二维线性变换PPT讲稿.ppt

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1、二维线性变换二维线性变换第1页，共121页，编辑于2022年，星期三*2*第6章2T可写成可写成 即由即由M*N个分块子矩阵个分块子矩阵Tmn(阶数阶数M*N)组成组成线性变换写成矩阵形式线性变换写成矩阵形式 F和和P分别是输入和输出矩阵分别是输入和输出矩阵 和和 为只有一个元素（第为只有一个元素（第n和和m个）为个）为1的列矢量的列矢量 为取出为取出F的每个元素的每个元素第2页，共121页，编辑于2022年，星期三*3*第6章3若变换矩阵若变换矩阵T是行列可分离的，则是行列可分离的，则 为为TC和和TR的左直接积，的左直接积，TC和和TR均为均为M*N矩阵矩阵 左直接积（左直接积（Krone

2、cker积）积）线性变换线性变换第3页，共121页，编辑于2022年，星期三*4*第6章46.1.2 二维叠加算子二维叠加算子（1）有限区域算子）有限区域算子叠加区域有限叠加区域有限（2）无限区域算子）无限区域算子（3）循环区域算子）循环区域算子第4页，共121页，编辑于2022年，星期三*5*第6章5一有限区域叠加算子一有限区域叠加算子设一数据方阵设一数据方阵F=f(n1,n2)，其中，其中n1,n2=1,N.即大即大小有限。小有限。另设一冲击响应算子另设一冲击响应算子H=h(l1,l2;m1,m2)，其中，其中l1,l2=1,2,L，m1,m2 表示表示H随输出方阵随输出方阵Q=q(m1,

3、m2)中的位置中的位置(m1,m2)而变。而变。我们定义有限区域叠加运算为我们定义有限区域叠加运算为式中式中 m1,m2=1,2,.,M,若若H对空间移位不变对空间移位不变有限区域卷积算子有限区域卷积算子 第5页，共121页，编辑于2022年，星期三*6*第6章6 F H Q N=3 L=2 M=N+L-1=4 二维卷积示意图f11f12f13f21f22f23f31f32f33h11h12h21h22q11q12q13q21q22q23q31q32q33q14q24q34q41q42q43q44f11f12f13f21f22f23f31f32f33h22h21h12h11h22h22h21h

4、12h11h22h21h12h11第6页，共121页，编辑于2022年，星期三*7*第6章7若用矢量形式若用矢量形式，T为为M2*N2 矩阵矩阵第7页，共121页，编辑于2022年，星期三*8*第6章8T的分块矩阵的形式的分块矩阵的形式(M*N个分块个分块)每每个个分分块块子子阵阵 Tm2n2，m2=1,2,M,n2=1,2,N也也为为 M*N 阶阶，其元素为其元素为对空间移位不变的对空间移位不变的H有有有限区域卷积算子有限区域卷积算子 即分块子阵沿斜线方向重复即分块子阵沿斜线方向重复 且同一子阵内有且同一子阵内有 即子阵内元素亦沿斜线方向重复即子阵内元素亦沿斜线方向重复第8页，共121页，编

5、辑于2022年，星期三*9*第6章9有限区域叠加算子有限区域叠加算子 的矩阵形式的矩阵形式若冲击响应若冲击响应H是空间移位不变且行列可分离是空间移位不变且行列可分离 这里这里 和和 是两个列矩阵是两个列矩阵 则则 TR和和TC 都是都是M N 阶矩阵阶矩阵 线性可分离处理线性可分离处理第9页，共121页，编辑于2022年，星期三*10*第6章10二循环区域叠加算子二循环区域叠加算子若若输输入入F为为N*N阶阶矩矩阵阵，冲冲激激响响应应H为为L*L阶阶矩矩阵阵，则则输输出出矩矩阵阵为为N+L-1阶阶，比比F和和H都都大大 扩大到扩大到JN+L-1 F H循环叠加算子定义为循环叠加算子定义为 J*

6、J N*NJ*J L*L第10页，共121页，编辑于2022年，星期三*11*第6章116.1.3 二维酉变换二维酉变换一酉变换算子一酉变换算子 若图像阵列若图像阵列 F(n1,n2)为为 N1 N2 阵列，定义正变换阵列，定义正变换反变换反变换A称为正变换核，称为正变换核，B称为反变换核称为反变换核 若变换核满足正交归一条件，则称为若变换核满足正交归一条件，则称为酉变换酉变换：第11页，共121页，编辑于2022年，星期三*12*第6章12若若则称为则称为可分离的可分离的，有，有若若 与与 有相同的函数形式，则称为有相同的函数形式，则称为对称的对称的 第12页，共121页，编辑于2022年，

