高数矩阵的概念及运算 (2)精选文档.ppt

《高数矩阵的概念及运算 (2)精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数矩阵的概念及运算 (2)精选文档.ppt（57页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高数矩阵的概念及运算本讲稿第一页，共五十七页本节知识点和教学要求 知识点知识点矩阵的概念矩阵的概念 -矩阵的加减和倍数矩阵的加减和倍数矩阵的乘法矩阵的乘法 -初等变换和矩阵的秩初等变换和矩阵的秩逆矩阵逆矩阵 -求解可逆矩阵方程求解可逆矩阵方程 教学要求教学要求熟练掌握矩阵运算的基本法则熟练掌握矩阵运算的基本法则熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩熟练运用初等变换求矩阵的逆熟练运用初等变换求矩阵的逆熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程本讲稿第二页，共五十七页2.2.1 矩阵的概念引例引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台)51吋47吋

2、42吋一分店735二分店120求全年电视销售情况？51吋47吋42吋一分店1065二分店231某商店下半年电视销售情况(单位:百台)简记为本讲稿第三页，共五十七页定义矩阵矩形数表 用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象;方阵：m=n时,称n阶方阵或n阶矩阵;1阶矩阵就是一个数.向量:1 n阶矩阵行向量,n 1阶矩阵列向量.矩阵的简记法:(aij)mn用行向量表示用列向量表示这里，Aj为列向量，Bi为行向量。本讲稿第四页，共五十七页矩阵的相等矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才相等.行数和列数不相等的矩阵绝不能相等!行数和列数相同的矩阵称同型

3、矩阵，即两个矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。零矩阵矩阵O=(aij)mn的mn个元素均为零。即本讲稿第五页，共五十七页转置矩阵AT显然,n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵.(AT)T=A.本讲稿第六页，共五十七页系数矩阵和增广矩阵例2.2.1 三元线性方程组的和分别是系数矩阵增广矩阵n元线性方程组的情况见教材127页。本讲稿第七页，共五十七页中国古代算书中国古代算书九章算术九章算术中的中的“方程方程”刘徽的刘徽的九章算术九章算术中中方程方程章是这样说的。章是这样说的。“程，程，课程也。群物总杂课程也。群物总杂,各列有数，总言其实。令每行为率，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者

4、三程，皆如物数程之，并列为行，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程故谓之方程.”这段话的意思可以从这段话的意思可以从方程方程 章的第一道题看出章的第一道题看出,题目是题目是“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉上禾一秉，中禾二秉,下禾三秉，实二十六斗。问下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何上、中、下禾实一秉各几何?”(秉秉捆捆)本讲稿第八页，共五十七页“置上禾三秉置上禾三秉,中禾二秉中禾二秉,下禾一秉下禾一

5、秉,实三十九斗于右方实三十九斗于右方;中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次其次,亦以直除亦以直除”(直除直除减去对应的各数，到不能减去对应的各数，到不能再减为止再减为止).按照这种解法，列出下列算式：按照这种解法，列出下列算式：方程方程章的解法为章的解法为本讲稿第九页，共五十七页用右行上禾秉数用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得遍乘中行各数，得6,9,3,102 减去右减去右行对应各数，得行对应各数，得3,7,2,63，再减一次，得，再减一次，得 0,5,1,24，不能再减了不能再减了(消去一个未知数消去一个未知数上禾每秉的实上禾

6、每秉的实);又用又用3遍乘左行各数遍乘左行各数,得得3,6,9,78 减去右行对应各数，得减去右行对应各数，得0,4,8,39.如下如下:本讲稿第十页，共五十七页接着用中行接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除中禾不尽者遍乘左行而以直除”，即接，即接着消去左右两行中的中禾每秉的实着消去左右两行中的中禾每秉的实,同现代的解一次方程组的同现代的解一次方程组的加减消元法十分一致加减消元法十分一致.最后最后:左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾之实。求左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉

7、数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。斗。”法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的算术算术一书中一书中开始用不甚完整开始用不甚完整(没有认识负数没有认识负数)的加减消元法解联立一次的加减消元法解联立一次方程组。方程组。前面解题过程中的方框即可视为矩阵前面解题过程中的方框即可视为矩阵,可见矩阵并以矩阵可见矩阵并以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创解一次方程组是我国古代数学家首创.本讲稿

