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1、第九章力矩分配法原理1本讲稿第一页，共三十五页9-1 9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念理论基础：位移法理论基础：位移法计算对象：杆端弯矩计算对象：杆端弯矩计算方法：增量调整修正的方法计算方法：增量调整修正的方法适用范围：连续梁和无侧移刚架适用范围：连续梁和无侧移刚架力矩分配法概述力矩分配法概述正负号规定正负号规定 杆端转角杆端转角规定规定顺时针为正；顺时针为正；杆端弯矩、固端弯矩杆端弯矩、固端弯矩规定规定对杆件顺时针转动为正对杆件顺时针转动为正；相应地；相应地对结点逆时针转对结点逆时针转动为正动为正。本讲稿第二页，共三十五页一、名词解释一、名词解释9-1 9-1 力矩分配法的基

2、本概念力矩分配法的基本概念1 1、转动刚度转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。：表示杆端对转动的抵抗能力。使使AB杆件的杆件的A杆端发生单位转角时在杆端发生单位转角时在A端所需施加的力矩，记作端所需施加的力矩，记作SAB当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度iiiAAAABBBB111B习惯上将发生转动的杆端称为习惯上将发生转动的杆端称为“近端近端”，而杆件的另一端称为，而杆件的另一端称为“远端远端”本讲稿第三页，共三十五页如果把如果把近近端端改成改成固定支座固定支座，转动刚度，转动刚度SAB的数值不变，的数值不变，此时此时SAB表示当固定支座发生单位转

3、角时在表示当固定支座发生单位转角时在A端引起的杆端弯矩端引起的杆端弯矩。iiiAAAABBBB9-1 9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念AB杆的线刚度杆的线刚度 i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）AB杆的远端支承形式杆的远端支承形式影响影响SAB的因素的因素与近端支承形式无关本讲稿第四页，共三十五页9-1 9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念当杆件的近端发生转动时，其远端弯矩与近端弯矩的比值：当杆件的近端发生转动时，其远端弯矩与近端弯矩的比值：远端弯矩可表达为：远端弯矩可表达为：iiBASBA=iiBASBA=2iCAB

4、=1/2CAB=1iBASBA=0CAB=02 2、传递系数传递系数C：等截面直杆的传递系数等截面直杆的传递系数本讲稿第五页，共三十五页固定支座固定支座铰支座铰支座定向支座定向支座等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：9-1 9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念4i1/23i0i1MAB1MABMAB111MAB问题：问题：下列那种情况的杆端弯矩下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB？确定转动刚度时：确定转动刚度时：近端看位移近端看位移（是否为单位位移）、（是否为单位位移）、远端看支承远端看支承。本讲稿第六页，共三十五页问题：问题：如下杆件如下杆

5、件转动刚度转动刚度SAB=4i 的是（的是（）4iSAB3iiABiABiABiABiiAB9-1 9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念本讲稿第七页，共三十五页二、二、力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理9-1 9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念1 1、单结点结构在结点力偶作用下的力矩分配法、单结点结构在结点力偶作用下的力矩分配法 1BCAMM1A=4i1A=S1AM1B=3i1B=S1BM1C=i1C=S1CM1=M1A+M1B+M1CM=0a)a)分配系数与分配弯矩分配系数与分配弯矩分配系数分配系数，1j等于杆等于杆1j的转动刚度的转动刚度S1j与交于结与交于

6、结 点点1的各杆转动刚度之和的比值的各杆转动刚度之和的比值(j=A，B，C)。近端获得的近端获得的分配弯矩分配弯矩M1M1AM1CM1B(=1)本讲稿第八页，共三十五页9-1 9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念 1BCAMM1A=4i1A=S1AM1B=3i1B=S1BM1C=i1C=S1Cb)b)传递弯矩传递弯矩 MA1=2i1A=(1/2)M1A=C1AM1A MB1=0=C1BM1B MC1=i1C=(1)M1C=C1CM1C传递弯矩：传递弯矩：远端获得的由近端分配远端获得的由近端分配 弯矩传递而来的弯矩。弯矩传递而来的弯矩。本讲稿第九页，共三十五页MBCgMBAgMBg=

