第五章布朗运动与鞅PPT讲稿.ppt

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1、第五章布朗运动与鞅1第1页，共11页，编辑于2022年，星期三随机游动与布朗运动随机游动与布朗运动考虑在直线上的无限随机游动：质点每经过考虑在直线上的无限随机游动：质点每经过t时间，随机地以概率时间，随机地以概率p=0.5向右向右移动移动x0；以概率；以概率q=0.5向左移动向左移动x，且每次移动相互独立。令，且每次移动相互独立。令则质点在时刻则质点在时刻t的位置的位置X(t)可表示为：可表示为：其均值和方差为：其均值和方差为：第2页，共11页，编辑于2022年，星期三t和和x的取值：的取值：使得使得DX(t)在在t和和x趋于零时，极限有意义。趋于零时，极限有意义。如：如：t=x，当，当t-0

2、，DX(t)-0，则，则X(t)=0，a.s.若取若取t=x3，当，当t-0，DX(t)-，不合理。，不合理。一般情况下，有一般情况下，有 此时：此时：第3页，共11页，编辑于2022年，星期三X(t)为独立同分布的随机变量之和，由中心极限定理，可得：为独立同分布的随机变量之和，由中心极限定理，可得：1）X(t)N(0,2t);随机游动的值在不相重叠的时间区段内相互独立，得随机游动的值在不相重叠的时间区段内相互独立，得2）X(t)是独立增量过程；是独立增量过程；在任一时间区间在任一时间区间随机游动的值仅与时长有关，得随机游动的值仅与时长有关，得3）X(t)是平稳增量过程是平稳增量过程第4页，共

3、11页，编辑于2022年，星期三布朗运动定义布朗运动定义1：随机过程：随机过程W(t)，t0，如果满足：，如果满足：1）W(0)=0；2）W(t)是独立、平稳增量过程；是独立、平稳增量过程；3）对任意）对任意t0，W(t)服从正态分布服从正态分布N(0,2t)。则称则称W(t)，t0为维纳过程，或称为布朗运动（为维纳过程，或称为布朗运动（B(t)，t0）。）。如果如果=1，称为标准布朗运动。，称为标准布朗运动。一般布朗运动可用一般布朗运动可用W(t)/，t0变换成标准布朗运动，后面我们变换成标准布朗运动，后面我们假定都是假定都是标准布朗运动标准布朗运动。第5页，共11页，编辑于2022年，星期

4、三布朗运动定义布朗运动定义2：随机过程：随机过程B(t)，t0为布朗运动，如果满足：为布朗运动，如果满足：1）（正态增量）（正态增量）B(t)-B(s)N(0,t-s)；2）（独立增量）（独立增量）B(t)-B(s)独立于过去的状态独立于过去的状态B(v)，0v s；3）（轨道连续）（轨道连续）B(t)，t0的轨道是的轨道是t的连续函数。的连续函数。注：并未强调注：并未强调B(0)=0，如果，如果B(0)=x，可用，可用B(t)-x进行变换。进行变换。定理：设定理：设B(t)，t0是正态过程，轨道连续，是正态过程，轨道连续，B(0)=0，对任意的，对任意的s，t0，有，有EB(t)=0，EB(

5、s)B(t)=min(s,t)，则，则B(t)，t0为布朗运动，反之亦然。为布朗运动，反之亦然。第6页，共11页，编辑于2022年，星期三推论：设推论：设B(t)，t0 为布朗运动，则：为布朗运动，则：例：设例：设B(t)，t0 为标准布朗运动，计算为标准布朗运动，计算PB(2)0及及PB(t)0，t=1,2。第7页，共11页，编辑于2022年，星期三第8页，共11页，编辑于2022年，星期三布朗运动的轨道布朗运动的轨道从时刻从时刻0到时刻到时刻T对布朗运动的一次观察称为布朗运动在区间对布朗运动的一次观察称为布朗运动在区间0,T上的一条轨道或路径。上的一条轨道或路径。1）是）是t的连续函数；的

6、连续函数；2）在任何点都不可微）在任何点都不可微轨道的基本性质轨道的基本性质第9页，共11页，编辑于2022年，星期三鞅的定义与例鞅的定义与例博弈问题：博弈者进行一序列博弈（轮盘赌），每次博弈输和赢的概率相同，每博弈问题：博弈者进行一序列博弈（轮盘赌），每次博弈输和赢的概率相同，每次的下注额自定。问博弈者采用何种下注方式赢面大？次的下注额自定。问博弈者采用何种下注方式赢面大？定义：随机过程定义：随机过程Xn，n0称为关于称为关于Yn，n0的下鞅，如果对的下鞅，如果对n0，Xn是是Y0,Yn的的函数，函数，EXn，且，且EXn+1|Y0,Yn Xn。定义：随机过程定义：随机过程Xn，n0称为关于

7、称为关于Yn，n0的上鞅，如果对的上鞅，如果对n0，Xn是是Y0,Yn的函的函数，数，EXn，且，且EXn+1|Y0,Yn Xn。若若 Xn，n0同时是关于同时是关于Yn，n0的上鞅和下鞅，则称之为关于的上鞅和下鞅，则称之为关于Yn的鞅。的鞅。鞅描述的是鞅描述的是“公平公平”的博弈，下鞅和上鞅则是的博弈，下鞅和上鞅则是“有利有利”和和“无利无利”的博弈。的博弈。第10页，共11页，编辑于2022年，星期三定理：设定理：设Xn，n0是关于是关于Yn，n0的鞅，则的鞅，则 1）对任意的）对任意的0mn，有，有EXn|Ym,Yn=Xm；2）对任意）对任意n，EXn=X0例：独立随机变量之和与积例：独立随机变量之和与积 1）设）设Y0=0，Yn，n0是独立的中心化随机变量序列，是独立的中心化随机变量序列，E|Yn|，定义，定义X0=0，则，则Xn=Y1+Yn是鞅；是鞅；2）设）设Y0=0，Yn，n0是独立的中心化随机变量序列，是独立的中心化随机变量序列，E|Yn|，EYn=n0，n1，定义，定义X0=0，则，则Xn=Y1Y2Yn/1 2n是鞅。是鞅。第11页，共11页，编辑于2022年，星期三