8、第十一页，共五十七页)定义定义2.2.2 矩阵的加减和倍数矩阵的加减和倍数1、矩阵的加法、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为本讲稿第十二页，共五十七页只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是同型矩阵同型矩阵时，才能进行加法运时，才能进行加法运算算.例如例如(即引例即引例)说明说明本讲稿第十三页，共五十七页(交换性交换性)(结合性结合性)(零矩阵的单位性零矩阵的单位性)2)矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律(保持转置性保持转置性)本讲稿第十四页，共五十七页(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法负矩阵的存在性和矩阵的减法称为矩阵A的负矩阵。这就是矩

9、阵的减法本讲稿第十五页，共五十七页例2.2.1设某公司的职工按男女区分统计如下设某公司的职工按男女区分统计如下从矩阵从矩阵 A B 中可了解该机械公司的职工总数情况：男性技术人员、中可了解该机械公司的职工总数情况：男性技术人员、生产工人、其他职工分别为生产工人、其他职工分别为150、400、15 人，而女性职工分别为人，而女性职工分别为 35、300、35 人人我们分别用矩阵 A 和 B 来列出总公司和分公司的职工人数情况，然后汇总统计用矩阵 A B 表示，即总公司分公司技术人员生产工人其他技术人员生产工人其他男50100510030010女10200152510020本讲稿第十六页，共五十七

10、页例例2.2.4 设设容易看出,有本讲稿第十七页，共五十七页1)1)定义定义2、矩阵的倍数(即数与矩阵相乘)本讲稿第十八页，共五十七页 矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的线性运线性运算算.（设（设 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）2)数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律(对加法的分配性对加法的分配性)(保持转置性保持转置性)(结合性结合性)本讲稿第十九页，共五十七页引例引例1计算过程可表示如下计算过程可表示如下:2.2.3 矩阵的乘法一个小学生买了一个小学生买了12支铅笔支铅笔,每支每支0.3元元;练习本练习本15本本,每本每本0.2元元;蓝墨水一瓶蓝墨水

11、一瓶,价价0.8元元.共花去多少钱共花去多少钱?这是一行矩阵与一列矩阵的乘法这是一行矩阵与一列矩阵的乘法.本讲稿第二十页，共五十七页能用矩阵表示计算过程吗能用矩阵表示计算过程吗?是否更简约是否更简约?引例引例 2 上例上例,若还有一个小学生买了若还有一个小学生买了8支铅笔支铅笔;练习本练习本10本本;蓝墨水蓝墨水2瓶瓶,各样物品价格相同各样物品价格相同.两人各自共花去多两人各自共花去多少钱少钱?若另一商店的价格是若另一商店的价格是用矩阵如何表示用矩阵如何表示?有何优点有何优点?当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵了当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵了本讲稿第二十一页，共五十七页引例引例3 某

12、商店上半年电视经营情况51吋47吋42吋一分店735二分店120某商店上半年电视销售情况(单位:百台)简记为51吋47吋42吋进货价321.5销售价3.32.21.6(单位:千元/台)本讲稿第二十二页，共五十七页这个结果的意义是什么?进货金额 销售金额利润一分店34.537.73.2二分店77.70.7(数量矩阵价格矩阵)(单位：十万元)本讲稿第二十三页，共五十七页并把此乘积记作并把此乘积记作设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中1.矩阵的乘法矩阵的乘法定义定义本讲稿第二十四页，共五十七

13、页设设例例2.2.62.2.6例例2.2.52.2.5本讲稿第二十五页，共五十七页故故解解本讲稿第二十六页，共五十七页例例2.2.72.2.7 设A,B分别是n1和1n矩阵,且计算AB和BA.本讲稿第二十七页，共五十七页解本讲稿第二十八页，共五十七页例如例如不存在不存在.注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘.本讲稿第二十九页，共五十七页矩阵乘积的认识矩阵乘积的认识定义4 设A是一个mn矩阵,B是一个ns矩阵则A的第i个行向量与B的第j个列向量之乘积为一个数，这个数就是AB的第i行第j列的元素,且本讲