7、星期三*13*第6章13二酉变换的矢量空间表示二酉变换的矢量空间表示F:图像矩阵图像矩阵,图像矢量图像矢量,F :变换后的矩阵变换后的矩阵正变换正变换反变换反变换 有有 B=A-1若为酉变换，则必有：若为酉变换，则必有：A-1=(A*)T 即即A是一个酉矩阵是一个酉矩阵若若A为实数酉矩阵，则为实数酉矩阵，则 A-1=AT 若变换核可行、列分离若变换核可行、列分离正变换正变换F=ACFATR，反变换，反变换 F=BCF BTR 式中式中BC=A-1C,BR=A-1R 这是因为这是因为 第13页，共121页，编辑于2022年，星期三*14*第6章14可分离酉变换也可用矢量外积之和表示可分离酉变换也

8、可用矢量外积之和表示这里这里 ，分别是酉矩阵分别是酉矩阵AR的第的第n2 列矢量列矢量和和AC 的第的第n1 列矢量列矢量酉变换把二维图像分解为广义二维频谱。酉变换把二维图像分解为广义二维频谱。每一谱分量反映了原图中相应谱函数的能量。每一谱分量反映了原图中相应谱函数的能量。每个像素点每个像素点F(n1,n2)对图像频谱（变换域）的贡献为对应对图像频谱（变换域）的贡献为对应的基底矩阵的基底矩阵第14页，共121页，编辑于2022年，星期三*15*第6章15对酉变换的解释对酉变换的解释同样反变换也有同样反变换也有反变换是利用每一频谱分量的贡献来合成原图像反变换是利用每一频谱分量的贡献来合成原图像每

9、一频谱分量的贡献是一个矩阵，称为二维基底函数；每一频谱分量的贡献是一个矩阵，称为二维基底函数；F(m1,m2)是频谱分量，用来加权是频谱分量，用来加权第15页，共121页，编辑于2022年，星期三*16*第6章166.2 Fourier变换及其性质变换及其性质6.2.1 一维一维Fourier变换变换正变换正变换 u=0,1,N-1 反变换反变换 x=0,1,N-1第16页，共121页，编辑于2022年，星期三*17*第6章176.2.2 二维二维Fourier 变换变换设设N1=N2=N 正变换正变换 u,v=0,1,N-1 反变换反变换 x,y=0,1,N-1 二维二维Fourier变换的

10、频谱为：变换的频谱为：相位角为：相位角为：功率谱：功率谱：第17页，共121页，编辑于2022年，星期三*18*第6章18f(x,y)xy第18页，共121页，编辑于2022年，星期三*19*第6章19第19页，共121页，编辑于2022年，星期三*20*第6章206.2.3 2-D Fourier变换的性质变换的性质 1变换核的可分离性变换核的可分离性正变换正变换 u,v=0,1,N-1 反变换反变换 x,y=0,1,N-1 二维变换可化为一维变换计算 第20页，共121页，编辑于2022年，星期三*21*第6章212平移性平移性 因为因为 和和空间域平移（空间域平移（x0,y0）等价于在频

11、域中线性相位）等价于在频域中线性相位改变，但幅度不变改变，但幅度不变 频域中平移（频域中平移（u0,v0），等价于在空间域被一复），等价于在空间域被一复正弦函数相乘正弦函数相乘,也相当于在空间域被调制到也相当于在空间域被调制到（u0,v0）频率上）频率上 第21页，共121页，编辑于2022年，星期三*22*第6章22Lenna图的频谱图原点移到中心的频谱图特别地，若特别地，若 有有故故第22页，共121页，编辑于2022年，星期三*23*第6章233周期性周期性 若若N是长度，用是长度，用u+mN代代 u，用，用 v+nN 代代 v，其中，其中m,n=0,1,2,则有则有 用到用到从频域变换

12、回来的空间域从频域变换回来的空间域也有这样的周期性也有这样的周期性 周期性循环的二维频谱第23页，共121页，编辑于2022年，星期三*24*第6章244.共轭对称性共轭对称性 因为因为 有有 将其中将其中u换成换成-u，v换成换成-v，有：，有：对于对于m,n=0,1,2,成立成立 若若m,n=1,则则 对第对第0列，列，u=0：即即一般一般N=2Q，故第，故第0列关于列关于v=N/2点对称点对称 第24页，共121页，编辑于2022年，星期三*25*第6章25同样对第同样对第0行也是关于行也是关于N/2点对称点对称 其它点关于（其它点关于（N/2，N/2）点对称）点对称 0vN-1 u 0

13、 N-1Fourier变换的共轭对称性第25页，共121页，编辑于2022年，星期三*26*第6章265.旋转不变性旋转不变性 先转换到极坐标先转换到极坐标：图像表示为图像表示为：变换域也用极坐标：变换域也用极坐标：变换域表示成变换域表示成：则有则有 6.分配律分配律 对加法满足分配律，但对乘法不满足分配律对加法满足分配律，但对乘法不满足分配律 第26页，共121页，编辑于2022年，星期三*27*第6章277.尺度变换（缩放）尺度变换（缩放）对于常数对于常数a和和b 8.频谱的零频率分量频谱的零频率分量9能量保持能量保持第27页，共121页，编辑于2022年，星期三*28*第6章286.2.

