截面侧边平行应力方向均与截面侧边平行应力方向均与截面侧边平行应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求

42、出.第33页，共55页，编辑于2022年，星期三ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS(3)(3)公式推导公式推导公式推导公式推导(Derivation of the formula)(Derivation of the formula)假设假设假设假设mm-mm,n n-n n上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为MM和和和和MM+d+dMM.两截面上距中性轴两截面上距中性轴两截面上距中性轴两截面上距中性轴 y y1 1 处的正应力为处的正应力为处的正应力为处的正应力为 1 1 和和和和 2 2.A A*为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以外部分的横的横线以

43、外部分的横的横线以外部分的横的横线以外部分的横截面面积截面面积截面面积截面面积式中：式中：式中：式中：为面积为面积为面积为面积A A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.第34页，共55页，编辑于2022年，星期三化简后得化简后得化简后得化简后得由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程A*ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS第35页，共55页，编辑于2022年，星期三b矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度yz整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中

44、性轴为y y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静的横线以外部分横截面面积对中性轴的静的横线以外部分横截面面积对中性轴的静的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩矩矩矩(4)(4)剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律(The shear-stress distribution on the rectangular cross section)(The shear-stress distribution on the rectangular cross section)沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静

45、矩沿截面高度的变化由静矩 与与与与y y之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定第36页，共55页，编辑于2022年，星期三y1nBmAxyzOyA1B1m1可见可见可见可见,剪应力沿剪应力沿剪应力沿剪应力沿 截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化.z maxmaxy y=h h/2(/2(即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处)=0=0y=y=0(0(即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处),),剪应力达到最大值剪应力达

46、到最大值剪应力达到最大值剪应力达到最大值式中式中式中式中,A=bhA=bh,为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积.第37页，共55页，编辑于2022年，星期三z截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法A A为截面面积为截面面积为截面面积为截面面积为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标A A*2 2 2 2、工字形截面梁、工字形截面梁、工字形截面梁、工字形截面梁（工（工（工（工-section beam)-section beam)假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性

47、轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为y y.研究方法与矩形截面同研究方法与矩形截面同研究方法与矩形截面同研究方法与矩形截面同,剪应力的计算公式亦为剪应力的计算公式亦为剪应力的计算公式亦为剪应力的计算公式亦为HoyBxbzh第38页，共55页，编辑于2022年，星期三b b 腹板的厚度腹板的厚度腹板的厚度腹板的厚度Ozydxy 距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y的横线以外部分的的横线以外部分的的横线以外部分的的横线以外部分的横截面面积横截面面积横截面面积横截面面积A A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.minminozy maxmax maxmax(a)(a

48、)腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化物线规律变化物线规律变化物线规律变化.(b)(b)最大剪应力也在中性轴上最大剪应力也在中性轴上最大剪应力也在中性轴上最大剪应力也在中性轴上.这也是整个横截这也是整个横截这也是整个横截这也是整个横截面上的最大剪应力面上的最大剪应力面上的最大剪应力面上的最大剪应力.bISFzzS*=第39页，共55页，编辑于2022年，星期三ozy minmin maxmax式中式中式中式中 中性轴任一边的半个横截面面中性轴任一边的半个横截面面中性轴任一边的半个横截面面中性

49、轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩积对中性轴的静矩积对中性轴的静矩积对中性轴的静矩.第40页，共55页，编辑于2022年，星期三例例 5 FS=15 kN，Iz=8.84 10-6 m4，b=120 mm，d d=20=20 mm，yC=45 mm。试试求求：max；腹板与翼缘交接处切腹板与翼缘交接处切应力应力 a解：解：解：解：第41页，共55页，编辑于2022年，星期三F例题例题例题例题6 6 一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示.起重起重起重起重量量量量(包含电葫芦自重包含电葫芦自重包含电葫芦自重包含电葫芦自重)F F=30 kN.

50、=30 kN.跨长跨长跨长跨长l l=5 =5 m.m.吊车大梁吊车大梁吊车大梁吊车大梁ABAB由由由由20a20a工字钢制成工字钢制成工字钢制成工字钢制成.其许用其许用其许用其许用弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力 =170MPa,=170MPa,许用弯曲剪应力许用弯曲剪应力许用弯曲剪应力许用弯曲剪应力 =100MPa=100MPa，试校核梁的强度，试校核梁的强度，试校核梁的强度，试校核梁的强度.+37.5kNm5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁解：此吊车梁可简化为简支梁解：此吊车梁可简化为简支梁解：此吊车梁可简化为简支梁力力力力 P P 在梁中间位置时有最大正应力在梁中间