高数定积分的运用精选文档.ppt

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1、高数定积分的运用本讲稿第一页，共二十四页先回顾定积分概念的引入：曲边梯形面积的求法定积分所要解决的问题是求一些非均匀分布的整体量定积分所要解决的问题是求一些非均匀分布的整体量解决的方法是以下四个步骤（设整体量为 ）：一、一、“分割分割”：把所要求的整体量把所要求的整体量 分割成许多部分量分割成许多部分量 。这里先要选择一个被分割的变量这里先要选择一个被分割的变量 和被分割的区间和被分割的区间 。二、二、“近似代替近似代替”：求任一小区间求任一小区间 上上 的部分量的部分量 的的近似值，得近似值，得 。三、三、“求和求和”：得得 。四、四、“取极限取极限”：得得 。第一节第一节 定积分的微元法定

2、积分的微元法本讲稿第二页，共二十四页实用中我们通常把上述四个步骤简化成以下的三步：一、一、“选变量选变量”：选取某个变量选取某个变量 （或（或 等）作为被分割的变量，等）作为被分割的变量，它就是积分变量；并确定它就是积分变量；并确定 的变化范围的变化范围 ,它就是被分割的它就是被分割的区间，也就是积分区间。区间，也就是积分区间。二、二、“求微元求微元”：设想把区间设想把区间 分成分成 个小区间，其中任意一个小区间，其中任意一个小区间用个小区间用 表示表示,小区间的长度小区间的长度 ,所求的量所求的量对应于小区间对应于小区间 的部分量记作的部分量记作 .并取并取 ，求出部分，求出部分量量 的近似

3、值的近似值 。本讲稿第三页，共二十四页 注：这里须指出，注：这里须指出，作为作为 的近似值，即应满足的近似值，即应满足三、三、“列积分列积分”：以整体量以整体量 的微元的微元 为被积表达为被积表达式，在式，在 上积分，即得所求量上积分，即得所求量 。上述把某个量表达为定积分的方法称为定积分的微元法定积分的微元法（或元素法）元素法）。近似值近似值 称为整体量称为整体量 的微元的微元(或元素或元素),记作记作 ，即即本讲稿第四页，共二十四页曲边梯形的面积曲边梯形的面积本讲稿第五页，共二十四页第二节第二节 定积分的几何应用定积分的几何应用本讲稿第六页，共二十四页一、平面图形的面积一、平面图形的面积0

4、 直角坐标系情形直角坐标系情形0 极坐标系情形极坐标系情形本讲稿第七页，共二十四页 面积增量的近似值为 f上上(x)f下下(x)dx,它也就是面积元素.设平面图形由上下两条曲线y f上上(x)与y f下下(x)及左右两条直线x a与x b所围成.因此平面图形的面积为 考虑在x处面积增量的近似值.yf上(x)yf下(x)yf上(x)yf下(x)f上上(x)f下下(x)dx.X-型区域型区域一、平面图形的面积一、平面图形的面积1、直角坐标系情形、直角坐标系情形本讲稿第八页，共二十四页f上上(x)f下下(x)dx.xj左(y)xj右(y)由上下两条曲线y f上上(x)与y f下下(x)及左右两条直线

5、x a与x b所围成的平面图形的面积为 由左右两条曲线x j j左左(y)与x j j右右(y)及上下两条直线y d与y c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？j j右右(y)j j左左(y)dy.面积为 面积元素为j j右右(y)j j左左(y)dy,xj左(y)xj右(y)Y-型区域型区域本讲稿第九页，共二十四页解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量本讲稿第十页，共二十四页选选 为积分变量为积分变量解解两曲线的交点两曲线的交点本讲稿第十一页，共二十四页本讲稿第十二页，共二十四页面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积在在,中取典型小区间中取典型小区间

6、,+d ，小曲边扇形，小曲边扇形的面积近似为的面积近似为dA=1/2r2()d.2、极坐标系情形、极坐标系情形本讲稿第十三页，共二十四页解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一倍第一象限部分面积象限部分面积本讲稿第十四页，共二十四页二、二、体积体积0 旋转体的体积旋转体的体积0 已知平行截面面积的立体体积已知平行截面面积的立体体积本讲稿第十五页，共二十四页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积、旋转体的体积本讲稿第十六页，共二十四页x

7、yo旋转体的体积为旋转体的体积为本讲稿第十七页，共二十四页解解直线直线 方程为方程为本讲稿第十八页，共二十四页本讲稿第十九页，共二十四页本讲稿第二十页，共二十四页解解本讲稿第二十一页，共二十四页本讲稿第二十二页，共二十四页2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算也可用定积分来计算.立体体积立体体积本讲稿第二十三页，共二十四页解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积本讲稿第二十四页，共二十四页