经济数学第二章极限与连续精选文档.ppt

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1、经济数学第二章极限与连续本讲稿第一页，共四十五页2 2、数列极限的定性描述、数列极限的定性描述一个确定的常数一个确定的常数A,增大时的极限，增大时的极限，收敛收敛于于a或称数列或称数列 记为记为或或则称常数则称常数A为数列为数列当当n无限无限若当若当n n无限增大时无限增大时,或称数列发散或称数列发散则称数列则称数列 的极限不存在，的极限不存在，本讲稿第二页，共四十五页 C=C（常数列的极限就是这 个常数）设a0，则特别地 设q(-1，1)，则 qn=0；或 不存在。几个常用极限本讲稿第三页，共四十五页2.1.3函数的极限自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:沿x轴的正向与负向同时

2、无限远离原点沿x轴的正向无限远离原点沿x轴的负向无限远离原点x从x0点的左侧趋向于x0 x从x0点的右侧趋向于x0 x从x0点的两侧趋向于x0本讲稿第四页，共四十五页函数极限主要讲两个内容函数极限主要讲两个内容:1、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限2、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限本讲稿第五页，共四十五页1、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限 直观定义直观定义:设设 在在 ()时有定义时有定义,若若 无限增大时无限增大时,无限趋近于确定常数无限趋近于确定常数A,则则称称 时时,以以A为极限为极限,记为记为本讲稿第六页

3、，共四十五页由极限的直观定义可知由极限的直观定义可知所以f（x）=的极限是0记为：例：当 时，研究f（x）=的极限。本讲稿第七页，共四十五页直观定义:设函数 在点 的某一邻域内有定义(点 可以除外),若 以任意方式趋近于 时,无限趋近于确定常数 ,则称 时,以 为极限.记为2、自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限本讲稿第八页，共四十五页函数的左右极限的定义函数的左右极限的定义函数的左右极限统称为单侧极限函数的左右极限统称为单侧极限记作：记作：本讲稿第九页，共四十五页函数的左右极限的定义函数的左右极限的定义定理：定理：本讲稿第十页，共四十五页例例 设设函数函数讨论讨论 时时的

4、极限是否存在的极限是否存在.解解:利用定理利用定理 结合图示法结合图示法.因为因为 显然显然所以所以不存在不存在.本讲稿第十一页，共四十五页讨论分段函数在分段点处的极限时，当分段点两侧函数表达式不同时，要用左右极限讨论解：因为：本讲稿第十二页，共四十五页2.22.2极限的运算法则极限的运算法则则有则有法则法则1 1：若：若法则法则2 2：若若则有则有本讲稿第十三页，共四十五页法则 3：若且且 B0,则有则有推论推论 1.(C 为常数为常数)推论推论 2.2.(n 为正整数为正整数)本讲稿第十四页，共四十五页特别：若则有则有本讲稿第十五页，共四十五页例1求 解：原式=本讲稿第十六页，共四十五页例

5、2求 解：原式本讲稿第十七页，共四十五页解运用法则解运用法则1 1、2 2及推论可得及推论可得:例例3 因此因此本讲稿第十八页，共四十五页解：因为解：因为例例 4，在分式里分母不能为0，所以要对分子和分母进行因式分解，得：本讲稿第十九页，共四十五页作业3 求解解:时时,分子分子分子分母同除以分子分母同除以则则分母分母原式原式本讲稿第二十页，共四十五页 一一般般的的处处理理方方法法是是先先通通分分再再运运用用前前面面介介绍绍过过的的求求极极限的方法限的方法.例例 6本讲稿第二十一页，共四十五页2.3极限存在准则与两个重要极限1.夹逼准则(两边夹定理）一 极限存在准则定理定理 如果函数如果函数g