14、4 DFT与卷积与卷积 设设f(x,y)和和g(x,y)的大小分别为的大小分别为M1*N1和和M2*N2，则，则f(x,y)*g(x,y)图像大小为图像大小为M*N，M=M1+M2-1，N=N1+N2-1 将将f(x,y)和和g(x,y)补零扩展，使均为补零扩展，使均为M*N的图像，的图像，并且循环重复，记为并且循环重复，记为fe(x,y)和和ge(x,y)则在则在M*N范围内范围内 fe(x,y)*ge(x,y)=f(x,y)*g(x,y)x=0,1,M-1;y=0,1,N-1 则有：则有：第28页，共121页，编辑于2022年，星期三*29*第6章296.2.5 DFT与图像相关与图像相关

15、 两个二维连续函数的相关：两个二维连续函数的相关：离散二维相关，采用循环扩展序列离散二维相关，采用循环扩展序列 相关运算的相关运算的Fourier变换和反变换变换和反变换若若f与与g相同相同 第29页，共121页，编辑于2022年，星期三*30*第6章306.2.6 DFT的矩阵表示的矩阵表示 用矢量表示的线性变换（正变换）用矢量表示的线性变换（正变换）：如果是酉变换，则有如果是酉变换，则有存在反变换存在反变换 Fourier变换核行列可分离变换核行列可分离第30页，共121页，编辑于2022年，星期三*31*第6章31且且A(x,y,u,v)满足正交归一条件，即是酉变换满足正交归一条件，即是

16、酉变换 令令则则于是于是其中其中第31页，共121页，编辑于2022年，星期三*32*第6章32二维二维Fourier变换可表示如下变换可表示如下 正变换正变换反变换反变换 Fourier变换是一种常用的变换，常用于频变换是一种常用的变换，常用于频谱分析，图像滤波等谱分析，图像滤波等 缺点：缺点：需要复数运算，需要复数运算，频谱不够集中频谱不够集中 第32页，共121页，编辑于2022年，星期三*33*第6章336.4离散余弦（离散余弦（Cosine）变换）变换6.4.1 一维离散余弦变换（一维离散余弦变换（DCT）如果如果N点序列点序列f(x)是偶对称的，即是偶对称的，即f(N-x-1)=f

17、(x)，则其，则其DFT 只要将一般的只要将一般的f(x)扩展成偶函数，就可由扩展成偶函数，就可由DFT得到离散余弦变换（得到离散余弦变换（DCT）N-10第33页，共121页，编辑于2022年，星期三*34*第6章34偶数点偶数点1-D DCT正变换正变换u=0,1,N-1 反变换反变换 x=0,1,N-1 其中：其中：第34页，共121页，编辑于2022年，星期三*35*第6章356.4.2二维二维DCT 对二维图像对二维图像 偶数点偶数点DCT和奇数点和奇数点DCT 图像的偶对称扩展(a)2N2Nxxxx(b)(2N-1)(2N-1)x图像的周期扩展第35页，共121页，编辑于2022年

18、，星期三*36*第6章36。偶数点偶数点DCT正变换正变换反变换反变换 DCT也是行列可分的，可分成二次一维变换进行也是行列可分的，可分成二次一维变换进行 第36页，共121页，编辑于2022年，星期三*37*第6章37DCT的矢量形式的矢量形式其中其中正变换的矩阵形式为正变换的矩阵形式为第37页，共121页，编辑于2022年，星期三*38*第6章38（a）原图（b）DCT变换第38页，共121页，编辑于2022年，星期三*39离散余弦变换的优点离散余弦变换的优点只用实数运算只用实数运算有快速算法有快速算法可以用可以用FFT来实现，或利用来实现，或利用DCT自有的快速算法，余弦函数可预先自有的

19、快速算法，余弦函数可预先算好，再查表的方法算好，再查表的方法整数（余弦）变换整数（余弦）变换对图像的去相关性效果接近最佳对图像的去相关性效果接近最佳离散余弦变换的主要应用离散余弦变换的主要应用压缩编码压缩编码如如VCD用的用的MPEG 1标准，标准，DVD用的用的MPEG 2标准，以及标准，以及MPEG4、H.264和和AVS都采用余弦变换都采用余弦变换(整数变换整数变换)，会议电视、可视电话的压缩编码，目前一般，会议电视、可视电话的压缩编码，目前一般也是基于余弦变换的也是基于余弦变换的图像滤波图像滤波频谱特征分析频谱特征分析第39页，共121页，编辑于2022年，星期三*40*第6章406.