7、60MBgMBg901501509-1 9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念2 2、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法200kN20kN/m3m3m6m3i4iABC200kN20kN/mABCABC1 1）锁住结点，求固端弯矩及）锁住结点，求固端弯矩及 结点不平衡力矩结点不平衡力矩2 2）放松结点，）放松结点，相当于在结点上施加相当于在结点上施加反号反号的的结结点不平衡力矩点不平衡力矩，并将它按分配，并将它按分配系数分配给各个近端并传递到系数分配给各个近端并传递到远端。远端。MBg=15090=60kNmSBA=43i=12iSBC=3

8、4i=12iBA=BC=12i/24i=1/23030153 3）叠加）叠加1 1）、）、2 2）步结果得到杆端的最后弯矩。）步结果得到杆端的最后弯矩。计算过程可列表进行。计算过程可列表进行。ABCM图（图（kN m)90300结点不平衡力矩=固端弯矩之和结点不平衡力矩要反号分配.1/21/2150Mg15090303015M165120120120165即单结点结构在结点力即单结点结构在结点力偶作用下的力矩分配法偶作用下的力矩分配法1/2本讲稿第十页，共三十五页 40kN/m100kN15kNmMACgMADgMABgAM=15MAgi=1i=1i=22m2m4m4mABCD例例9.1 9.

9、1 力矩分配法计算并画力矩分配法计算并画M图。图。解：解：1）求）求AB=AC=AD=4/92/93/92 2）求）求Mg MABg=MBAg=MADg=50 50 80MAg=MABg+MADg+MACg M=50+8015=45 kNm结点结点BACD杆端杆端BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递分配与传递20Mg 5050 801510M 4070 6510 10100M图（kN.m)2m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kNm40701001080M图（图（kN m)651010本讲稿第十一页，共三十五页9-1 9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念

10、例例9.19.1力矩分配法的计算过程也可在计算简图中列表进行。力矩分配法的计算过程也可在计算简图中列表进行。5050 80 40kN/m100kN15kNmMAg=45 M=15MABgAMADg201510101/2 110ABDC70 6510 10 40AC ADAB4/93/92/9ABCD4070100108065M图（图（kN m)本讲稿第十二页，共三十五页9-2 9-2 多结点的力矩分配多结点的力矩分配力矩分配法计算多结点结构，只要力矩分配法计算多结点结构，只要逐次放松逐次放松每一个结点，应用单结点力矩每一个结点，应用单结点力矩分配法的基本运算，就可逐步地渐近地求出杆端弯矩。分配

11、法的基本运算，就可逐步地渐近地求出杆端弯矩。=MBgMCgMABgMBAgMBCgMCBgMCDg+MBgMCg+MC传传M传传M传传M分分M分分+(MCg+MC传传)M分分M分分M传传MB传传+4 4、重复、重复2 2、3 3步骤直至结果步骤直至结果收敛。收敛。5 5、杆端最后弯矩：、杆端最后弯矩：M=Mg g M分分M传传1、加入刚臂，锁住刚结点，、加入刚臂，锁住刚结点，由结点力矩平衡条件求结点由结点力矩平衡条件求结点不平衡力矩不平衡力矩MBg、MCg。2 2、放松结点、放松结点B，此时结构只，此时结构只有一个结点角位移，按单结有一个结点角位移，按单结点的力矩分配法计算，结点点的力矩分配法

12、计算，结点C最终取得新的结点不平衡最终取得新的结点不平衡力矩力矩MCg+MC传传3 3、放松结点、放松结点C，按单结点，按单结点的力矩分配法计算，结点的力矩分配法计算，结点B又取得新的不平衡力矩又取得新的不平衡力矩MB传传本讲稿第十三页，共三十五页多结点结构的力矩分配法取得的是渐近解。多结点结构的力矩分配法取得的是渐近解。首先从首先从结点不平衡力矩较大的结点结点不平衡力矩较大的结点开始，以开始，以加速收敛加速收敛。不能同时放松相邻的结点不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们（因为两相邻结点同时放松时，它们 之间之间的杆件的转动刚度和传递系数不易确定）；但是可以同时放松所有不相的

13、杆件的转动刚度和传递系数不易确定）；但是可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。邻的结点，这样可以加速收敛。每次要将每次要将结点不平衡力矩反号分配结点不平衡力矩反号分配。9-2 9-2 多结点的力矩分配多结点的力矩分配注意：注意：本讲稿第十四页，共三十五页MCg=78.6MBg=128 24kN/m50kN12812875MBg=128MCg=5324kN/m50kN4m4m8m8mABCD2EI2EIEI令令=EI/8=1 221BA=0.6BC=0.4CB=0.4CD=0.625.6MCg=53+25.6 =78.63.215.7 15.79.4 6.315.776.8 51.23

