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1、计算机辅助制造1本讲稿第一页，共四十九页o实体造型技术实体造型技术o特征建模特征建模o装配造型装配造型 o参数化与变量化技术参数化与变量化技术主要内容主要内容2本讲稿第二页，共四十九页实体造型技术实体造型技术实体造型技术的发展概况实体造型技术的发展概况实体造型技术的发展概况实体造型技术的发展概况 实体造型的概念是在实体造型的概念是在实体造型的概念是在实体造型的概念是在2020世纪世纪世纪世纪6060年代初提出的，但由于当时理论研究和年代初提出的，但由于当时理论研究和年代初提出的，但由于当时理论研究和年代初提出的，但由于当时理论研究和实践都不够成熟，实体造型技术发展缓慢。实践都不够成熟，实体造型

2、技术发展缓慢。实践都不够成熟，实体造型技术发展缓慢。实践都不够成熟，实体造型技术发展缓慢。70 70年代初出现了简单的具有一定实用性的基于实体造型年代初出现了简单的具有一定实用性的基于实体造型年代初出现了简单的具有一定实用性的基于实体造型年代初出现了简单的具有一定实用性的基于实体造型CAD/CAMCAD/CAM系系系系统，并且实体造型在理论研究方面也相应取得了进展，如统，并且实体造型在理论研究方面也相应取得了进展，如统，并且实体造型在理论研究方面也相应取得了进展，如统，并且实体造型在理论研究方面也相应取得了进展，如19731973年，英国年，英国年，英国年，英国剑桥大学的布雷德剑桥大学的布雷德

3、剑桥大学的布雷德剑桥大学的布雷德(I.C.Baird)(I.C.Baird)曾提出采用六种体素作为构造机械零件曾提出采用六种体素作为构造机械零件曾提出采用六种体素作为构造机械零件曾提出采用六种体素作为构造机械零件的积木块的方法，然而实体造型只用几何信息表示是不充分的还需要表示的积木块的方法，然而实体造型只用几何信息表示是不充分的还需要表示的积木块的方法，然而实体造型只用几何信息表示是不充分的还需要表示的积木块的方法，然而实体造型只用几何信息表示是不充分的还需要表示形体之间相互关系、拓扑信息。形体之间相互关系、拓扑信息。形体之间相互关系、拓扑信息。形体之间相互关系、拓扑信息。到到到到7070年代

4、后期，实体造型技术在理论、算法和应用方面逐渐成熟。年代后期，实体造型技术在理论、算法和应用方面逐渐成熟。年代后期，实体造型技术在理论、算法和应用方面逐渐成熟。年代后期，实体造型技术在理论、算法和应用方面逐渐成熟。3本讲稿第三页，共四十九页 进入进入进入进入8080年代后，国内外不断推出实用的实体造型，年代后，国内外不断推出实用的实体造型，年代后，国内外不断推出实用的实体造型，年代后，国内外不断推出实用的实体造型，在实体模型在实体模型在实体模型在实体模型CADCAD、实体机械零件设计、物性计算、三、实体机械零件设计、物性计算、三、实体机械零件设计、物性计算、三、实体机械零件设计、物性计算、三维形

5、体的有限元分析、运动学分析、建筑物设计、空维形体的有限元分析、运动学分析、建筑物设计、空维形体的有限元分析、运动学分析、建筑物设计、空维形体的有限元分析、运动学分析、建筑物设计、空间布置、计算机辅助间布置、计算机辅助间布置、计算机辅助间布置、计算机辅助NCNC程序的生成和检验、部件装配、程序的生成和检验、部件装配、程序的生成和检验、部件装配、程序的生成和检验、部件装配、机器人、电影制片技术中的动画、电影特技镜头、景机器人、电影制片技术中的动画、电影特技镜头、景机器人、电影制片技术中的动画、电影特技镜头、景机器人、电影制片技术中的动画、电影特技镜头、景物模拟、医疗工程中的立体断面检查等方面得到广

6、泛物模拟、医疗工程中的立体断面检查等方面得到广泛物模拟、医疗工程中的立体断面检查等方面得到广泛物模拟、医疗工程中的立体断面检查等方面得到广泛的应用。的应用。的应用。的应用。4本讲稿第四页，共四十九页实体造型的概念实体造型的概念实体造型的概念实体造型的概念 所谓的实体造型是以立方体、圆柱体、球体、锥体、环状体等多所谓的实体造型是以立方体、圆柱体、球体、锥体、环状体等多所谓的实体造型是以立方体、圆柱体、球体、锥体、环状体等多所谓的实体造型是以立方体、圆柱体、球体、锥体、环状体等多种基本体素为单元元素，通过集合运算（拼合或布尔运算），生成种基本体素为单元元素，通过集合运算（拼合或布尔运算），生成种基