6、g（x x）、）、f f（x x）及）及 h h（x x）满）满足下列条件足下列条件:那么函数那么函数f f（x x）的极限存在）的极限存在,本讲稿第二十二页，共四十五页例1解由夹逼准则得由夹逼准则得本讲稿第二十三页，共四十五页2.单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:本讲稿第二十四页，共四十五页证：(舍去舍去).)n例2(的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列本讲稿第二十五页，共四十五页二、两个重要极限1、本讲稿第二十六页，共四十五页BD弧BCACsinxxtanx上式同时除以sinx,得：再进一步处理，得：上式子对于也成立由于由夹逼准则得：

7、本讲稿第二十七页，共四十五页例1.求解解:本讲稿第二十八页，共四十五页例2 （1 1）解:本讲稿第二十九页，共四十五页2、定义定义本讲稿第三十页，共四十五页2、无穷大量无穷大量 1、无穷小量无穷小量 2.4、无穷小与无穷大无穷小与无穷大,无穷小的比较无穷小的比较3、无穷小的比较、无穷小的比较本讲稿第三十一页，共四十五页当当1、无穷小量定义定义1.若若时时,函数函数则称函数则称函数例如例如:函数函数 当当时为无穷小时为无穷小;函数函数 时为无穷小时为无穷小;为为时的无穷小时的无穷小 量量.简称无穷小简称无穷小本讲稿第三十二页，共四十五页2、有界函数与无穷小的乘积是无穷小.3、常数与无穷小的乘积是

8、无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小.4、有限个无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积是无穷小.无穷小运算法则无穷小运算法则1、有限个无穷小的代数和还是无穷小、有限个无穷小的代数和还是无穷小说明说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小!本讲稿第三十三页，共四十五页其中其中 为为时的无穷小量时的无穷小量.定理 2.1.(无穷小与函数极限的关系)注：时结论也成立。本讲稿第三十四页，共四十五页定义定义2.若若时时,函数函数的绝对值无限增大，的绝对值无限增大，为为时的无穷小时的无穷小大量量.简称无穷大简称无穷大则称则称记为记为：2.4.2无穷大无穷大本讲稿第三十五页，共四十五

9、页2、极限非零的变量与无穷大之积仍为无穷大3、无穷大与无穷小之积仍为无穷大、无穷大与无穷小之积仍为无穷大无穷大的性质无穷大的性质1、有界变量与无穷大之和仍为无穷大、有界变量与无穷大之和仍为无穷大本讲稿第三十六页，共四十五页无穷小与无穷大的关系若若为无穷大为无穷大,为无穷小为无穷小;若若为无穷小为无穷小,且且则则为无穷大为无穷大.则则据此定理据此定理,关于无穷大的问题都可转化为关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论无穷小来讨论.定理定理2.2.在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,说明说明:本讲稿第三十七页，共四十五页例：求解解(由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系)x=1

10、 时时分母分母=0,分子分子0,因因本讲稿第三十八页，共四十五页2.4.3、无穷小的比较、无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.不可比不可比.观观察察各各极极限限本讲稿第三十九页，共四十五页定义定义2.11：设设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小,且且 是是 的高阶无穷小，记作的高阶无穷小，记作=0（）是是 的低阶无穷小的低阶无穷小 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小 是是 的等价无穷小，记为的等价无穷小，记为 是是 的的 k 阶无穷小阶无穷小本讲稿第四十页，共四十五页等价无穷小替换定理定理2.3(2.3

11、(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证本讲稿第四十一页，共四十五页常用等价无穷小常用等价无穷小:本讲稿第四十二页，共四十五页例例1 1解解本讲稿第四十三页，共四十五页例例2 2解解本讲稿第四十四页，共四十五页内容小结内容小结1.极限运算法则极限运算法则(1)无穷小运算法则无穷小运算法则(2)极限四则运算法则极限四则运算法则注意使用条件注意使用条件2.求函数极限的方法求函数极限的方法(1)分式函数极限求法分式函数极限求法时时,用代入法用代入法(分母不为分母不为 0)时时,对对型型,约去公因子约去公因子时时,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“抓大头抓大头”4.4.无穷小的比较无穷小的比较3.3.两个重要极限两个重要极限本讲稿第四十五页，共四十五页