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1、观测误差理差理论本讲稿第一页，共四十五页6.6.1 1 测量误差概述测量误差概述6.2 6.2 衡量误差值精度的标准衡量误差值精度的标准6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律6.4 6.4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差*6.5*6.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差本讲稿第二页，共四十五页6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述测量误差定义：真误差测量误差定义：真误差=观测值观测值-真值真值即即本讲稿第三页，共四十五页6.1.1 6.1.1 测量误差的来源测量误差的来源产生测量误差的原因很多，其来源概括起来有以下三个方面。产生测量误差的原因很多，其来源概括起来有以下三个方面

2、。1 1、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定限度的精密度，使观测值的精密度具有一定限度的精密度，使观测值的精密度 受到限制。受到限制。2 2、观测者：、观测者：由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有一定的局限，所以在仪器的安置、使力有一定的局限，所以在仪器的安置、使用中会用中会产生误差，如整平误差、照准误差产生误差，如整平误差、照准误差、读数误差等。、读数误差等。本讲稿第四页，共四十五页测量工作由于受到上述三方面因素的影响，观测结果总测量工作由于受到上述三方面因素的影响，观测结果总会产生这

3、样或那样的观测误差，即在测量工作中观测误差是不会产生这样或那样的观测误差，即在测量工作中观测误差是不可避免的。测量外业工作的责任就是要在一定的观测条件下，可避免的。测量外业工作的责任就是要在一定的观测条件下，确保观测成果具有较高的质量，将观测误差减少或控制在允许确保观测成果具有较高的质量，将观测误差减少或控制在允许的范围内。相同观测条件的观测成为的范围内。相同观测条件的观测成为等精度观测等精度观测；不同观测条；不同观测条件的观测成为件的观测成为不等精度观测不等精度观测。3 3、外界条件的影响：测量工作都是在一定的外界环境条件、外界条件的影响：测量工作都是在一定的外界环境条件下进行的，如温度、风

4、力、大气折光下进行的，如温度、风力、大气折光 等因素，这等因素，这些因素的差异和变化都会些因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响，直接对观测结果产生影响，必然给观必然给观测结果带来误差。测结果带来误差。本讲稿第五页，共四十五页6.1.2 6.1.2 测量误差的种类测量误差的种类先作两个前提假设先作两个前提假设 观测条件相同观测条件相同;对某一量进行一系列的直接观测。对某一量进行一系列的直接观测。在此基础上分析出现的误差的数值在此基础上分析出现的误差的数值 、符号及变化、符号及变化规律。规律。本讲稿第六页，共四十五页按测量误差对观测结果影响性质的不同，可将测量误差分为按测量误差对观测结果影响

5、性质的不同，可将测量误差分为粗差、系统误差和偶然误差三类。粗差、系统误差和偶然误差三类。1 1、系统误差、系统误差定义：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列定义：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化的误差，称为系统误差。按一定规律变化的误差，称为系统误差。本讲稿第七页，共四十五页系统误差具有累积性，对观测结果的影响很大，但它们的符系统误差具有累积性，对观测结果的影响很大，但它们的符号和大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的措施消除或号和大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的措施消除或减

6、弱其影响。减弱其影响。通常可采用以下三种方法：通常可采用以下三种方法：1 1）测定系统误差的大小，对观测值加以改正）测定系统误差的大小，对观测值加以改正;2 2）采用对称观测的方法）采用对称观测的方法;3 3）仪器检校。）仪器检校。本讲稿第八页，共四十五页定义：在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单定义：在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称偶然误差，又称随机误差。随机误差。偶然误差反映了观测结果的偶然误差

7、反映了观测结果的精密度精密度。2 2、偶然误差偶然误差精密度精密度：指在同一观测条件下，用同一观测方法：指在同一观测条件下，用同一观测方法对某量多对某量多次观测时，各观测值之间相互次观测时，各观测值之间相互的离散程度。的离散程度。本讲稿第九页，共四十五页粗差：也称为错误，是由于观测者使用仪器不粗差：也称为错误，是由于观测者使用仪器不 正确或正确或疏忽大意，如测错、读错、听错、疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等造成的算错等造成的错误，或因外界条件发生错误，或因外界条件发生意外的显著变动引起的意外的显著变动引起的差错。差错。3 3、粗差、粗差粗差在测量结果中是不允许存在的。为了杜粗差在测量结果中

