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1、逻辑代数基础本讲稿第一页，共七十二页第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础l本章知识要点：本章知识要点：l数字系统的基本概念数字系统的基本概念；l常用计数制及其转换常用计数制及其转换；l带符号二进制数的代码表示带符号二进制数的代码表示；l常用的几种编码常用的几种编码；l逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律l逻辑函数的化简（代数法、卡诺图法）逻辑函数的化简（代数法、卡诺图法）本讲稿第二页，共七十二页11.1概概述述l11.1.1数字系统数字系统l什么是数字系统什么是数字系统?l数字系统是一个能对数字信号进行加工、传递和存储的实体，它由实现各种功能的数字逻辑电路相互连接而成。例如，数字计算机。l l

2、第一章第一章第一章第一章基本知识基本知识基本知识基本知识l一、数字信号一、数字信号l若信号的变化在时间上和数值上都是离散的，或者说断续的，则称为离散信号。离散信号的变化可以用不同的数字反映，所以又称为数字信号，简称为数字量。l例如，学生成绩记录，工厂产品统计,电路开关的状态等。l数字系统中处理的是数字信号，当数字系统要与模拟信号发生联系时，必须经过模/数(A/D)转换和数/模(D/A)转换电路，对信号类型进行变换。本讲稿第三页，共七十二页l例如,某控制系统框图如下图所示。本讲稿第四页，共七十二页二、数字逻辑电路二、数字逻辑电路l用来处理数字信号的电子线路称为数字电路。数字电路。由于数字电路的各

3、种功能是通过逻辑运算和逻辑判断来实现的，所以数字电路又称为数字逻辑电路或者逻辑电路。数字逻辑电路具有如数字逻辑电路具有如下特点：下特点：l1电路的基本工作信号是二值信号。它表现为电路中电压的“高”或“低”、开关的“接通”或“断开”、晶体管的“导通”或“截止”等两种稳定的物理状态。l2电路中的半导体器件一般都工作在开、关状态，对电路进行研究时，主要关心输出和输入之间的逻辑关系。l3电路结构简单、功耗低、便于集成制造和系列化生产。产品价格低廉、使用方便、通用性好。l4由数字逻辑电路构成的数字系统工作速度快、精度高、功能强、可靠性好。本讲稿第五页，共七十二页l由于数字逻辑电路具有上述特点，所以，数字

4、逻辑电路的应用十分广泛。l随着半导体技术和工艺的发展，出现了数字集成电路，集成电路发展十分迅速。l数字集成电路按照集成度的高低可分为数字集成电路按照集成度的高低可分为小规模（小规模（SSI）、中规模（）、中规模（MSI）、大规模）、大规模（LSI）和超大规模（）和超大规模（VLSI）几种类型。）几种类型。本讲稿第六页，共七十二页l三、数字计算机及其发展三、数字计算机及其发展1.数字计算机数字计算机数字计算机是一种能够自动、高速、精确数字计算机是一种能够自动、高速、精确地完成数值计算、数据加工和控制、管理等地完成数值计算、数据加工和控制、管理等功能的数字系统。功能的数字系统。其结构框图如图所示。

5、本讲稿第七页，共七十二页l2.计算机的发展计算机的发展数字计算机从1946年问世以来，其发展速度是惊人的。根据组成计算机的主要元器件的不同，至今已经历了四代。具体见下表。计算机的发展趋势：计算机的发展趋势：速度速度、功能、功能、可靠性、可靠性、体体积积、价格、价格、功耗、功耗。本讲稿第八页，共七十二页l伴随着微电子技术的飞速发展，进一步加速了计算机的发展与普及，目前广泛使用的微型计算机就是建立在超大规模集成电路基础之上的。以个人计算机为例，PC机CPU芯片8086的集成规模如下表所示。l在80586CPU中，密集程度如何呢？密集程度如何呢？大约用500个晶体管串接起来才能绕人的头发丝一周！本讲