14、1.4 47.2分配系数逐次放松结点进行分配与传递固端弯矩最后弯矩0.60.40.40.61281287551.276.825.631.447.215.76.39.43.21.31.90.70.30.40.20.10.1086.686.6124.2124.2本讲稿第十五页，共三十五页24kN/m50kNABCC86.6124.2192100M图（图（kNm)最后弯矩086.6 86.6124.2 124.24m4m8m8m9-2 9-2 多结点的力矩分配多结点的力矩分配本讲稿第十六页，共三十五页Mg力力矩矩分分配配与与传传递递M解：解：1）求）求SDE=09-2 9-2 多结点的力矩分配多结点

15、的力矩分配例例9.2 9.2 力矩分配法计算并画力矩分配法计算并画M图。图。150kN m 2m8m4mABCD 8mi=3i=1i=215kN/mE 10kN3/74/70.60.446.4SBA=i=3SBC=4i=4BA=3/7 BC=4/7SCD=3i=6SCB=4i=4CD=0.6 CB=0.4DC=1 DE=02）求）求MgMBAg=(1/3)1542 =80 kNmMABg=(1/6)1542 =40 kNmMDEg=102 =20kNm1/21056841/228061.6146.41/2 30.812.318.51/26.22.73.5 1/2 1.8 0.71.1 1/20

16、.40.10.3 12.789.1 30.8 30.8 36.4 113.6 102000 20 20 804020MBg=108MCg=140本讲稿第十七页，共三十五页150kN m 2m8m4mABCD 8mi=3i=1i=215kN/mE 10kN9-2 9-2 多结点的力矩分配多结点的力矩分配30.889.1 89.1 30.8 30.8 36.4 113.6 20 20 M36.4113.6 2030M图（图（kNm)本讲稿第十八页，共三十五页!20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4i

17、AG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.49-2 9-2 多结点的力矩分配多结点的力矩分配例例9.3 9.3 力矩分配法计算并画力矩分配法计算并画M图。图。有侧移刚架有侧移刚架?解：解：利用对称性取半刚架利用对称性取半刚架.本讲稿第十九页，共三十五页ACEGH0.50.50.20.40.4AGACCHCA CE157.57.57.53.75 0.751.51.5 0.750.750.3750.3750.19 0.030.080.080.3750.037.137.1315.382.361.58 0.780.780.7920kN/m7.130.791.582.360.791.58

18、0.78M图（图（kN.m)15.382.367.13ACE可不急传递可不急传递9-2 9-2 多结点的力矩分配多结点的力矩分配7.5本讲稿第二十页，共三十五页100kN/mi=1.92i=1.37i=2.4i=12.5m3.5m4.82mA123B解:1)求分配系数:0.513 0.4780.363 0.6370.762 0.2382)求固端弯矩:78.1 102.0102.0 33.333.3 288m1,312.3 11.6194.1 60.65.897.1 62.3 109.3 31.251.416 15.221,341.7 1320.97.610.318.225.2 9.11,32.

19、7 2.51.36.9 3.23.51.7 3.11.60.921,30.5 0.40.21.2 0.40.60.3 0.50.30.221,30.1 0.10.2 0.1M0109.7109.742.342.3211.7211.7109.742.3211.7M(kN.m)78.115350288本讲稿第二十一页，共三十五页9-3 9-3 超静定力的影响线超静定力的影响线影响线影响线表示表示单位移动荷载单位移动荷载作用下结构中某个作用下结构中某个量值量值Z变化规律的图形。变化规律的图形。静力法静力法：用一定的方法确定量值：用一定的方法确定量值Z与荷载与荷载P=1 1作用位置作用位置 参数参数x

20、之间的函数关系式之间的函数关系式Z(x)，由此作出，由此作出Z的的 影响线。影响线。机动法机动法：把作量值：把作量值Z影响线的静力问题转化为作位移图影响线的静力问题转化为作位移图 的几何问题。的几何问题。影响线作法影响线作法知识回顾知识回顾本讲稿第二十二页，共三十五页用力法（一次超静定）算得，用力法（一次超静定）算得，A支座的约束支座的约束力矩力矩MA为：为：显然显然MA影响线是影响线是x的三次曲线，当采用静力法绘制各量值的影响线时，的三次曲线，当采用静力法绘制各量值的影响线时，需要先解算超静定结构，求得影响线方程，再依次求出各等分点处的竖标，需要先解算超静定结构，求得影响线方程，再依次求出各