7、本体素为单元元素，通过集合运算（拼合或布尔运算），生成种基本体素为单元元素，通过集合运算（拼合或布尔运算），生成所需要的几何形体。这些形体具有完整的几何信息，是真实而唯一所需要的几何形体。这些形体具有完整的几何信息，是真实而唯一所需要的几何形体。这些形体具有完整的几何信息，是真实而唯一所需要的几何形体。这些形体具有完整的几何信息，是真实而唯一的三维物体。的三维物体。的三维物体。的三维物体。实体造型包括两部分内容：实体造型包括两部分内容：实体造型包括两部分内容：实体造型包括两部分内容：a a、体素定义和描述、体素定义和描述、体素定义和描述、体素定义和描述b b、体素之间的布尔运算（并、交、差）、

8、体素之间的布尔运算（并、交、差）、体素之间的布尔运算（并、交、差）、体素之间的布尔运算（并、交、差）实体造型方法主要有：实体造型方法主要有：实体造型方法主要有：实体造型方法主要有：u u边界表示法边界表示法边界表示法边界表示法u u构造实体几何法构造实体几何法构造实体几何法构造实体几何法u u扫描法扫描法扫描法扫描法5本讲稿第五页，共四十九页5.1 布尔运算理论布尔运算理论 布尔运算是构造复杂实体的有效工具。所谓的布尔运算是构造复杂实体的有效工具。所谓的布尔运算是构造复杂实体的有效工具。所谓的布尔运算是构造复杂实体的有效工具。所谓的布尔运算布尔运算布尔运算布尔运算就是如果一个实就是如果一个实就

9、是如果一个实就是如果一个实体是由两个或两个以上较简单的体素（体是由两个或两个以上较简单的体素（体是由两个或两个以上较简单的体素（体是由两个或两个以上较简单的体素（PrimitivePrimitive）经过集合运算得到的，那）经过集合运算得到的，那）经过集合运算得到的，那）经过集合运算得到的，那么这个实体的表示就是布尔模型，而这种集合运算叫布尔运算。么这个实体的表示就是布尔模型，而这种集合运算叫布尔运算。么这个实体的表示就是布尔模型，而这种集合运算叫布尔运算。么这个实体的表示就是布尔模型，而这种集合运算叫布尔运算。假设假设假设假设AA、BB为两个实体，为两个实体，为两个实体，为两个实体，C=AB

10、,C=AB,这里这里这里这里代表任一正则化布尔算代表任一正则化布尔算代表任一正则化布尔算代表任一正则化布尔算子，那么子，那么子，那么子，那么C C就是布尔模型。就是布尔模型。就是布尔模型。就是布尔模型。AA、BB、C C三者必须有相同的空间维数。符号三者必须有相同的空间维数。符号三者必须有相同的空间维数。符号三者必须有相同的空间维数。符号代表正则算子（布尔算子），它可以是代表正则算子（布尔算子），它可以是代表正则算子（布尔算子），它可以是代表正则算子（布尔算子），它可以是（并）、（并）、（并）、（并）、（交）和（交）和（交）和（交）和-（差）（差）（差）（差）等。等。等。等。6本讲稿第六页，共

11、四十九页正则体正则体为了保证几何造型的可靠性和可加工性，要求形体为了保证几何造型的可靠性和可加工性，要求形体上任何一点的足够小的领域在拓扑上应是一个等价的上任何一点的足够小的领域在拓扑上应是一个等价的封闭圈，即围绕该点的形体邻域在二维空间中可构成封闭圈，即围绕该点的形体邻域在二维空间中可构成一个单连通域，我们把满足这个定义的形体成为正则一个单连通域，我们把满足这个定义的形体成为正则形体。形体。7本讲稿第七页，共四十九页 集合运算（并、交、差）是构造形体的基本方法，正则形体集合运算（并、交、差）是构造形体的基本方法，正则形体集合运算（并、交、差）是构造形体的基本方法，正则形体集合运算（并、交、差

12、）是构造形体的基本方法，正则形体经过集合运算后，可能会产生悬边、悬面等低于三维的形体。正经过集合运算后，可能会产生悬边、悬面等低于三维的形体。正经过集合运算后，可能会产生悬边、悬面等低于三维的形体。正经过集合运算后，可能会产生悬边、悬面等低于三维的形体。正则集合运算保证集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、则集合运算保证集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、则集合运算保证集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、则集合运算保证集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、悬面等。悬面等。悬面等。悬面等。布尔模型的一个重要特点是：布尔模型的一个重要特点是：布尔模型的一个重要特点是：布

13、尔模型的一个重要特点是：布尔模型是一个过程模型（布尔模型是一个过程模型（布尔模型是一个过程模型（布尔模型是一个过程模型（Procedural ModelProcedural Model）例如：假定从例如：假定从例如：假定从例如：假定从AA、BB、C C三个实体的顶点坐标得知它们的大小、位置和方位，三个实体的顶点坐标得知它们的大小、位置和方位，三个实体的顶点坐标得知它们的大小、位置和方位，三个实体的顶点坐标得知它们的大小、位置和方位，DD的布尔模型是的布尔模型是的布尔模型是的布尔模型是D=D=（AABB）-C-C。该模型没有没有定量地说明新产生的实体，。该模型没有没有定量地说明新产生的实体，。该