6、稿第九页，共七十二页l全球最大计算机芯片生产商英特尔公司，已制造出一种比市面上现有最高速处理器快十倍的处理器，这种处理器芯片上的晶体管，厚度只有零点零三微米，相当于只有厚度只有零点零三微米，相当于只有三个原子的大小。三个原子的大小。l市面现有芯片所使用的最小晶体管，尺寸为零点一八微米，英特尔新芯片的晶体管则小很多。这些晶体管一个接着一个排这些晶体管一个接着一个排列，要超过十万个才能达到一张普通纸张列，要超过十万个才能达到一张普通纸张的厚度。的厚度。本讲稿第十页，共七十二页11.1.2数字逻辑电路的类型和研究方法数字逻辑电路的类型和研究方法l一、数字逻辑电路的类型一、数字逻辑电路的类型根据一个电

7、路有无记忆功能，可将数字逻辑电路分为组合组合逻辑电路逻辑电路和时序逻辑电路时序逻辑电路两种类型。组合逻辑电路：组合逻辑电路：如果一个逻辑电路在任何时刻的稳定输出仅取决于该时刻的输入，而与电路过去的输入无关，则称为组合逻辑(CombinationalLogic)电路。由于这类电路的输出与过去的输入信号无关，所以不需要有记忆功能。例如，一个“多数表决器”，表决的结果仅取决于参予表决的成员当时的态度是“赞成”还是“反对”，因此属于组合电路。本讲稿第十一页，共七十二页l时序逻辑电路：时序逻辑电路：如果一个逻辑电路在任何时刻的稳定输出不仅取决于该时刻的输入，而且与过去的输入相关，则称为时序逻辑(Sequ

8、entialLogic)电路。由于这类电路的输出与过去的输入相关，所以要有记忆功能，要用电路中记忆元件的状态来反映过去的输入信号。例如，一个统计串行输入脉冲信号个数的计数器，它的输出结果不仅与当时的输入脉冲相关，还与前面收到的脉冲个数相关，因此，计数器是一个时序逻辑电路。时序逻辑电路时序逻辑电路按照是否有统一的时钟信号进行同步，又可进一步分为同步时序逻辑电路同步时序逻辑电路和异步时序逻辑电异步时序逻辑电路路。本讲稿第十二页，共七十二页l二、数字逻辑电路的研究方法二、数字逻辑电路的研究方法对数字系统中逻辑电路的研究有两个主要任务两个主要任务：一是分析分析，二是设计设计。l对一个现成的数字逻辑电路

9、，研究它的工作性能和逻辑功能称为分析分析；l根据提出的逻辑功能，在给定条件下构造出实现预定功能的逻辑电路称为逻辑设计逻辑设计，或者逻辑综合逻辑综合。l逻辑电路分析与设计的方法随着集成电路的迅速发展在不断发生变化，最成熟的方法是传统的方法传统的方法。本讲稿第十三页，共七十二页l1逻辑电路分析和设计的传统方法逻辑电路分析和设计的传统方法l传统方法：传统方法：传统方法是建立在小规模集成电路基础之上的，它以技术经济指标作为评价一个设计方案优劣的主要性能指标，设计时追求的是如何使一个电路达到最简。最简。l如何达到最简呢？如何达到最简呢？在组合逻辑电路设计时，通过逻辑函数化简，尽可能使电路中的逻辑门和连线

10、数目达到最少。而在时序逻辑电路设计时，则通过状态化简和逻辑函数化简，尽可能使电路中的触发器、逻辑门和连线数目达到最少。l注意注意!一个最简的方案并不等于一个最佳的方案！一个最简的方案并不等于一个最佳的方案！l最佳方案应满足全面的性能指标和实际应用要求。所以，在用传统方法求出一个实现预定功能的最简结构之后，往往要根据实际情况进行相应调整。l随着集成电路技术的飞跃发展，数字逻辑电路的分析和设计方法在不断发生变化。但用逻辑代数作为基本理论的传统方法始终逻辑电路分析和设计的基本方法。本讲稿第十四页，共七十二页l2用中、大规模集成组件进行逻辑设计的方法用中、大规模集成组件进行逻辑设计的方法l由于中、大规