21、等分点处的竖标，最后连成曲线。最后连成曲线。9-3 9-3 超静定力的影响线超静定力的影响线例采用静力法求超静定力，如例采用静力法求超静定力，如MA影响线。影响线。P=1xABL x繁！机动法繁！机动法?本讲稿第二十三页，共三十五页机动法绘制超静定力影响线的原理机动法绘制超静定力影响线的原理9-3 9-3 超静定力的影响线超静定力的影响线例求超静定力：例求超静定力：B支座反力支座反力Z1影响线。影响线。P=1xABCP=1ABCZ1力法基力法基本体系本体系力法基本方程：力法基本方程：11 Z1+1P P=0 由位移互等定理：由位移互等定理：1P=P1 Z1=P1/11 Z1=1111PP=1物

22、理含义物理含义？Z1=1P/11 其中其中11是恒为正的常数，而是恒为正的常数，而P1是是x的的函数函数P1(x)，规定规定P1(x)与与P=1方向一致方向一致时为正，在此即取时为正，在此即取P1(x)向下为正。向下为正。P1 Z1(x)=P1(x)/11 P1(x)实际上就是荷载作用点的挠度图实际上就是荷载作用点的挠度图若设11=1，则I.L.Z1 就是荷载作用点的挠度图加一负号。Z11I.L.Z1+本讲稿第二十四页，共三十五页9-3 9-3 超静定力的影响线超静定力的影响线机动法机动法作超静定力影响线的作超静定力影响线的步骤：步骤：1 1、撤除与所求量值、撤除与所求量值Z对应的约束，代之以

23、未知力对应的约束，代之以未知力Z。2 2、使体系沿、使体系沿Z的正方向发生位移，作出荷载作用点的竖向位移的正方向发生位移，作出荷载作用点的竖向位移 图图(P1图图)，由此得量值，由此得量值Z影响线的形状。影响线的形状。3 3、将、将P1图除以常数图除以常数11（或在（或在P1图中令图中令11 =1=1），即可确定），即可确定 量值量值Z 影响线的数值。影响线的数值。4 4、横坐标（杆轴）以上的图形取、横坐标（杆轴）以上的图形取“+”“+”，反之取，反之取“”（针对于（针对于P=1 竖直向下的情形）。竖直向下的情形）。静定力的影响线静定力的影响线对应于几何可变体系的挠度图，因而是对应于几何可变体

24、系的挠度图，因而是折线折线；超静定力的影响线超静定力的影响线对应于几何不变体系的挠度图对应于几何不变体系的挠度图,因而是因而是曲线曲线。本讲稿第二十五页，共三十五页ABCDEFI.L.MCMC11=1I.L.MK11=1ABCDEFMKKABCDEFRC11=1I.L.RCABCDEFI.L.QC右右11=1QC右右例例9.4 9.4 作作I.L.MC、I.L.MK 、I.L.RC 、I.L.QC右右的形状。的形状。P=1xABCDEFK本讲稿第二十六页，共三十五页B9-3 9-3 超静定力的影响线超静定力的影响线MAAMBABxy简支梁若已知杆端力偶简支梁若已知杆端力偶MA、MB，求杆端，求

25、杆端转角转角A、B和和梁中任一点梁中任一点的的挠度挠度y：梁中任一点梁中任一点x处挠度公式处挠度公式(以上公式中以上公式中MA、MB以梁下侧纤维受拉为正以梁下侧纤维受拉为正)MP图图MBMA1x杆端转角杆端转角公式公式本讲稿第二十七页，共三十五页例例9.5 9.5 求图示连续梁支座弯矩求图示连续梁支座弯矩MB的影响线。的影响线。6m6m6mABCD10.50.259-3 9-3 超静定力的影响线超静定力的影响线M图图MB=1MB=1+11I.L.MB形状形状本讲稿第二十八页，共三十五页9-3 9-3 超静定力的影响线超静定力的影响线AB:BC:CD:6m6m6mABCDx1P=1x2P=1x3