20、5 沃尔什（沃尔什（Walsh）变换）变换设设 ，离散，离散Walsh正变换：正变换：变换核变换核 是二进制数是二进制数z的第的第k位，如位，如n=3,N=23=8，若，若z=6=(110)2,则则 第40页，共121页，编辑于2022年，星期三*41*第6章41N=8时的时的1-D Walsh变变换核的值，换核的值，+、-表示表示+1和和-1，常数，常数1/N省略省略 xu012345670+1+-2+-+-3+-+4+-+-+-+-5+-+-+-+6+-+-+7+-+-+-xu第41页，共121页，编辑于2022年，星期三*42*第6章42离散离散Walsh反变换反变换 变换核变换核 正变

21、换和反变换只差一个常数1/N若各用 ,则完全一样.第42页，共121页，编辑于2022年，星期三*43*第6章432-D Walsh正变换正变换 2-D Walsh反变换反变换第43页，共121页，编辑于2022年，星期三*44*第6章44正变换核正变换核反变换核反变换核对于不同的对于不同的u和和v，正变换相当于将原图正变换相当于将原图像值进行加减运算。像值进行加减运算。如，对如，对4*4的变换，的变换，u=1,v=2时，对不同的时，对不同的x、y位置按左图分别取位置按左图分别取加或减加或减 yx01230+-+-1+-+-2-+-+3-+-+第44页，共121页，编辑于2022年，星期三*4

22、5*第6章45（a）原图(b)Walsh变换第45页，共121页，编辑于2022年，星期三*46*第6章466.6 哈达玛（哈达玛（Hadamard）变换）变换 1-D离散哈达玛正变换离散哈达玛正变换(其中其中N=2n)正变换核正变换核 反变换反变换反变换核反变换核第46页，共121页，编辑于2022年，星期三*47*第6章47N=8时的一维变换核矩阵时的一维变换核矩阵 哈达玛矩阵可按如下方式哈达玛矩阵可按如下方式构造构造:哈达玛变换的矩阵形式哈达玛变换的矩阵形式 xu012345670+1+-+-+-+-2+-+-3+-+-+4+-5+-+-+-+6+-+7+-+-+-第47页，共121页，

23、编辑于2022年，星期三*48*第6章482-D Hadamard正变换正变换正变换核正变换核 2-D Hadamard反变换反变换 反变换核反变换核 哈达玛正变换和反变换核都是可分离的和对称的哈达玛正变换和反变换核都是可分离的和对称的 第48页，共121页，编辑于2022年，星期三*49*第6章49哈达玛矩阵中某哈达玛矩阵中某1列的符号列的符号改变次数称为该列的阶、改变次数称为该列的阶、序（序（sequency）或列率）或列率如上表中如上表中8列的序依次为列的序依次为0，7，3，4，1，6，2和和5由于序越多，相当于对应由于序越多，相当于对应越越快变分量。将表中的行、快变分量。将表中的行、列

24、进行调整，使按序从低列进行调整，使按序从低到高排列到高排列 xu012345670+1+-2+-+3+-+-4+-+-+5+-+-+-6+-+-+-+7+-+-+-+-第49页，共121页，编辑于2022年，星期三*50*第6章50重排序后的哈达玛变换核重排序后的哈达玛变换核 其中其中对应反变换核对应反变换核 第50页，共121页，编辑于2022年，星期三*51*第6章51正变换正变换 反变换反变换排序的二维哈达玛变换核排序的二维哈达玛变换核 正变换正变换 反变换反变换 第51页，共121页，编辑于2022年，星期三*52*第6章52 yx01230123 v=0 1 2 3u=0 1 2 3

25、第52页，共121页，编辑于2022年，星期三*53*第6章536.7 哈尔（哈尔（Haar）变换）变换 设设N=2n，对，对k=0,1,N-1,可被唯一地分解为：可被唯一地分解为：k=2p+q-1其中其中2p是小于等于是小于等于k的的2的最大幂，的最大幂，0pn-1，q-1是余数是余数在在p=0时，时，q=0或或1；在；在p0时，时，1q2pkpq00010121131242152220+0-120+1-121+1-121+2-122+1-122+2-1第53页，共121页，编辑于2022年，星期三*54*第6章54连续闭区间连续闭区间0,1上的哈尔函数，上的哈尔函数，z 0,1 哈尔正变换