11、模集成电路的不断发展，使芯片内部容纳的逻辑器件越来越多，因而，实现某种逻辑功能所需要的门和触发器数量已不再成为影响经济指标的突出问题。l用中、大规模集成组件去构造满足各种功能的逻辑电路时，如何寻求经济合理的方案呢？如何寻求经济合理的方案呢？要求设计人员必必须注意：须注意：l充分了解各种器件的逻辑结构和外部特性，做到合理选择器件；l充分利用每一个已选器件的功能，用灵活多变的方法完成各类电路或功能模块的设计；l尽可能减少芯片之间的相互连线。本讲稿第十五页，共七十二页l3用可编程逻辑器件用可编程逻辑器件(PLD)进行逻辑设计的方法进行逻辑设计的方法l各类可编程逻辑器件(PLD)的出现，给逻辑设计带来

12、了一种全新的方法。人们不再用常规硬线连接的方法去构造电路，而是借助丰富的计算机软件对借助丰富的计算机软件对器件进行编程烧录来实现各种逻辑功能，这给逻辑设计带器件进行编程烧录来实现各种逻辑功能，这给逻辑设计带来了极大的方便。来了极大的方便。l4用计算机进行辅助逻辑设计的方法用计算机进行辅助逻辑设计的方法l面对日益复杂的集成电路芯片设计和数字系统设计，人们不得不越来越多地借助计算机进行辅助逻辑设计借助计算机进行辅助逻辑设计。目前，已有各种设计数字系统的软件在市场上出售。计算机辅助逻辑设计方法正在不断推广和应用。不少人认为计算机设计自动化已形成计算机科学中的一个独立的学科。本讲稿第十六页，共七十二页

13、11.2数制及其转换数制及其转换、编码l11.2.1进位计数制进位计数制l数制是人们对数量计数的一种统计规律。日常生活中广泛使用的是十进制，而数字系统中使用的是二进制。l十进制中采用了十进制中采用了0、1、9共十个基本数字符号，进位规共十个基本数字符号，进位规律是律是“逢十进一逢十进一”。当用若干个数字符号并在一起表示一个数时，处在不同位置的数字符号，其值的含意不同。l同一个字符同一个字符6从左到右所代表的值依次为从左到右所代表的值依次为600、60、6。本讲稿第十七页，共七十二页l二二.R进制进制l广义地说，一种进位计数制包含着基数基数和位权位权两个基本的因素：l基数基数:指计数制中所用到的

14、数字符号的个数。在基数为R计数制中，包含0、1、R-1共R个数字符号，进位规律是“逢R进一”。称为R进位计数制，简称R进制。l位权位权:是指在一种进位计数制表示的数中，用来表明不同数位上数值大小的一个固定常数。不同数位有不同的位权，某一个数位的数值等于这一位的数字符号乘上与该位对应的位权。R进制数的位权是进制数的位权是R的整数次幂的整数次幂。l例如，十进制数的位权是10的整数次幂，其个位的位权是100，十位的位权是101。本讲稿第十八页，共七十二页l一个一个R进制数进制数N可以有两种表示方法：可以有两种表示方法：（1）并列表示法）并列表示法(又称位置计数法)，其表达式为(N)R=(Kn-1Kn

15、-2K1K0.K-1K-m)Rl（2）多项式表示法）多项式表示法(又称按权展开法)，其表达式为l(N)R=Kn-1Rn-1+Kn-2Rn-2+K1R1+lK0R0+K-1R-1+K-mR-ml=KiRil其中，R表示基数；n为整数部分的位数；m为小数部分的位数；Ki为R进制中的一个数字符号，其取值范围为0KiR-1l(-min-1)。本讲稿第十九页，共七十二页l可归纳注意，可归纳注意，R进制的特点如下：进制的特点如下：有0、1、R-1共R个数字符号；“逢R进一”，“10”表示R；位权是R的整数次幂，第i位的位权Ri。本讲稿第二十页，共七十二页l一、二进制一、二进制基数R=2的进位计数制称为二进