14、模型没有没有定量地说明新产生的实体，。该模型没有没有定量地说明新产生的实体，（新体素的顶点坐标，或有关新棱边和面的任何信息）而是仅仅规定体素的（新体素的顶点坐标，或有关新棱边和面的任何信息）而是仅仅规定体素的（新体素的顶点坐标，或有关新棱边和面的任何信息）而是仅仅规定体素的（新体素的顶点坐标，或有关新棱边和面的任何信息）而是仅仅规定体素的结合方式，即关于结合方式，即关于结合方式，即关于结合方式，即关于AA、BB、C C三个体素的几何和拓扑信息，以及新实体三个体素的几何和拓扑信息，以及新实体三个体素的几何和拓扑信息，以及新实体三个体素的几何和拓扑信息，以及新实体DD的构的构的构的构造方法，因此，

15、布尔模型是过程模型，也可称作非求值模型。造方法，因此，布尔模型是过程模型，也可称作非求值模型。造方法，因此，布尔模型是过程模型，也可称作非求值模型。造方法，因此，布尔模型是过程模型，也可称作非求值模型。8本讲稿第八页，共四十九页 新实体的信息，是通过对布尔模型进行求值计算得到的。例如，计算新实体的信息，是通过对布尔模型进行求值计算得到的。例如，计算新实体的信息，是通过对布尔模型进行求值计算得到的。例如，计算新实体的信息，是通过对布尔模型进行求值计算得到的。例如，计算交线和交点、拓扑关系分类、分析运算得到的新元素的连通性，以确定交线和交点、拓扑关系分类、分析运算得到的新元素的连通性，以确定交线和

16、交点、拓扑关系分类、分析运算得到的新元素的连通性，以确定交线和交点、拓扑关系分类、分析运算得到的新元素的连通性，以确定该模型的拓扑特点，从而决定新的棱边和新的顶点。这一过程中，体素该模型的拓扑特点，从而决定新的棱边和新的顶点。这一过程中，体素该模型的拓扑特点，从而决定新的棱边和新的顶点。这一过程中，体素该模型的拓扑特点，从而决定新的棱边和新的顶点。这一过程中，体素的结构表示的结构表示的结构表示的结构表示就是将布尔算子就是将布尔算子就是将布尔算子就是将布尔算子直接变换成二叉树结构表示，在模型的二直接变换成二叉树结构表示，在模型的二直接变换成二叉树结构表示，在模型的二直接变换成二叉树结构表示，在模

17、型的二叉树结构中，叶结点上是体素，每个内部结点及根结点上是布尔算子。叉树结构中，叶结点上是体素，每个内部结点及根结点上是布尔算子。叉树结构中，叶结点上是体素，每个内部结点及根结点上是布尔算子。叉树结构中，叶结点上是体素，每个内部结点及根结点上是布尔算子。体素的构造体素的构造体素的构造体素的构造 在计算机系统中，体素是作为图模型存储，其数据结构形式为二在计算机系统中，体素是作为图模型存储，其数据结构形式为二在计算机系统中，体素是作为图模型存储，其数据结构形式为二在计算机系统中，体素是作为图模型存储，其数据结构形式为二叉树结构。这些体素模型的二叉树上的叶结点是可以缩放和定位的叉树结构。这些体素模型

18、的二叉树上的叶结点是可以缩放和定位的叉树结构。这些体素模型的二叉树上的叶结点是可以缩放和定位的叉树结构。这些体素模型的二叉树上的叶结点是可以缩放和定位的单元形体和参数化形体。单元形体和参数化形体。单元形体和参数化形体。单元形体和参数化形体。另外，体素也可以是有向曲面或半空间的布尔组合。有向曲面就是由另外，体素也可以是有向曲面或半空间的布尔组合。有向曲面就是由另外，体素也可以是有向曲面或半空间的布尔组合。有向曲面就是由另外，体素也可以是有向曲面或半空间的布尔组合。有向曲面就是由其面上任何一点的法向决定体素内部和外部的曲面。一个无界面将笛卡尔其面上任何一点的法向决定体素内部和外部的曲面。一个无界面

19、将笛卡尔其面上任何一点的法向决定体素内部和外部的曲面。一个无界面将笛卡尔其面上任何一点的法向决定体素内部和外部的曲面。一个无界面将笛卡尔空间划分为两个无界区，每个无界区被称作半空间。空间划分为两个无界区，每个无界区被称作半空间。空间划分为两个无界区，每个无界区被称作半空间。空间划分为两个无界区，每个无界区被称作半空间。一组特定的半空间通一组特定的半空间通一组特定的半空间通一组特定的半空间通过布尔交可以形成一个三维实体。过布尔交可以形成一个三维实体。过布尔交可以形成一个三维实体。过布尔交可以形成一个三维实体。9本讲稿第九页，共四十九页布尔运算的具体实现布尔运算的具体实现布尔运算的具体实现布尔运算