26、哈尔正变换哈尔反变换哈尔反变换p p决定函数幅度和决定函数幅度和非零区间的宽度，非零区间的宽度，q q决定非零区间位置决定非零区间位置第54页，共121页，编辑于2022年，星期三*55*第6章55N=2时的时的Harr变换矩阵变换矩阵 N=8时的时的Harr变换矩阵变换矩阵 01234567第55页，共121页，编辑于2022年，星期三*56*第6章566.8 小波（小波（Wavelet）变换）变换连续时间信号的连续时间信号的Fourier变换和反变换变换和反变换 Fourier变换存在的问题变换存在的问题不能进行时间不能进行时间-频率局部分析频率局部分析对突发性信号适应性不是很好对突发性信

27、号适应性不是很好小波与音符小波与音符MIDI(乐器数字接口乐器数字接口)文件文件(8KB/分种分种)与与WAV文文件件(10MB/分种分种)tf(t)一个突发信号 第56页，共121页，编辑于2022年，星期三*57*第6章576.8.1Gabor变换变换(短时短时Fourier变换或加窗变换或加窗Fourier变换变换)Gabor定义定义:对于对于通常通常g(t)选择能量集中在低频处的实偶函数，选择能量集中在低频处的实偶函数，如高斯（如高斯（Gauss）函数）函数第57页，共121页，编辑于2022年，星期三*58*第6章58Gabor变换在整个变换在整个轴上积分轴上积分 当在整个时间轴上平

28、移时，能给出完整的Fourier变换 第58页，共121页，编辑于2022年，星期三*59*第6章59Gabor变换重构公式变换重构公式 第59页，共121页，编辑于2022年，星期三 的的Fourier变换为变换为 开窗过程为时域相乘，频域变为与函数开窗过程为时域相乘，频域变为与函数 卷积卷积若要求分析高频信号，则窗口应小些，使时间定位更精确，即若要求分析高频信号，则窗口应小些，使时间定位更精确，即a应小些；应小些；但这时因但这时因 变宽，得到的频域变模糊，即频率窗口放宽了变宽，得到的频域变模糊，即频率窗口放宽了若要求分析低频信号，则窗口可宽些，频率窗口可窄些若要求分析低频信号，则窗口可宽些

29、，频率窗口可窄些*60*第6章高斯函数的频谱也有高斯形状高斯函数的频谱也有高斯形状 GaborGabor变换窗的宽度只与事先确定的变换窗的宽度只与事先确定的a a有关有关,即不能根据信号自适应地即不能根据信号自适应地调整时调整时-频窗口的宽度频窗口的宽度 第60页，共121页，编辑于2022年，星期三*61*第6章616.8.2一维连续小波变换一维连续小波变换1.小波变换的定义小波变换的定义设设 ，则小波变换定义为：，则小波变换定义为：称为称为基本小波或母小波基本小波或母小波 为为小波函数族小波函数族 其中其中a为尺度因子，为尺度因子，b为平移因子，为平移因子，*表示共轭表示共轭 第61页，共

30、121页，编辑于2022年，星期三*62*第6章62abcx(x)abc()伸缩因子a对小波及其频谱的影响xa,b(x)小波函数随a,b的变化第62页，共121页，编辑于2022年，星期三*63*第6章63 基本小波的选择须满足条件：基本小波的选择须满足条件：（1）定义域是紧支撑的定义域是紧支撑的（Compact support）（2）容许条件容许条件（Admissibility condition）:上式要求上式要求 连续可积连续可积，且，且小波在小波在x轴上取值有正有负，具有振荡性轴上取值有正有负，具有振荡性 上面二个条件可概括为，上面二个条件可概括为，小波应是一个具有振小波应是一个具有振

31、荡性和迅速衰减的波荡性和迅速衰减的波 第63页，共121页，编辑于2022年，星期三*64*第6章64另外，要求另外，要求 是归一化的具有单位能量的解是归一化的具有单位能量的解析函数，即析函数，即故引入归一化常数故引入归一化常数 使使连续小波逆变换连续小波逆变换第64页，共121页，编辑于2022年，星期三*65*第6章652小波变换的时小波变换的时-频局部化频局部化小波变换相当于用小波变换相当于用 对对 进行滤波进行滤波,为滤波后频率为滤波后频率分量的积分分量的积分 小波变换写成内积形式第65页，共121页，编辑于2022年，星期三*66*第6章66小波变换时小波变换时-频窗随尺度因子的变化