16、制。二进制数中只有0和1两个基本数字符号，进位规律是“逢二进一逢二进一”。二进制数的位权是二进制数的位权是2的整数次幂。的整数次幂。任意一个二进制数N可以表示成l(N)2=(Kn-1Kn-2K1K0.K-1K-m)2=Kn-12n-1+Kn-22n-2+K121+K020+K-12-1+K-m2-m=Ki2il其中，n为整数位数；m为小数位数；Ki为0或者1，-min-1。本讲稿第二十一页，共七十二页l例如，一个二进制数1011.01可以表示成:l(1011.01)2=123+022+121+120+02-1+12-2l二进制数的运算规则如下：二进制数的运算规则如下：l加法规则加法规则0+0=

17、00+1=1l1+0=11+1=0(进位为进位为1)l减法规则减法规则0-0=01-0=1l1-1=00-1=1(借位为借位为1)l乘法规则乘法规则00=001=0l10=011=1l除法规则除法规则01=011=1本讲稿第二十二页，共七十二页l例如，例如，二进制数A=11001,B=101,则A+B、A-B、AB、AB的运算为本讲稿第二十三页，共七十二页l二进制的优点二进制的优点:运算简单、物理实现容运算简单、物理实现容易、存储和传送方便、可靠。易、存储和传送方便、可靠。因为二进制中只有0和1两个数字符号，可以用电子器件的两种不同状态来表示一位二进制数。例如，可以用晶体管的截止和导通表示1和

18、0，或者用电平的高和低表示1和0等。所以，在数字系统中普遍采用二进制。二进制的缺点：二进制的缺点：数的位数太长且字符单数的位数太长且字符单调，使得书写、记忆和阅读不方便。调，使得书写、记忆和阅读不方便。为了克服二进制的缺点，人们在进行指令书写、程序输入和输出等工作时，通常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写。本讲稿第二十四页，共七十二页l四、八进制四、八进制 l基数R=8的进位计数制称为八进制。八进制数中有0、1、7共共8个基本数字符号个基本数字符号，进位规律是“逢八进逢八进一一”。八进制数的位权是8的整数次幂。l任意一个八进制数N可以表示成l(N)8=(Kn-1Kn-2K1K0.K-1

19、K-2K-m)8l=Kn-18n-1+Kn-28n-2+K181+K080l+K-18-1+K-28-2+K-m8-ml其中：n整数位数；m小数位数；lKi07中的任何一个字符，l-min-1本讲稿第二十五页，共七十二页l五、十六进制五、十六进制l基数R=16的进位计数制称为十六进制。十六进制数中有0、1、9、A、B、C、D、E、F共共16个数字符号，个数字符号，其中，AF分别表示十进制数的1015。进位规律为“逢十六进一逢十六进一”。十六进制数的位权是16的整数次幂。l任意一个十六进制数N可以表示成(N)16=(Kn-1Kn-2K1K0.K-1K-2K-m)16l=Kn-116n-1+Kn-

20、216n-2+K1161+K0160l+K-116-1+K-216-2+K-m16-ml其中：n整数位数；m小数位数；Ki表示09、AF中的任何一个字符，-min-1。本讲稿第二十六页，共七十二页l下表列出了与十进制数015对应的二进制数、八进制数、十六进制数。本讲稿第二十七页，共七十二页11.2.2数制转换数制转换l数制转换是指将一个数从一种进位制转换成另一种进位制。数制转换是指将一个数从一种进位制转换成另一种进位制。从实际应用出发，要求掌握二进制数与十进制数、八进制数、以及十六进制数之间的相互转换。一、二进制数与十进制数之间的转换一、二进制数与十进制数之间的转换1.二进制数转换为十进制数二

21、进制数转换为十进制数方法：方法：多项式替代法二进制数转换成十进制数时，只需将二进制数表示成按权展开式，并按十进制运算法则进行计算，所得结果即为该数对应的十进制数。例如(10110.101)2=124+122+121+12-1+12-3=16+4+2+0.5+0.125=(22.625)10本讲稿第二十八页，共七十二页l2.十进制数转换为二进制数十进制数转换为二进制数方法：方法：基数乘除法十进制数转换成二进制数时，应对整数和小数分别进行处理。整数转换采用“除除2取余取余”的方法小数转换采用“乘乘2取整取整”的方法(1)整数转换整数转换l“除除2取余取余”法：法：将十进制整数将十进制整数N除以除以