20、的具体实现 设设设设AA和和和和BB是两个分别用是两个分别用是两个分别用是两个分别用B-rep B-rep（边界表示法）法描述的多面体，布尔运算（边界表示法）法描述的多面体，布尔运算（边界表示法）法描述的多面体，布尔运算（边界表示法）法描述的多面体，布尔运算C=ABC=AB的运算过程一般由下面几个步骤逐渐完成。的运算过程一般由下面几个步骤逐渐完成。的运算过程一般由下面几个步骤逐渐完成。的运算过程一般由下面几个步骤逐渐完成。（1 1）确定布尔运算两物体之间的关系）确定布尔运算两物体之间的关系）确定布尔运算两物体之间的关系）确定布尔运算两物体之间的关系 物体的物体的物体的物体的B-repB-rep

21、结构表示中，面、边、点之间的基本分类关系分别结构表示中，面、边、点之间的基本分类关系分别结构表示中，面、边、点之间的基本分类关系分别结构表示中，面、边、点之间的基本分类关系分别是是是是“点在面上点在面上点在面上点在面上”、“点在边上点在边上点在边上点在边上”、“两点重合两点重合两点重合两点重合”、“边在面上边在面上边在面上边在面上”、“两边两边两边两边共线共线共线共线”、“两个多边形共面两个多边形共面两个多边形共面两个多边形共面”等六种关系。等六种关系。等六种关系。等六种关系。(2)(2)进行边、体分类进行边、体分类进行边、体分类进行边、体分类 对对对对AA物体上的每一条边，确定对物体上的每一

22、条边，确定对物体上的每一条边，确定对物体上的每一条边，确定对 B B物体的分类关系（物体的分类关系（物体的分类关系（物体的分类关系（AA在在在在BB物体内、外、上物体内、外、上物体内、外、上物体内、外、上面、相交等）；同样对面、相交等）；同样对面、相交等）；同样对面、相交等）；同样对BB物体上的每一条边，确定对物体上的每一条边，确定对物体上的每一条边，确定对物体上的每一条边，确定对 A A物体的分类关系。物体的分类关系。物体的分类关系。物体的分类关系。（3 3）计算多边形的交线）计算多边形的交线）计算多边形的交线）计算多边形的交线 计算计算计算计算AA物体上的多边形物体上的多边形物体上的多边形

23、物体上的多边形PAPA和和和和BB物体上的多边形物体上的多边形物体上的多边形物体上的多边形PBPB的交线。在布尔模型的边的交线。在布尔模型的边的交线。在布尔模型的边的交线。在布尔模型的边界求值计算方面，求交计算是关键一环。界求值计算方面，求交计算是关键一环。界求值计算方面，求交计算是关键一环。界求值计算方面，求交计算是关键一环。10本讲稿第十页，共四十九页（4 4）构造新物体）构造新物体）构造新物体）构造新物体C C表面上的边表面上的边表面上的边表面上的边 对于物体对于物体对于物体对于物体AA和物体和物体和物体和物体BB上的每一个多边形上的每一个多边形上的每一个多边形上的每一个多边形PAPA、

24、PBPB，根据布尔运算算子收，根据布尔运算算子收，根据布尔运算算子收，根据布尔运算算子收集多边形集多边形集多边形集多边形PAPA与多边形与多边形与多边形与多边形PBPB的交线以生成新物体的交线以生成新物体的交线以生成新物体的交线以生成新物体C C表面的边，如果多边形表面的边，如果多边形表面的边，如果多边形表面的边，如果多边形PAPA上有边被收集到新物体上有边被收集到新物体上有边被收集到新物体上有边被收集到新物体C C的表面，则的表面，则的表面，则的表面，则 PA PA所在的平面就成为新物体所在的平面就成为新物体所在的平面就成为新物体所在的平面就成为新物体C C表面上表面上表面上表面上的一个平面

25、，多边形的一个平面，多边形的一个平面，多边形的一个平面，多边形PAPA的一部分或全部则成为新物体的一部分或全部则成为新物体的一部分或全部则成为新物体的一部分或全部则成为新物体C C的一个或多个多边的一个或多个多边的一个或多个多边的一个或多个多边形。如果定义了两个物体形。如果定义了两个物体形。如果定义了两个物体形。如果定义了两个物体AA和和和和BB的完整边界，那么物体的完整边界，那么物体的完整边界，那么物体的完整边界，那么物体C C的完整边界就是的完整边界就是的完整边界就是的完整边界就是AA和和和和BB边界各部分的总和。边界各部分的总和。边界各部分的总和。边界各部分的总和。（5 5）构造多边形的