32、频窗随尺度因子的变化 小波基函数小波基函数 的的Fourier变换为变换为若若 时间窗宽度为时间窗宽度为 的中心频率为的中心频率为 ,频带宽度为频带宽度为 的的Fourier变换为变换为 的正频率窗中心为的正频率窗中心为 (这里设这里设a0)对应频域带宽为对应频域带宽为 的时间窗宽度为的时间窗宽度为 第66页，共121页，编辑于2022年，星期三*67*第6章67频率频率时间时间频率频率时间时间(a)(b)(c)(d)GaborGabor变换和小波变换的时间变换和小波变换的时间-频率窗频率窗第67页，共121页，编辑于2022年，星期三*68*第6章686.8.3 离散小波变换离散小波变换(D

33、WT)1离散小波变换概念离散小波变换概念若取若取其中其中 ，m和和n为整数为整数，则得，则得离散小离散小波波离散小波变换离散小波变换定义定义 若小波函数为实函数若小波函数为实函数第68页，共121页，编辑于2022年，星期三*69*第6章69如果存在两个常数如果存在两个常数A和和B，使得，使得对一切对一切 成立，成立，A和和B称之为称之为框架界框架界。则可从则可从 完全重构完全重构 是函数是函数 的范数，的范数，称为称为框架框架(或标架或标架)A=B时的框架称之为时的框架称之为紧框架紧框架，这时有，这时有 ,重构重构第69页，共121页，编辑于2022年，星期三*70*第6章702二进小波变换

34、二进小波变换 如果取如果取 ，则可得，则可得二进小波二进小波 其中：其中：可构造出正交小波：可构造出正交小波：离散正交二进小波变换离散正交二进小波变换 重构：重构：第70页，共121页，编辑于2022年，星期三*71*第6章716.8.4 多分辨率分析多分辨率分析1理想滤波器组与子带分析理想滤波器组与子带分析 若信号若信号x(n)的采样频率满足采样定理，数字信号的频带必限在的采样频率满足采样定理，数字信号的频带必限在-内内 可用理想低通滤波器（可用理想低通滤波器（L）和理想高通滤波器（）和理想高通滤波器（H）将它分解）将它分解成成0/2的低频部分和的低频部分和/2的高频部分的高频部分 L()2

35、低频部分低频部分概貌信号概貌信号H()2高频部分高频部分细节信号细节信号x(n)/2-/2|L()|/2-/2|H()|-信号频带的理想剖分信号频带的理想剖分-第71页，共121页，编辑于2022年，星期三*72*第6章72如果把原始信号如果把原始信号x(n)占据的总频带（占据的总频带（0）定义空间）定义空间V0经第一级分解后，经第一级分解后，V0被分为低频被分为低频V1（0/2）和高频）和高频W1（频带（频带/2）两个子空间；）两个子空间；经第二级分解后，经第二级分解后，V1又被分为低频又被分为低频V2（0/4）和高频）和高频W2（频带（频带/4/2）两个子空间，）两个子空间，记为记为 第7

36、2页，共121页，编辑于2022年，星期三*73*第6章73其中各个其中各个 是反映信号细节的高频子空间，是反映信号细节的高频子空间，是反映空间信号概貌的低频子空间是反映空间信号概貌的低频子空间这样用理想滤波组对信号进行频率剖分，称这样用理想滤波组对信号进行频率剖分，称为为子带分析子带分析 在W1频段的信号可由这个频段的正弦波合成，第73页，共121页，编辑于2022年，星期三*74*第6章742函数空间的剖分函数空间的剖分函数的分解函数的分解,正交函数系与函数空间正交函数系与函数空间（1）函数空间的逐级剖分）函数空间的逐级剖分式中式中j=-,，j值越小空间越大，当值越小空间越大，当j-时，时

37、，；当；当j+时，时，这种分解保证了空间这种分解保证了空间 与与 的的正交性正交性，且各，且各 之间也正交之间也正交进一步要求有如下性质：进一步要求有如下性质：(a)位移不变性位移不变性。若。若 ,则则(b)二尺度伸缩性。若二尺度伸缩性。若 ,则则 一组逐级包含的子空间 第74页，共121页，编辑于2022年，星期三(2)尺度函数尺度函数函数空间的剖分与子带分析函数空间的剖分与子带分析 若存在若存在 ，使，使 是是 的的Riesz基，即以基，即以 为基底，由为基底，由 的平移组的平移组成正交基集合成正交基集合 可张成闭空间可张成闭空间 ，则，则 是空间是空间 的尺度函数的尺度函数 尺度函数尺度