22、2，取余数计为，取余数计为K0；再将所得商除以再将所得商除以2，取余数记为，取余数记为K1，依此类推，直至商为依此类推，直至商为0，取余数计为取余数计为Kn-1为止。即可得到与十进制整数为止。即可得到与十进制整数N对应的对应的n位二进制整数位二进制整数Kn-1K1K0。本讲稿第二十九页，共七十二页本讲稿第三十页，共七十二页本讲稿第三十一页，共七十二页l注意注意:当十进制小数不能用有限位二进制小数精确表示时，可根据精度要求，求出相应的二进制位数近似地表示。一般当要求二进制数取m位小数时，可求出m+1位，然后对最低位作0舍1入处理。l例如，将十进制小数0.323转换成二进制小数(保留4位小数)。l

23、即：(0.323)10=(0.0101)2本讲稿第三十二页，共七十二页l若一个十进制数既包含整数部分，又包含小数部分，则需将整数部分和小数部分分别转换，然后用小数点将两部分结果连到一起。l本讲稿第三十三页，共七十二页l二、二进制数与八进制数、十六进制数之间二、二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换的转换1.二进制数与八进制数之间的转换二进制数与八进制数之间的转换由于八进制中的基本数字符号07正好和3位二进制数的8种取值000111对应。所以，二进制数与八进制数之间的转换可以按位进行。二进制数转换成八进制数：二进制数转换成八进制数：以小数点为界，分别以小数点为界，分别往高、往低往高、往低每每3

24、位为一组，最后不足位为一组，最后不足3位时用位时用0补充，然后写出每组对应的八进制字补充，然后写出每组对应的八进制字符，即为相应八进制数。符，即为相应八进制数。本讲稿第三十四页，共七十二页l八进制数转换成二进制数时，只需将每位八进制数用3位二进制数表示,小数点位置保持不变。本讲稿第三十五页，共七十二页l2.二进制数与十六进制数之间的转换二进制数与十六进制数之间的转换二进制数与十六进制数之间的转换同样可以按位进行，只不过是4位二进制数对应1位十六进制数，即4位二进制数的取值00001111分别对应十六进制字符0F。二进制数转换成十六进制数：以小数点为界，分别往高、以小数点为界，分别往高、往低每往

25、低每4位为一组，最后不足位为一组，最后不足4位时用位时用0补充，然后写出每组对补充，然后写出每组对应的十六进制字符即可。应的十六进制字符即可。本讲稿第三十六页，共七十二页l十六进制数转换成二进制数：十六进制数转换成二进制数：只需将每位十六进制数只需将每位十六进制数用用4位二进制数表示。位二进制数表示。本讲稿第三十七页，共七十二页l在对数进行算术运算时，必然涉及到数的符号问题。人们通常在一个数的前面用“+”号表示正数，用“-”号表示负数。数字系统中如何处理呢？数字系统中如何处理呢？在数字系统中，符号和数值一样是用0和1来表示的，一般将数的最高位作为符号位，用0表示正，用1表示负。为了区分一般书写

26、表示的带符号二进制数和数字系统中的带符号二进制数，通常将用“+”、“-”表示正、负的二进制数称为符号数的真值真值，而把将符号和数值一起编码表示的二进制数称为机器数机器数或机器码机器码。常用的机器码有原码、反码和补码三种。常用的机器码有原码、反码和补码三种。补充补充带符号二进制数的代码表示带符号二进制数的代码表示本讲稿第三十八页，共七十二页补充补充.1原码原码l用原码表示带符号二进制数时，符号位用用原码表示带符号二进制数时，符号位用0表示正，表示正，1表示负；数值表示负；数值位保持不变。位保持不变。原码表示法又称为符号原码表示法又称为符号-数值表示法。数值表示法。一、小数原码的定义一、小数原码的

27、定义设二进制小数设二进制小数X=0.X-1X-2X-m，则其原码定义为，则其原码定义为本讲稿第三十九页，共七十二页l例如，若例如，若X1=+0.1011,X2=-0.1011，则，则X1和和X2的原码为的原码为lX1原原=0.1011X2原原=1-(-0.1011)=1.1011ll根据定义，小数0的原码可以表示成0.00或1.00。本讲稿第四十页，共七十二页l二、整数原码的定义二、整数原码的定义设二进制整数X=Xn-1Xn-2X0，则其原码定义为l例如，若例如，若X1=+1101,X2=-1101,则则X1和和X2的原码为的原码为X1原原=01101X2原原=24-(-1101)=10000