26、面）构造多边形的面）构造多边形的面）构造多边形的面 对新物体对新物体对新物体对新物体C C上的每一个面，将其边排序构成上的每一个面，将其边排序构成上的每一个面，将其边排序构成上的每一个面，将其边排序构成多边形面环。多边形面环。多边形面环。多边形面环。（6 6）合法性检查）合法性检查）合法性检查）合法性检查 检查体检查体检查体检查体C C的的的的B-repB-rep表示的合法性。表示的合法性。表示的合法性。表示的合法性。11本讲稿第十一页，共四十九页实体造型边界表示法实体造型边界表示法 边界表示法边界表示法B-rep(BoundaryB-rep(Boundaryrepresentareprese

27、ntations)tions)是是以物体边界为基础，定义和描述几何形体的方法以物体边界为基础，定义和描述几何形体的方法。具体来说就是，每个物体都由有限个面构成，每个面具体来说就是，每个物体都由有限个面构成，每个面（平面或曲面）由有限条边围成的有限个封闭域定义。（平面或曲面）由有限条边围成的有限个封闭域定义。或者说，物体的边界是有限个单元面的并集，而每一或者说，物体的边界是有限个单元面的并集，而每一个单元面也必须是有界的，用边界法描述实体，必须个单元面也必须是有界的，用边界法描述实体，必须满足一定条件。一个理想、有效表面的条件是：封闭、满足一定条件。一个理想、有效表面的条件是：封闭、有向、不自交

28、、有限和相连接，并能区分实体边界内、有向、不自交、有限和相连接，并能区分实体边界内、边界外和边界上的点。边界外和边界上的点。这种方法能给出物体完整、显式的边界描述。这种方法能给出物体完整、显式的边界描述。12本讲稿第十二页，共四十九页边界法数据结构边界法数据结构 边界表示法强调物体的外表细节，其数据结构是把面、顶点边界表示法强调物体的外表细节，其数据结构是把面、顶点边界表示法强调物体的外表细节，其数据结构是把面、顶点边界表示法强调物体的外表细节，其数据结构是把面、顶点的信息分层记录，并建立层与层之间的关系，如下图所示。的信息分层记录，并建立层与层之间的关系，如下图所示。的信息分层记录，并建立层

29、与层之间的关系，如下图所示。的信息分层记录，并建立层与层之间的关系，如下图所示。13本讲稿第十三页，共四十九页分层记录的信息包括相互独立双相互联系的两部分：分层记录的信息包括相互独立双相互联系的两部分：一组是一组是几何信息几何信息，一组为，一组为拓扑信息拓扑信息。几何信息是指欧氏。几何信息是指欧氏空间中的位置和大小，包括点的坐标，曲线和曲面的空间中的位置和大小，包括点的坐标，曲线和曲面的数学方程等；拓扑信息是指几何体顶点、边、面的数数学方程等；拓扑信息是指几何体顶点、边、面的数目、类型以及相互间的连通关系。根据这些明确的记目、类型以及相互间的连通关系。根据这些明确的记录信息，可以知道几何体表面

30、的范围及其邻接情况。录信息，可以知道几何体表面的范围及其邻接情况。14本讲稿第十四页，共四十九页 边界表示法通过五层边界表示法通过五层或六层的拓扑结构来描述或六层的拓扑结构来描述三维形体，并存储形体的三维形体，并存储形体的几何信息，如右图所示，几何信息，如右图所示，因此该方法对形体的信息因此该方法对形体的信息描述最完整。描述最完整。15本讲稿第十五页，共四十九页在边界表示的建模系统中通常采用翼边数据结构，这种数据结在边界表示的建模系统中通常采用翼边数据结构，这种数据结构是由斯坦福大学鲍姆加特（构是由斯坦福大学鲍姆加特（B.G.BaumgartB.G.Baumgart）于）于7070年代创造年代

31、创造性地提出的，旨在为了有效地表示几何体的拓扑关系边结构。性地提出的，旨在为了有效地表示几何体的拓扑关系边结构。运用翼边数据结构，当检索到某条边后就可方便地检索到该条运用翼边数据结构，当检索到某条边后就可方便地检索到该条边的右邻面和左邻面、边的右邻面和左邻面、该条边的两端点和上下左右的该条边的两端点和上下左右的四条邻边。由此，通过边可方四条邻边。由此，通过边可方便地查找出各种元素的连接关便地查找出各种元素的连接关系。边界表示法存储信息完整，系。边界表示法存储信息完整，信息量大，相应存储容量也大。信息量大，相应存储容量也大。16本讲稿第十六页，共四十九页 边界表示法在绝大多数情况下，允许直接用面

