第四讲问题与分离变量法精选文档.ppt

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1、第四讲问题与分离变量法本讲稿第一页，共二十二页斯特姆斯特姆刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题斯特姆斯特姆刘维尔型方程刘维尔型方程其中其中k(x)k(x)、q(x)q(x)和和(x)(x)都非负；都非负；k(x)k(x)、k(x)k(x)和和q(x)q(x)连续或以端点为一阶极点连续或以端点为一阶极点。斯特姆斯特姆刘维尔型边界条件刘维尔型边界条件周期性边界条件周期性边界条件三类齐次边界条件三类齐次边界条件有界性边界条件有界性边界条件本讲稿第二页，共二十二页典型的斯特姆典型的斯特姆刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题abkq 本征值问题本征值问题0L1010L101-111-x2010bxm2/xx本讲

2、稿第三页，共二十二页本征函数系的正交性和完备性本征函数系的正交性和完备性正交性正交性完备性完备性展开系数展开系数本讲稿第四页，共二十二页典型例题典型例题例题例题1 1、特征值问题特征值问题特征函数特征函数正交性正交性完备性完备性本讲稿第五页，共二十二页例题例题2 2、特征值问题特征值问题特征值和征函数特征值和征函数正交性正交性完备性本讲稿第六页，共二十二页二、拉普拉斯算符的形式二、拉普拉斯算符的形式二维三维直角坐标极柱坐标球坐标本讲稿第七页，共二十二页极坐标下拉普拉斯算符形式的推导极坐标下拉普拉斯算符形式的推导极坐标下的形式极坐标下的形式直角坐标下的形式直角坐标下的形式坐标变换关系坐标变换关系

3、微分变换关系微分变换关系本讲稿第八页，共二十二页三、二维区域上波动方程的分离变量法例例：设边界固定：设边界固定,均匀且柔软的矩形膜均匀且柔软的矩形膜,其长其长为为 ,宽为宽为 ，作微小横振动作微小横振动,初始位移初始位移为为 ,初始速度为初始速度为 .求此膜作自求此膜作自由振动的规律由振动的规律。设设 为膜的位移为膜的位移,则上述物理问题可归则上述物理问题可归结为求解下列定解问题：结为求解下列定解问题：本讲稿第九页，共二十二页解解：设：设 代入方程得：代入方程得：本讲稿第十页，共二十二页其中其中 为分离常数为分离常数,记记 .从而得到关于从而得到关于的常微分方程的常微分方程由边界条件由边界条件

4、,得得 因此得特征值问题因此得特征值问题本讲稿第十一页，共二十二页求得特征值和对应的特征函数为求得特征值和对应的特征函数为类似地类似地,我们得到我们得到 以及关于以及关于的特征值问题的特征值问题 其特征值和对应的特征函数为其特征值和对应的特征函数为本讲稿第十二页，共二十二页记记其通解为其通解为于是得到于是得到利用叠加原理利用叠加原理,得到原定解问题的形式解得到原定解问题的形式解，代入关于，代入关于T T的方程，得：的方程，得：本讲稿第十三页，共二十二页其中系数其中系数 下面下面,我们利用初始我们利用初始条件确定系数条件确定系数 因为因为 由三角函数由三角函数在矩形区域在矩形区域上的正交性上的正

5、交性,得得其中其中本讲稿第十四页，共二十二页四、拉普拉斯方程定解问题分离变量法四、拉普拉斯方程定解问题分离变量法例例：设一半径为：设一半径为 的薄圆盘的薄圆盘,上下两面绝缘上下两面绝缘,圆圆周温度分布已知周温度分布已知.求稳恒状态下圆盘内的温求稳恒状态下圆盘内的温度分布度分布.解解 ：求温度分布规律：求温度分布规律,就是解下列边值问题就是解下列边值问题由于区域为圆域由于区域为圆域,不能直接分离变量。不能直接分离变量。（*）本讲稿第十五页，共二十二页我们考虑作极坐标变换我们考虑作极坐标变换,则边值问题可化为则边值问题可化为由于圆盘内温度不可能为无限由于圆盘内温度不可能为无限,特别圆盘中心特别圆盘

6、中心温度也一定有限温度也一定有限,所以有自然条件所以有自然条件又因为在极坐标中又因为在极坐标中,与与表示同一点表示同一点,故故其中其中有周期条件有周期条件本讲稿第十六页，共二十二页设 代到定解问题的方程中，得因此有因此有于是得到两个特征值问题于是得到两个特征值问题由自然条件和边界条件得由自然条件和边界条件得和和（1 1）（2 2）本讲稿第十七页，共二十二页当当 时时 ,只有零解只有零解;当当 时时,有非零解有非零解 ，先求解第一个特征值问题先求解第一个特征值问题当当时时,特征值问题特征值问题(1)(1)中方程的通解为中方程的通解为 由周期性条件由周期性条件 得得 故得特征值和对应的特征函数故得

7、特征值和对应的特征函数本讲稿第十八页，共二十二页下面求解第二个特征值问题下面求解第二个特征值问题第二个特征值问题中的方程是欧拉方程第二个特征值问题中的方程是欧拉方程,当时时,其通解为其通解为当当时时,其通解为其通解为 由由的有界性的有界性,推得推得 所以所以 于是得到满足边值问题中方程与自然条件和周期于是得到满足边值问题中方程与自然条件和周期条件的一列非零解条件的一列非零解 本讲稿第十九页，共二十二页其中其中 根据叠加原理根据叠加原理,可设满足定解问题可设满足定解问题(*)(*)中方程的形中方程的形式解为式解为代入代入(*)(*)中的边界条件中的边界条件,得得上式可以看作上式可以看作在在上的傅里叶展开式上的傅里叶展开式,所以所以本讲稿第二十页，共二十二页为了应用上的方便为了应用上的方便,通常需要把解表示成积分形式通常需要把解表示成积分形式 其中其中 上述上述公式称为圆域内的泊松公式公式称为圆域内的泊松公式.它的作用在于它的作用在于 将解表成了积分形式将解表成了积分形式,便于从理论上进行研究便于从理论上进行研究.函数函数称为泊松核称为泊松核（*）本讲稿第二十一页，共二十二页可以证明可以证明,如果如果在在上连续,且则则是边值问题的古典解 作业：讲义作业：讲义111111页页 1 1（2 2），），3 3（1 1）本讲稿第二十二页，共二十二页