28、+1101=11101同样，整数0的原码也有两种形式，即000和100。本讲稿第四十一页，共七十二页l原码的优点优点:简单易懂,求取方便;缺点：缺点：加、减运算不方便。当进行两数加、减运算时，要根据运算及参加运算的两个数的符号来确定是加还是减；如果是做减法，还需根据两数的大小确定被减数和减数，以及运算结果的符号。显然，这将增加运算的复杂性。l如何克服原码的缺点呢？如何克服原码的缺点呢？首先请看下面的例子。当要将时针从10点调至5点时，可顺调7格（+7），也可反调5格（-5），即对12进制而言10-510+7。这里，5+7=12，通常称5和7对12进制而言互补。为了克服原码的缺点，引入了反码和为

29、了克服原码的缺点，引入了反码和补码。补码。本讲稿第四十二页，共七十二页补充补充.2反码反码l带符号二进制数的反码表示：带符号二进制数的反码表示：l符号位符号位用0表示正，用1表示负；l数值位数值位正数反码的数值位和真值的数值位相同；而负数反码的数值位是真值的数值位按位变反。l一、小数反码的定义一、小数反码的定义设二进制小数X=0.x-1x-2x-m，则其反码定义为本讲稿第四十三页，共七十二页l例如，若X1=+0.1011,X2=-0.1011,则X1和X2的反码为X1反=0.1011X2反=2-2-4+X2=10.0000-0.0001-0.1011=1.0100l即：l根据定义，小数0的反码

30、有两种表示形式，即0.00和1.11。本讲稿第四十四页，共七十二页l二、整数反码的定义二、整数反码的定义设二进制整数X=Xn-1Xn-2X0，则其反码定义为l例如，若X1=+1001,X2=-1001，则X1和X2的反码为X1反=01001X2反=(25-1)+X=(100000-1)+(-1001)=11111-1001=10110即：l同样，整数0的反码也有两种形式，即000和111。本讲稿第四十五页，共七十二页l采用反码进行加、减运算时，无论进行两数相加还是两数相减，均可通过加法实现。l加、减运算规则如下：加、减运算规则如下：X1+X2反=X1反+X2反X1-X2反=X1反+-X2反l运

31、算时，符号位和数值位一样参加运算。当符号位有进位产生时，应将进位加到运算结果的最低位，才能得到最后结果。本讲稿第四十六页，共七十二页l例如，若X1=+0.1110,X2=+0.0101，则求X1-X2可通过反码相加实现。运算如下：X1-X2反=X1反+-X2反l=0.1110+1.1010l即X1-X2反=0.1001。由于结果的符号位为0，表示是正数，故X1-X2=+0.1001本讲稿第四十七页，共七十二页l补充补充.3补码补码 l带符号二进制数的补码表示：带符号二进制数的补码表示：l符号位符号位用0表示正，用1表示负；l数值位数值位正数补码的数值位与真值相同；负数补码的数值位是真值的数值位

32、按位变反，并在最低位加1。l一、小数补码的定义一、小数补码的定义设二进制小数X=0.X-1X-2X-m，则其补码定义为本讲稿第四十八页，共七十二页l例如，例如，若X1=+0.1011,X2=-0.1011,则X1和X2的补码为X1补=0.1011X2补=2+X=10.0000-0.1011l=1.0101l注意：注意：小数“0”的补码只有一种表示形式，即0.00。本讲稿第四十九页，共七十二页l二、整数补码的定义二、整数补码的定义l设二进制整数X=xn-1xn-2x0，则其补码定义为l例如，例如，若X1=+1010,X2=-1010,则X1和X2的补码为X1补=01010（正数补码的数值位与真值