32、、边、边界表示法在绝大多数情况下，允许直接用面、边、边界表示法在绝大多数情况下，允许直接用面、边、边界表示法在绝大多数情况下，允许直接用面、边、点定义的数据实现有关几何体结构的运算。这有利于生成点定义的数据实现有关几何体结构的运算。这有利于生成点定义的数据实现有关几何体结构的运算。这有利于生成点定义的数据实现有关几何体结构的运算。这有利于生成和绘制线框图、投影图、有限元网格的划分和几何特性计和绘制线框图、投影图、有限元网格的划分和几何特性计和绘制线框图、投影图、有限元网格的划分和几何特性计和绘制线框图、投影图、有限元网格的划分和几何特性计算，容易与二维绘图软件衔接生成工程图。此外，边界表算，容

33、易与二维绘图软件衔接生成工程图。此外，边界表算，容易与二维绘图软件衔接生成工程图。此外，边界表算，容易与二维绘图软件衔接生成工程图。此外，边界表示法还能够构造用示法还能够构造用示法还能够构造用示法还能够构造用CSGCSGCSGCSG法的体素无法拼合实现的复杂形体，法的体素无法拼合实现的复杂形体，法的体素无法拼合实现的复杂形体，法的体素无法拼合实现的复杂形体，如飞机、汽车等，因此，实体的边界表达模型在实际工程如飞机、汽车等，因此，实体的边界表达模型在实际工程如飞机、汽车等，因此，实体的边界表达模型在实际工程如飞机、汽车等，因此，实体的边界表达模型在实际工程有着广泛的应用。有着广泛的应用。有着广泛

34、的应用。有着广泛的应用。边界表示法的缺点边界表示法的缺点边界表示法的缺点边界表示法的缺点：1 1 1 1、存储量大、存储量大、存储量大、存储量大;2 2 2 2、必须提供一个方便的用户界面才能使信息量如此大、必须提供一个方便的用户界面才能使信息量如此大、必须提供一个方便的用户界面才能使信息量如此大、必须提供一个方便的用户界面才能使信息量如此大的系统建立起它的边界信息。的系统建立起它的边界信息。的系统建立起它的边界信息。的系统建立起它的边界信息。17本讲稿第十七页，共四十九页 边界表示边界表示边界表示边界表示B-repB-repB-repB-rep法中的表面合法性问题法中的表面合法性问题法中的表

35、面合法性问题法中的表面合法性问题 采用边界表示采用边界表示采用边界表示采用边界表示B-repB-rep法时，存在表面合法性问题。主要包括：一、几何数法时，存在表面合法性问题。主要包括：一、几何数法时，存在表面合法性问题。主要包括：一、几何数法时，存在表面合法性问题。主要包括：一、几何数据方面，二、拓扑方面。据方面，二、拓扑方面。据方面，二、拓扑方面。据方面，二、拓扑方面。如何检查和保证合法性如何检查和保证合法性如何检查和保证合法性如何检查和保证合法性 几何数据的合法性一般由模型的设计者通过监视等手段来保证，而拓扑方面几何数据的合法性一般由模型的设计者通过监视等手段来保证，而拓扑方面几何数据的合

36、法性一般由模型的设计者通过监视等手段来保证，而拓扑方面几何数据的合法性一般由模型的设计者通过监视等手段来保证，而拓扑方面的合法性则由欧拉公式及欧拉算子来检查保证。的合法性则由欧拉公式及欧拉算子来检查保证。的合法性则由欧拉公式及欧拉算子来检查保证。的合法性则由欧拉公式及欧拉算子来检查保证。欧拉公式为欧拉公式为欧拉公式为欧拉公式为 V-E+F=2(s-h)+r V-E+F=2(s-h)+r 其中其中其中其中 V V：顶点数：顶点数：顶点数：顶点数 E E：边数：边数：边数：边数 F F：面数；：面数；：面数；：面数；s s：相当于独立的、不相连续的多面体数：相当于独立的、不相连续的多面体数：相当于

37、独立的、不相连续的多面体数：相当于独立的、不相连续的多面体数 h h：是贯穿多面体的孔的个数；：是贯穿多面体的孔的个数；：是贯穿多面体的孔的个数；：是贯穿多面体的孔的个数；r r：则为所有面上未连通的内环数：则为所有面上未连通的内环数：则为所有面上未连通的内环数：则为所有面上未连通的内环数 需要说明的是欧拉公式是检查实体有效性的必要条件，而不是充分条件。需要说明的是欧拉公式是检查实体有效性的必要条件，而不是充分条件。需要说明的是欧拉公式是检查实体有效性的必要条件，而不是充分条件。需要说明的是欧拉公式是检查实体有效性的必要条件，而不是充分条件。18本讲稿第十八页，共四十九页如下图如下图5-45-