38、函数 是通过平移是通过平移 构成的正交基集合可张成构成的正交基集合可张成闭空间闭空间 的函数。对应的函数。对应子带分析子带分析,可看成与可看成与 空空间间的低通的低通滤滤波器波器 的的冲激响应对应。冲激响应对应。第75页，共121页，编辑于2022年，星期三*76*第6章76 尺度函数应满足如下条件：尺度函数应满足如下条件：(a)是一个平均函数是一个平均函数(b)是范数为是范数为1的规范化函数的规范化函数(c)定义定义 ，则，则因为因为 ,从而从而 与与 正交正交(d)尺度函数对于平移是正交的尺度函数对于平移是正交的 分辨率小的尺度分辨率小的尺度函数对所有比它函数对所有比它大或相等分辨率大或相

39、等分辨率的小波是正交的小波是正交 但对于伸缩但对于伸缩mm不不是正交的是正交的 第76页，共121页，编辑于2022年，星期三*77*第6章77(3)对子空间的进一步分析对子空间的进一步分析（a）对于子空间）对于子空间 ,若存在一个尺度函数若存在一个尺度函数 ，则它的整数，则它的整数移位集合移位集合 是是 中的规范正交基。这里中的规范正交基。这里,对对 中的投影中的投影其中其中（b）对于子空间）对于子空间 ，如果尺度函数，如果尺度函数 ，必有，必有 ，且因，且因 ,，是，是 中的规范正交基中的规范正交基,，必是必是 中的规范正交基。中的规范正交基。这样这样 第77页，共121页，编辑于2022

40、年，星期三*78*第6章78（c）对于子空间）对于子空间 ，如果子空间，如果子空间 中的一中的一个带通函数个带通函数 ，构成构成 中的规范中的规范正交基，必有正交基，必有 ，且，且 ,必构成必构成 中的一组规范正交基。中的一组规范正交基。这样这样其中其中因为因为有有 m=1m=1时的小波变换系数时的小波变换系数第78页，共121页，编辑于2022年，星期三*79*第6章79(4)推广到推广到 与与 ，之间之间 ,必是必是 中的一中的一组规范正交基组规范正交基 ,必是必是 中的一中的一组规范正交基组规范正交基有了有了 和和 空间的规范正交基空间的规范正交基 和和分析就可逐级进行。因此关键是构造合

41、适的尺度函数分析就可逐级进行。因此关键是构造合适的尺度函数和小波函数和小波函数第79页，共121页，编辑于2022年，星期三*80*第6章806.8.5 离散小波变换的快速算法离散小波变换的快速算法 对任意信号对任意信号将将 分解一次，即分别投影到分解一次，即分别投影到 和和 子子空间空间,，则，则 第80页，共121页，编辑于2022年，星期三*81*第6章81由于由于 和和 分别是尺度空间分别是尺度空间 和小波空间和小波空间 的规范正交基函数有：的规范正交基函数有：，因此因此 和 必属于必属于 空间空间,可用可用 空间的正交基展开空间的正交基展开:其中其中 双尺度差分方程双尺度差分方程是构

42、造小波的基本途径是构造小波的基本途径 尺度函数系数尺度函数系数小波函数系数小波函数系数 系数组成的向量分别称为系数组成的向量分别称为尺度向量和小波向量尺度向量和小波向量 第81页，共121页，编辑于2022年，星期三*82*第6章82根据双尺度差分方程，根据双尺度差分方程，尺度函数尺度函数 的的Fourier变换为变换为 其中其中小波函数小波函数 的的Fourier变换为变换为 其中其中正交镜像滤波器 双尺度差分方程的频域形式 第82页，共121页，编辑于2022年，星期三*83*第6章83可用如下方法对可用如下方法对 求解求解因为因为 有有所以所以，这里第83页，共121页，编辑于2022年

43、，星期三*84*第6章84根据双尺度差分方程根据双尺度差分方程令令 则则得得由于由于得得 类似地类似地空空间间的尺度系数的尺度系数 空空间间的小波系数的小波系数 空空间间的尺度系数的尺度系数 这里先改用这里先改用k k求和求和第84页，共121页，编辑于2022年，星期三*85*第6章85可取可取 和和 称为称为正交镜像滤波器系数正交镜像滤波器系数 式式称为称为Mallat塔式分解算法塔式分解算法,即离散小波变换的快速算法即离散小波变换的快速算法,或称快速小波变换或称快速小波变换(FWT)H*2G*22H2Gcm-1,ncm,ndm,ncm-1,n完全重构的条件完全重构的条件:只要有尺度函数系