33、相同）X2补=25+X=100000-1010=10110（负数补码的数值位是真值的数值位按位变反，并在最低位加1）l整数“0”的补码也只有一种表示形式，即000。本讲稿第五十页，共七十二页l采用补码进行加、减运算时，可以将加、减运算均通过加法实现，运算规则如下：运算规则如下：lX1+X2补补=X1补补+X2补补X1-X2补补=X1补补+-X2补补l运算时，符号位和数值位一样参加运算，符号位和数值位一样参加运算，若符号位有进位产生，则应将进位丢掉后才若符号位有进位产生，则应将进位丢掉后才得到正确结果。得到正确结果。本讲稿第五十一页，共七十二页l例如，若X1=-1001,X2=+0011，则采用

34、补码求X1-X2的运算如下：lX1-X2补=X1补+-X2补=10111+11101l10111l+11101ll丢掉110100l即：X1-X2补=10100由于结果的符号位为1，表示是负数，故X1-X2=-1100l注意：补码注意：补码(负数负数)还原成真值时，应对数值位减一变反。还原成真值时，应对数值位减一变反。显然，采用补码进行加、减运算最方便。本讲稿第五十二页，共七十二页11.2.3编码编码l1、十进制数的二进制编码（十进制数的二进制编码（BCD码）码）l用用4位二进制代码对十进制数字符号进行位二进制代码对十进制数字符号进行编码，简称为二编码，简称为二十进制代码，或称十进制代码，或称

35、BCD(BinaryCodedDecimal)码码。lBCD码既有二进制的形式，又有十进制的特点。常用的BCD码有8421码码、2421码码和余余3码码。本讲稿第五十三页，共七十二页l十进制数字符号09与8421码码、2421码码和余余3码码的对应关系如下表所示。本讲稿第五十四页，共七十二页l一、一、8421码码 l8421码：码：是用4位二进制码表示一位十进制字符的一种有权码有权码，4位二进制码从高位至低位的权依次为23、22、21、20，即为即为8、4、2、1,故称为故称为8421码码。按8421码编码的09与用4位二进制数表示的09完全一样。所以，8421码是一种人机联系时广泛使用的中间

36、形式。l注意：注意：l(1)8421码中不允许出现10101111六种组合(因为没有十进制数字符号与其对应)。l(2)十进制数字符号的8421码与相应ASCII码的低四位相同，这一特点有利于简化输入输出过程中BCD码与字符代码的转换。本讲稿第五十五页，共七十二页l8421码与十进制数之间的转换码与十进制数之间的转换8421码与十进制数之间的转换是按位进行的，即十进制数的每一位与4位二进制编码对应。例如l（258）10=（001001011000）8421码l（0001001000001000）8421码=（1208）108421码与二进制的区别码与二进制的区别例如:l（28）10=（11100

37、）2=（00101000）8421本讲稿第五十六页，共七十二页l二、二、2421码码2421码是另一种码是另一种有权码有权码，其，其4位二进制码从高位至低位的权依次为位二进制码从高位至低位的权依次为2、4、2、1。若一个十进制字符X的2421码为a3a2a1a0，则该字符的值为X=2a3+4a2+2a1+1a0例如，（1101）2421码=（7）10。2421码与十进制数之间的转换码与十进制数之间的转换l2421码与十进制数之间的转换同样是按位进行的，例如（258）10=（001010111110）2421码（0010000111101011）2421码=（2185）10本讲稿第五十七页，共七

38、十二页l注意注意l(1)2421码不具备单值性。码不具备单值性。例如，0101和1011都对应十进制数字5。为了与十进制字符一一对应，2421码不允许出现01011010的6种状态。l(2)2421码是一种对码是一种对9的自补代码。的自补代码。即一个数的2421码只要自身按位变反，便可得到该数对9的补数的2421码。例如，l具有这一特征的BCD码可给运算带来方便，因为直接对BCD码进行运算时，可利用其对9的补数将减法运算转化为加法运算。l(3)应与二进制数进行区别应与二进制数进行区别本讲稿第五十八页，共七十二页l三、余三、余3码码余余3码是由码是由8421码加上码加上0011形成的一种形成的一