38、4所示的三个物体，所示的三个物体，(1)(1)中的圆柱孔可看作是一个中的圆柱孔可看作是一个近似的四棱柱，用欧拉公式检查全部合格，均为合法形体。结近似的四棱柱，用欧拉公式检查全部合格，均为合法形体。结果如下：果如下：V VE EF=2(sF=2(sh)h)r r(a)14(a)14212110=2110=2120201 1(b)16(b)16242411=2111=2120201 1(c)24(c)24363615=21-2115=21-213 319本讲稿第十九页，共四十九页在保证欧拉不变性定理的条件下，对实体数据结构中在保证欧拉不变性定理的条件下，对实体数据结构中的的V V、E E、F F、

39、B B、G G、L L等进行的实或虚的数据项的增、等进行的实或虚的数据项的增、删、改的操作称为欧拉操作。现在已有一套欧拉算子删、改的操作称为欧拉操作。现在已有一套欧拉算子供用户使用，保证在每一步欧拉操作后正在构造中的供用户使用，保证在每一步欧拉操作后正在构造中的物体符合欧拉公式。物体符合欧拉公式。边界表示法的特点边界表示法的特点Brep表示的优点表示的优点：（1）表示形体的点、边、面等几何元素是显式表示的，使得）表示形体的点、边、面等几何元素是显式表示的，使得绘制绘制Brep表示的形体的速度较快，而且比较容易确定几何元素表示的形体的速度较快，而且比较容易确定几何元素间的连接关系；间的连接关系；

40、20本讲稿第二十页，共四十九页（2）容易支持对物体的各种局部操作，比如进行倒角，我）容易支持对物体的各种局部操作，比如进行倒角，我们不必修改形体的整体数据结构，而只需提取被倒角的边和们不必修改形体的整体数据结构，而只需提取被倒角的边和与它相邻两面的有关信息，然后，施加倒角运算就可以了；与它相邻两面的有关信息，然后，施加倒角运算就可以了；（3）便于在数据结构上附加各种非几何信息，如精度、表面）便于在数据结构上附加各种非几何信息，如精度、表面粗糙度等。粗糙度等。Brep表示的缺点表示的缺点：（1）数据结构复杂，需要大量的存储空间，维护内部数据结）数据结构复杂，需要大量的存储空间，维护内部数据结构的

41、程序比较复杂；构的程序比较复杂；（2）Brep表示不一定对应一个有效形体。表示不一定对应一个有效形体。21本讲稿第二十一页，共四十九页构造实体几何法构造实体几何法构造实体几何法构造实体几何法 构造实体几何法构造实体几何法构造实体几何法构造实体几何法CSG(Constructive Solid Geometry)CSG(Constructive Solid Geometry)是一是一是一是一种通过描述基本体素和集合运算（布尔）（并、交、差等）来构造实种通过描述基本体素和集合运算（布尔）（并、交、差等）来构造实种通过描述基本体素和集合运算（布尔）（并、交、差等）来构造实种通过描述基本体素和集合运算

42、（布尔）（并、交、差等）来构造实体，即用基本体素拼合成复杂实体的建模方法。体，即用基本体素拼合成复杂实体的建模方法。体，即用基本体素拼合成复杂实体的建模方法。体，即用基本体素拼合成复杂实体的建模方法。CSG CSG可看成物体的单元分解的结果。在模型被分解为单元以后，通过可看成物体的单元分解的结果。在模型被分解为单元以后，通过可看成物体的单元分解的结果。在模型被分解为单元以后，通过可看成物体的单元分解的结果。在模型被分解为单元以后，通过拼合运算（并集）能使其结合为一体。拼合运算（并集）能使其结合为一体。拼合运算（并集）能使其结合为一体。拼合运算（并集）能使其结合为一体。CSGCSG可以使用所有正

43、则布尔运算：可以使用所有正则布尔运算：可以使用所有正则布尔运算：可以使用所有正则布尔运算：并集，交集、差集，从而既可以增加体素，又可以移去体素。以两个三维并集，交集、差集，从而既可以增加体素，又可以移去体素。以两个三维并集，交集、差集，从而既可以增加体素，又可以移去体素。以两个三维并集，交集、差集，从而既可以增加体素，又可以移去体素。以两个三维体素为例，运算结果如图所示。体素为例，运算结果如图所示。体素为例，运算结果如图所示。体素为例，运算结果如图所示。体素拼合的集合运算体素拼合的集合运算体素拼合的集合运算体素拼合的集合运算 22本讲稿第二十二页，共四十九页 CSG CSG表示法与机械装配的方

44、式极其类似。从定义体素到拼合实体的表示法与机械装配的方式极其类似。从定义体素到拼合实体的表示法与机械装配的方式极其类似。从定义体素到拼合实体的表示法与机械装配的方式极其类似。从定义体素到拼合实体的过程，如同先设计制造零部件，然后将零部件装配成产品的过程。因此过程，如同先设计制造零部件，然后将零部件装配成产品的过程。因此过程，如同先设计制造零部件，然后将零部件装配成产品的过程。因此过程，如同先设计制造零部件，然后将零部件装配成产品的过程。因此用该方法来描述复杂实体是十分简洁的，而且生成速度很快，从实体表用该方法来描述复杂实体是十分简洁的，而且生成速度很快，从实体表用该方法来描述复杂实体是十分简洁