26、P=110.50.25M图图MB=1本讲稿第二十九页，共三十五页ABCD0.1230.3460.3890.4970.5200.2810.1510.1750.108I.L.MB（单位：（单位：m）9-3 9-3 超静定力的影响线超静定力的影响线AB:BC:CD:本讲稿第三十页，共三十五页9-4 9-4 连续梁的最不利荷载及内力包络图连续梁的最不利荷载及内力包络图恒载：经常出现且布满全跨，产生的内力是固定不变的。恒载：经常出现且布满全跨，产生的内力是固定不变的。活载：不经常出现且不同时布满各跨，随活载分布不同活载：不经常出现且不同时布满各跨，随活载分布不同 产生的内力亦不同。产生的内力亦不同。连续

27、梁连续梁所受荷载所受荷载一、可任意分布的一、可任意分布的均布活载均布活载的的最不利荷载位置最不利荷载位置绘出量值绘出量值Z的影响线轮廓，由公式的影响线轮廓，由公式Zq可确定取得可确定取得Zmax和和Zmin 的最不利活载位置。的最不利活载位置。（1 1）Zmax的最不利活载位置：在的最不利活载位置：在Z影响线的所有正号部分布满均布影响线的所有正号部分布满均布 活载，而所有负号部分不布置活载。活载，而所有负号部分不布置活载。（2 2）Zmin的最不利活载位置：在的最不利活载位置：在Z影响线的的所有负号部分布满均影响线的的所有负号部分布满均 布活载，而所有正号部分不布置活载。布活载，而所有正号部分

28、不布置活载。本讲稿第三十一页，共三十五页9-4 9-4 连续梁的最不利荷载及内力包络图连续梁的最不利荷载及内力包络图P=1xABCDEFI.L.MKI.L.RCKI.L.MC MKmaxRCmaxv 跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨布满活载，向两边每隔一跨跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨布满活载，向两边每隔一跨 布布 满活载。满活载。v 支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨布满活支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨布满活 载，向两边每隔一跨布满活载。载，向两边每隔一跨布满活载。MCmin本讲稿第三十二页，共三十五页9-4 9-4 连续梁的最不利荷载及内力包络

29、图连续梁的最不利荷载及内力包络图二、连续梁的二、连续梁的内力包络图内力包络图求出连续梁在求出连续梁在恒载和活载共同作用恒载和活载共同作用下，各截面可能产生的最大内力（最下，各截面可能产生的最大内力（最大正内力、最大负内力），分别连成两条曲线（或折线），此图形称为大正内力、最大负内力），分别连成两条曲线（或折线），此图形称为内内力包络图力包络图。1 1、必有恒载作用，且永远出现必有恒载作用，且永远出现。2 2、活载按最不利情况考虑。、活载按最不利情况考虑。具体作法：具体作法：1 1、把连续梁的每一跨分为若干等分，取等分点为计算截面。、把连续梁的每一跨分为若干等分，取等分点为计算截面。2 2、全梁

30、布满恒载求出各等分点的弯矩，绘制弯矩图、全梁布满恒载求出各等分点的弯矩，绘制弯矩图M恒恒图。图。3 3、逐跨单独布满活载求出各等分点的弯矩，绘制各、逐跨单独布满活载求出各等分点的弯矩，绘制各M活活图。图。4 4、求出各计算截面的、求出各计算截面的Mkmax 和和Mkmin：5 5、将各截面的、将各截面的Mkmax值和值和Mkmin值分别用两条曲线（值分别用两条曲线（或折线或折线）连接）连接 起来，即得弯矩包络图。起来，即得弯矩包络图。原则原则本讲稿第三十三页，共三十五页10m10m10m例例9.6 9.6 已知恒载集度已知恒载集度q=12kN/m，活载集度，活载集度p=12kN/m。作。作M包

31、络图。包络图。0123456789101112120120q=12kN/m9030P=12kN/m 80110103020P=12kN/m60603030 P=12kN/m80110103020MmaxMmin00210024681012M恒恒M活活1M活活2M活活3100909012010021006026030260600本讲稿第三十四页，共三十五页MmaxMmin00210024681012100120100210060260 302606000123456789101112210602601001203026010021060弯矩包络图（弯矩包络图（kNm)将设计时不需要考虑的弯矩值，在弯矩包络图中用虚线表示。将设计时不需要考虑的弯矩值，在弯矩包络图中用虚线表示。9-4 9-4 连续梁的最不利荷载及内力包络图连续梁的最不利荷载及内力包络图本讲稿第三十五页，共三十五页