高数第三章第七节曲率精选文档.ppt

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1、高数第三章第七节曲率本讲稿第一页，共二十页一、弧微分规定规定单调增函数单调增函数.,取负号取负号相反时相反时正号正号取取时时的方向与曲线正向一致的方向与曲线正向一致当当ssAM本讲稿第二页，共二十页弧长弧微分公式弧微分公式本讲稿第三页，共二十页二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线弯曲程度的量曲率是描述曲线弯曲程度的量)切线转角越大弧段切线转角越大弧段弯曲程度越大弯曲程度越大转角相同弧段越短转角相同弧段越短弯曲程度越大弯曲程度越大曲率的定义曲率的定义)本讲稿第四页，共二十页在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为对应切线定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注意注意:直线上任意点处的曲率为 0!机动

2、 目录 上页 下页 返回 结束 转角为本讲稿第五页，共二十页例例例例1.1.求半径为R R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 .解解:如图所示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第六页，共二十页故曲率计算公式为由弧微分公式:曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导,设曲线弧则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第七页，共二十页若曲线由参数方程给出,则本讲稿第八页，共二十页例例1 1解解显然显然,本讲稿第九页，共二十页例例2 2本讲稿第十页，共二十页本讲稿第十一页，共二十页证证如图如图（在

3、缓冲段上在缓冲段上,因为因为本讲稿第十二页，共二十页本讲稿第十三页，共二十页三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆(密切圆),叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十四页，共二十页曲线上一点处的曲率半径与曲线在曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数该点处的曲率互为倒数.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处

4、的曲率半径越大,曲线曲线在该点处的曲率越小在该点处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦).本讲稿第十五页，共二十页例例3 3解解如图如图,受力分析受力分析视飞行员在点视飞行员在点O作圆周运动作圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径本讲稿第十六页，共二十页得曲率为得曲率为曲率半径为曲率半径为即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力.本讲稿第十七页，共二十页内容小结内容小结1.弧微分或 曲率公式3.曲率圆曲率半径机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.曲线弯曲程度的描述曲率;本讲稿第十八页，共二十页思考与练习思考与练习 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答:有公切线;凹向一致;曲率相同.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十九页，共二十页作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 P177 习题3-7 5题 本讲稿第二十页，共二十页