45、的，而且生成速度很快，从实体表用该方法来描述复杂实体是十分简洁的，而且生成速度很快，从实体表示法到边界表示法的转换则需要进行大量计算（包括整体性计算、图形示法到边界表示法的转换则需要进行大量计算（包括整体性计算、图形示法到边界表示法的转换则需要进行大量计算（包括整体性计算、图形示法到边界表示法的转换则需要进行大量计算（包括整体性计算、图形显示模型计算和其他应用内容）。显示模型计算和其他应用内容）。显示模型计算和其他应用内容）。显示模型计算和其他应用内容）。用用用用CSGCSG表示构造几何形体时，通常是先定义体素，然后通过布尔运算将体表示构造几何形体时，通常是先定义体素，然后通过布尔运算将体表示

46、构造几何形体时，通常是先定义体素，然后通过布尔运算将体表示构造几何形体时，通常是先定义体素，然后通过布尔运算将体素拼合成所需要的几何体。其特点是信息简单，处理方便，无冗余的几何信息，素拼合成所需要的几何体。其特点是信息简单，处理方便，无冗余的几何信息，素拼合成所需要的几何体。其特点是信息简单，处理方便，无冗余的几何信息，素拼合成所需要的几何体。其特点是信息简单，处理方便，无冗余的几何信息，并详细记录了构成几何体的原始特征和全部定义参数，必要时还可以修改原体并详细记录了构成几何体的原始特征和全部定义参数，必要时还可以修改原体并详细记录了构成几何体的原始特征和全部定义参数，必要时还可以修改原体并详

47、细记录了构成几何体的原始特征和全部定义参数，必要时还可以修改原体素参数或附加体素进行重新拼合。素参数或附加体素进行重新拼合。素参数或附加体素进行重新拼合。素参数或附加体素进行重新拼合。CSGCSG表示的几何体具有唯一性和明确性，但表示的几何体具有唯一性和明确性，但表示的几何体具有唯一性和明确性，但表示的几何体具有唯一性和明确性，但一个几何体一个几何体一个几何体一个几何体CSGCSG表示和描述方式却不是唯一的，即可以用几种不同表示和描述方式却不是唯一的，即可以用几种不同表示和描述方式却不是唯一的，即可以用几种不同表示和描述方式却不是唯一的，即可以用几种不同CSGCSG树表树表树表树表示。示。示。

48、示。CSGCSG表示法对于自动加工生产有着潜在的意义。表示法对于自动加工生产有着潜在的意义。表示法对于自动加工生产有着潜在的意义。表示法对于自动加工生产有着潜在的意义。23本讲稿第二十三页，共四十九页构造实体几何法的特点：构造实体几何法的特点：CSG表示的优点：表示的优点：1)数据结构比较简单，数据量比较小，内部数据的管理数据结构比较简单，数据量比较小，内部数据的管理比较容易；比较容易；2)CSG表示可方便地转换成边界（表示可方便地转换成边界（Brep）表示；）表示；3)CSG方法表示的形体的形状，比较容易修改。方法表示的形体的形状，比较容易修改。CSG表示的缺点：表示的缺点：1)对形体的表示

49、受体素的种类和对体素操作的种类的限制，对形体的表示受体素的种类和对体素操作的种类的限制，也就是说，也就是说，CSG方法表示形体的覆盖域有较大的局限性；方法表示形体的覆盖域有较大的局限性；2)对形体的局部操作不易实现，例如，不能对基本体素对形体的局部操作不易实现，例如，不能对基本体素的交线倒圆角；的交线倒圆角；3)由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含地表示在由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含地表示在CSG中，故显示与绘制中，故显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间。表示的形体需要较长的时间。24本讲稿第二十四页，共四十九页CSGCSG与与B-repB-rep混合造型方法混合造型方

50、法 从从CAD/CAPP/CAMCAD/CAPP/CAM的集成和发展角度来看，单纯的几的集成和发展角度来看，单纯的几何模型已不能满足要求，而需要将几何模型发展成为产何模型已不能满足要求，而需要将几何模型发展成为产品模型，即将设计制造信息加到几何模型上。品模型，即将设计制造信息加到几何模型上。基于基于 CSG CSG和和B-repB-rep表示法的各自特点，所以有人便表示法的各自特点，所以有人便提出了在原来提出了在原来CSGCSG树的结点上再扩充一级边界数据结构树的结点上再扩充一级边界数据结构的设想，的设想，以便达到实现快速显示图形的目的。以便达到实现快速显示图形的目的。目前，许多目前，许多CA