14、稿第三十页，共五十七页定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质定理定理2.2.1方阵的行列式方阵的行列式即同阶方阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积。即同阶方阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积。本讲稿第三十一页，共五十七页因为因为所以如果有所以如果有2.矩阵的乘法和线性方程组的关系就有就有即即本讲稿第三十二页，共五十七页一般的线性方程组可以非常简单地表示为矩阵方程这里这里,本讲稿第三十三页，共五十七页（其中（其中 为数）为数）;若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且

15、并且 3.3.矩阵乘法的性质（运算律）矩阵乘法的性质（运算律）本讲稿第三十四页，共五十七页例例 设设则则从此例还可以看到从此例还可以看到:两个非零的矩阵两个非零的矩阵,其乘积可其乘积可能等于零能等于零.因此在矩阵等式中因此在矩阵等式中,不能用不能用消去律消去律.注意矩阵不满足交换律，即：注意矩阵不满足交换律，即：本讲稿第三十五页，共五十七页则有则有但也有例外，比如设但也有例外，比如设这属于特例，称之这属于特例，称之为为“可交换矩阵可交换矩阵”。本讲稿第三十六页，共五十七页4.单位矩阵单位矩阵如同数和乘法中的如同数和乘法中的 1单位矩阵是一个方阵单位矩阵是一个方阵,并且除左上角到右下角的对角线并

16、且除左上角到右下角的对角线(称为主对角线称为主对角线)上的元素均为上的元素均为1以外以外,其他元素全都为其他元素全都为0,即即这里这里,A是是mn阶矩阵阶矩阵,上式任何矩阵上式任何矩阵左乘左乘或或右乘右乘一一个单位矩阵个单位矩阵,其积仍为该矩阵其积仍为该矩阵.可验证可验证本讲稿第三十七页，共五十七页解法解法1例例2.2.8 2.2.8 已知已知本讲稿第三十八页，共五十七页解法解法 2本讲稿第三十九页，共五十七页五、小结五、小结矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘（矩阵的倍数）数与矩阵相乘（矩阵的倍数）矩阵与矩阵相乘（要逐步熟悉）矩阵与矩阵相乘（要逐步熟悉）转置矩阵转置矩阵方阵的行列式方阵的行列

17、式对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵共轭矩阵共轭矩阵本讲稿第四十页，共五十七页（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算进行加法运算.注意注意作业作业本讲稿第四十一页，共五十七页思考题思考题成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?本讲稿第四十二页，共五十七页思考题解答思考题解答答答故故 成立的充要条件为成立的充要条件为本讲稿第四十三页，共五十七页作作 业业(教材第143页)2

18、.2.4-2.2.6 本讲稿第四十四页，共五十七页九章算术卷八九章算术卷八本讲稿第四十五页，共五十七页解解*例例2本讲稿第四十六页，共五十七页由此归纳出由此归纳出小结小结本讲稿第四十七页，共五十七页当当 时，显然成立时，显然成立.假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，用数学归纳法证明用数学归纳法证明本讲稿第四十八页，共五十七页所以对于任意的所以对于任意的 都有都有本讲稿第四十九页，共五十七页定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例、转置矩阵、转置矩阵四、矩阵的其它运算(已并入前面各项已并入前面各

19、项,其它的本书不再深入其它的本书不再深入)本讲稿第五十页，共五十七页转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质本讲稿第五十一页，共五十七页3、对称阵与伴随矩阵、对称阵与伴随矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等等.说明说明本讲稿第五十二页，共五十七页例例6 6 设列矩阵设列矩阵 满足满足 证明证明本讲稿第五十三页，共五十七页例例7 7 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.证明证明 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证命题得证.本讲稿第五十四页，共五十七页定义定义行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵性质性质证明证明则则称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.本讲稿第五十五页，共五十七页4 4、共轭矩阵、共轭矩阵定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵.故故同理可得同理可得本讲稿第五十六页，共五十七页运算性质运算性质（设（设 为复矩阵，为复矩阵，为复数为复数,且运算都是可且运算都是可行的）行的）:本讲稿第五十七页，共五十七页