44、数只要有尺度函数系数h h和小波函数系数和小波函数系数g,g,就可得到逐级分级的尺度系数和小波就可得到逐级分级的尺度系数和小波系数系数第85页，共121页，编辑于2022年，星期三*86*第6章86理论理论 上已经证明，任何能量有限的离散信号都可以看作在尺度上已经证明，任何能量有限的离散信号都可以看作在尺度1上一个函数平滑上一个函数平滑后的均匀采样，即以尺度为后的均匀采样，即以尺度为1的多分辨逼近。的多分辨逼近。因此，任何一个能量有限的离散信号均可用离散小波变换进行分解与重构。因此，任何一个能量有限的离散信号均可用离散小波变换进行分解与重构。一维小波二阶分解的频率分离特性第86页，共121页，

45、编辑于2022年，星期三*87*第6章876.8.6小波基函数小波基函数1Haar正交小波基正交小波基-111Haar小波函数小波函数x(x)-111Haar尺度函数尺度函数x(x)滤波器系数：滤波器系数：第87页，共121页，编辑于2022年，星期三*88*第6章882.Maxico Hat小波小波(Marr小波小波)是是 的二阶导数的二阶导数更一般更一般3.Morlet小波小波 Maxico HatMaxico Hat小波小波x(x)第88页，共121页，编辑于2022年，星期三*89*第6章89 4.Daubechies小波小波 其中其中 ，n=0,1,2N-1 设设 ，系数，系数 为实

46、数，可得为实数，可得和和从而确定从而确定 和和 、DaubechiesDaubechies小波是一种有紧支集小波是一种有紧支集的正交小波，是目前最常用的的正交小波，是目前最常用的紧支正交小波紧支正交小波 第89页，共121页，编辑于2022年，星期三*90*第6章90对应不同对应不同N的的Daubechies小波的小波的N=1：0.707106781187,0.707106781187N=2：0.482962913145,0.836516303738,0.224143868042,-0.129409522551 N=3：0.332670552950,0.806891509311,0.45987

47、7502118,-0.135011020010,-0.085441273882,0.035226291882 N=4：0.230377813309,0.714846570553,0.630880767930,-0.027983769417,-0.187034811719,0.030841381836,0.032883011667,-0.010597401785 第90页，共121页，编辑于2022年，星期三*91*第6章915B样条小波样条小波 m阶阶B样条是样条是Haar尺度函数（矩形函数）与其尺度函数（矩形函数）与其自身作自身作m次卷积运算后所得的函数，记为次卷积运算后所得的函数，记为 第

48、91页，共121页，编辑于2022年，星期三*92*第6章92 的支撑区为的支撑区为0,m，在，在m=1时为时为Haar尺度尺度函数，在函数，在m=2时为时为Franklin小波的尺度函数小波的尺度函数 的的Fourier变换为：变换为：xN1(x)110 xN2(x)110 xN3(x)110223m=1,2,3时的时的B样条函数样条函数第92页，共121页，编辑于2022年，星期三*93*第6章93m阶基数阶基数B样条的尺度函数样条的尺度函数 紧支撑的紧支撑的mm阶基数阶基数B B样条小波函数样条小波函数 第93页，共121页，编辑于2022年，星期三*94*第6章946.8.7二维小波变

49、换二维小波变换1二维连续小波二维连续小波 其中二维小波其中二维小波二维连续小波反变换二维连续小波反变换 第94页，共121页，编辑于2022年，星期三*95*第6章952二维离散正交小波二维离散正交小波可定义二维可分离尺度函数可定义二维可分离尺度函数则二维基本小波则二维基本小波 第95页，共121页，编辑于2022年，星期三*96*第6章96二进小波函数集二进小波函数集 是是 下的正交归一基下的正交归一基 而而是是 下的二维尺度函数下的二维尺度函数,尺度为尺度为 第96页，共121页，编辑于2022年，星期三 是原图是原图 的逼近的逼近,对应对应 分别对应水平、垂直和对角三个方向上的细节补充分

50、别对应水平、垂直和对角三个方向上的细节补充*97*第6章97 图像的二维离散小波变换图像的二维离散小波变换 原图 第一层 第二层第97页，共121页，编辑于2022年，星期三*98*第6章98(a)原图原图(b)离散小波变换图离散小波变换图第98页，共121页，编辑于2022年，星期三*99*第6章996.8.8 小波包小波包小波分解将函数空间划分为一系列子空间小波分解将函数空间划分为一系列子空间 相当于用一组滤波器将一个函数分解为一系列相当于用一组滤波器将一个函数分解为一系列频段频段 频段的宽度呈对数关系，低频段组成窄频段，高段频段的宽度呈对数关系，低频段组成窄频段，高段组成宽频段，是恒定组