39、种无权码无权码，由于它，由于它的每个字符编码比相应的每个字符编码比相应8421码多码多3，故称为余，故称为余3码。码。例如，十进制字符5的余3码等于5的8421码0101加上0011，即为1000。注意：注意：余3码有6种状态0000、0001、0010、1101、1110和1111是不允许出现的。余3码与十进制数之间的转换也是按位进行的，值得注意的是每位十进制数的编码都应余3。例如，l（256）10=（010110001001）余余3码码（1000100110011011）余余3码码=（5668）10本讲稿第五十九页，共七十二页余3码也是一种对9的自补代码。将两个余3码表示的十进制数相加时，

40、能正确产生进位信号，但对“和”必须修正。修正的方法是：如果有进位，则结果加3；如果无进位，则结果减3。本讲稿第六十页，共七十二页l2可靠性编码可靠性编码l作用作用:为了提高系统的可靠性。为了提高系统的可靠性。l代码在形成和传送过程中都可能发生错误。为了使代码本身具有某种特征或能力，尽可能减少错误的发生，或者出错后容易被发现，甚至查出错误的码位后能予以纠正，因而形成了各种编码方法。l下面，介绍两种常用的可靠性编码。一、格雷一、格雷(Gray)码码l.特点特点：任意两个相邻的数，其格雷码仅有一位不同。本讲稿第六十一页，共七十二页l与4位二进制码对应的典型格雷码如下表所示。本讲稿第六十二页，共七十二

41、页l.作用作用：避免代码形成或者变换过程中产生的错误避免代码形成或者变换过程中产生的错误。（why？）l在数字系统中，数是用电子器件的状态表示的，数据的变化即器件状态的变化。如当数据按升序或降序变化时，若采用普通二进制数，则每次增1或者减1可能引起若干位发生变化。ll当的电子器件变化速度不一致时，便会产生错误代码l而格雷码由7变为8时呢？01001100，仅一位发生变化。可见，格雷码从编码上杜绝了这种错误的发生。例如，用四位二进制数表示的十进制数由7变为8时，要求四位都发生变化。即四个电子器件的状态应由0111变为1000，如右图所示。本讲稿第六十三页，共七十二页l.典型格雷码与普通二进制码之

42、间的转换典型格雷码与普通二进制码之间的转换转换规则如下：转换规则如下：l设二进制码为B=Bn-1Bn-2Bi+1BiB1B0，对应的格雷码为G=Gn-1Gn-2Gi+1GiG1G0，则有：Gn-1=Bn-1Gi=Bi+1 Bi0in-2其中，运算“”称为“异或”运算，运算规运算规则：则：00=0；01=1；10=1；11=0本讲稿第六十四页，共七十二页本讲稿第六十五页，共七十二页l二、奇偶检验码二、奇偶检验码奇偶检验码是一种用来检验代码在传送过程奇偶检验码是一种用来检验代码在传送过程中是否产生错误的代码。中是否产生错误的代码。l编码方式编码方式：有两种编码方式l奇检验奇检验:使信息位和检验位中

43、“1”的个数共计为奇数；l偶检验偶检验:使信息位和检验位中“1”的个数共计为偶数。本讲稿第六十六页，共七十二页l下表列出了8421码的奇偶检验码.本讲稿第六十七页，共七十二页本讲稿第六十八页，共七十二页特点特点（1）编码简单、容易实现。）编码简单、容易实现。（2）奇偶检验码只有检错能力，没有纠错能力。）奇偶检验码只有检错能力，没有纠错能力。（3）只能发现单错，不能发现双错。）只能发现单错，不能发现双错。本讲稿第六十九页，共七十二页补充补充字字符符编编码码l数字系统中处理的数据除了数字之外，还有字母、运算符号、标点符号以及其他特殊符号,人们将这些符号统称为字符。所有字符在数字系统中必须用二进制编码表示，通常将其称为字符编码。最常用的字符编码是美国信息交换标准码，简称最常用的字符编码是美国信息交换标准码，简称ASCII码码(AmericanStandardCodeforInformationInterchange)。lASCII码用7位二进制码表示128种字符，编码规则如表所示。由于数字系统中实际是用一个字节表示一个字符，所以使用ASCII码时，通常在最左边增加一位奇偶检验位。本讲稿第七十页，共七十二页本讲稿第七十一页，共七十二页本讲稿第七十二页，共七十二页