第二章附录拉氏变换PPT讲稿.ppt
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1、第二章附录拉氏变换第1页,共47页,编辑于2022年,星期二一一.拉氏变换拉氏变换1.定义:设函数定义:设函数f(t)当当t0时有定义,而且积时有定义,而且积分分 存在,则称存在,则称F(s)是是f(t)的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。简称拉氏变换。记为简称拉氏变换。记为nf(t)称为称为 F(s)的拉氏逆变换。记为:的拉氏逆变换。记为:第2页,共47页,编辑于2022年,星期二n2.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换q 单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)10tf(t)单位阶跃函数单位阶跃函数第3页,共47页,编辑于2022年,星期二q 指数函数指数函数(a为常数)为常数)指数函数指数函数0t
2、f(t)1第4页,共47页,编辑于2022年,星期二q 正弦函数与余弦函数正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sin tf(t)=cos t-1由欧拉公式,由欧拉公式,有:有:第5页,共47页,编辑于2022年,星期二从而:从而:同理:同理:第6页,共47页,编辑于2022年,星期二q 单位脉冲函数单位脉冲函数(t t)0tf(t)单位脉冲函数单位脉冲函数 1 由洛必达法则:由洛必达法则:所以:所以:第7页,共47页,编辑于2022年,星期二q 单位速度函数(斜坡函数)单位速度函数(斜坡函数)10tf(t)单位速度函数单位速度函数1第8页,共47页,编辑于2
3、022年,星期二q 单位加速度函数单位加速度函数单位加速度函数单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。直接或通过一定的转换得到。第9页,共47页,编辑于2022年,星期二几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/(s+a)第10页,共47页,编辑于2022年,星期二n3.拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质 (1)线性性质线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。氏变换之和
4、。(2)微分性质微分性质 若若 ,则有,则有f(0)为原函数为原函数f(t)在在t=0时的初始值。时的初始值。第11页,共47页,编辑于2022年,星期二 证:根据拉氏变换的定义有证:根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换原函数二阶导数的拉氏变换依次类推,可以得到原函数依次类推,可以得到原函数n阶导数的拉氏阶导数的拉氏变换变换第12页,共47页,编辑于2022年,星期二(3)积分性质积分性质 若若 则则 式中式中 为积分为积分 当当t=0时的值。时的值。证:设证:设 则有则有 由上述微分定理,有由上述微分定理,有第13页,共47页,编辑于2022年,星期二即:即:同理,对同理,对f(t
5、)的二重积分的拉氏变换为的二重积分的拉氏变换为若原函数若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于及其各重积分的初始值都等于0则有则有 即原函数即原函数 f(t)的的n重积分的拉氏变换等于其象重积分的拉氏变换等于其象函数除以函数除以 。第14页,共47页,编辑于2022年,星期二(4).终值定理终值定理原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。的初值。证:由微分定理,有证:由微分定理,有等式两边对等式两边对s趋向于趋向于0取极限取极限第15页,共47页,编辑于2022年,星期二注:若注:若 时时f(t)极限极限 不存在,不存在,则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦则不能用
6、终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。函数就不能应用终值定理。(5)初值定理初值定理:证明方法同上。只是要将证明方法同上。只是要将 取极限。取极限。(6)位移定理位移定理:a.实域中的位移定理,若原函数在时间上延迟实域中的位移定理,若原函数在时间上延迟 ,则其象函数应乘以,则其象函数应乘以第16页,共47页,编辑于2022年,星期二b.复域中的位移定理,象函数的自变量延迟复域中的位移定理,象函数的自变量延迟a,原函数应乘以,原函数应乘以 即:即:(7)时间比例尺定理时间比例尺定理 原函数在时间上收缩(或展宽)若干倍,原函数在时间上收缩(或展宽)若干倍,则象函数及其自变量则象函数及
7、其自变量都都增加(或减小)同增加(或减小)同样倍数。即:样倍数。即:证:证:第17页,共47页,编辑于2022年,星期二(8)卷积定理卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。数的乘积。即即证明:证明:第18页,共47页,编辑于2022年,星期二 第19页,共47页,编辑于2022年,星期二二二.拉氏反变换拉氏反变换 1.定义:从象函数定义:从象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算的运算称为拉氏反变换。记为称为拉氏反变换。记为 。由由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是实常数,而且大于是实常数,而且大于F(s)所有极点的所有
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