8、是不允许存在的。为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施或进行多余观测。措施或进行多余观测。测量误差可以通过测量误差可以通过“多余观测多余观测”反映出来。反映出来。本讲稿第十页，共四十五页在观测过程中，在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存系统误差和偶然误差往往是同时存在的在的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差呈现出系统的性质；反之，呈现出偶然的性质。因位，观测误差呈现出系统的性质；反之，呈现出偶然的性质。因此，对一组剔除了粗差的观测值，首先应寻

9、找、判断和排除系统此，对一组剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对误差，或将其控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估值，称为该组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估值，称为最或是值最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣，即；同时，评定观测结果质量的优劣，即评定精度评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称这项工作在测量上称为测量平差，简称平差平差。结论结论本讲稿第十一页，共四十五页6.1.3 6.1.3 偶然误差的特性偶然误差的特性例例1 1：在相同的条件下独立观测了

10、：在相同的条件下独立观测了358358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于等于180180度，但由于误差的影响往往不等于度，但由于误差的影响往往不等于180180度，计算各内角和的真误差，度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔并按误差区间的间隔0.20.2秒进行统计。秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.

11、600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495本讲稿第十二页，共四十五页l例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n

12、(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501本讲稿第十三页，共四十五页(K/n)/d00.40.6

13、0.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:面积=(K/n)/d*d=K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1本讲稿第十四页，共四十五页 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差本讲稿第十五页，共四十五页偶然误差的偶然误差的统计特性统计特性

14、4 4）在相同的条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差在相同的条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即1 1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会 超过超过一定的限度，即偶然误差是有界的一定的限度，即偶然误差是有界的2 2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大3 3）绝对值相等的正、负误差出现的机会相等绝对值相等的正、负误差出现的机会相等式中式中 表示求和表示求和本讲稿第十六页，共四十五页精度：精度：所谓精度是指所

15、谓精度是指偶然误差偶然误差分布的密集离散程度。分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。提示：提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。各不相同。6.2 6.2 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标本讲稿第十七页，共四十五页6.2.1 6.2.1 中误差中误差中误差的几何意义：中误差的几何意义：偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。方差的定义：方差的定义：中误

16、差的定义：中误差的定义：中误差的估值：中误差的估值：本讲稿第十八页，共四十五页例例：甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角 形的形的三个内角观测三个内角观测5 5次，求得三角形闭合差次，求得三角形闭合差ii列于下表，列于下表，试问哪一组观测值精度高？试问哪一组观测值精度高？解：用中误差公式计算，得解：用中误差公式计算，得因因 ，故有理由认为甲组观测值的精度较乙组，故有理由认为甲组观测值的精度较乙组高。高。甲：甲：+4、-2、0、-4、+3乙：乙：+6、-5、0、+1、-1本讲稿第十九页，共四十五页两组观测值的误差绝对值相等两组观测值的误差绝对值相等mm

17、1 1 mm2 2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成果的精度，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成果的精度次序第一组观测第二组观测 观测值真误差观测值真误差1800003-391800000001800002-241795959+111795958+241800007-7491795956+4161800002-241800001-111800001-111800000001795959+111800004-4161795952+8641795957+391800000001795958+241795957+391800003-391800001-11|247224130中误差 -m2

18、 -m1+m1 +m2XY不同中误差的正态分布曲线本讲稿第二十页，共四十五页定义定义：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是极限误偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是极限误差。差。6.2.2 6.2.2 极限误差极限误差在区间（在区间（-mm，mm）内偶然误差的概率值为内偶然误差的概率值为本讲稿第二十一页，共四十五页在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的容许值，在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即称为容许误差，即在对精度要求较高时，常取二

19、倍中误差作为容许误差，即在对精度要求较高时，常取二倍中误差作为容许误差，即本讲稿第二十二页，共四十五页对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量。例如，测得某两段距离，一段长测结果的质量。例如，测得某两段距离，一段长200200mm，另一段另一段长长10001000mm，观测值的中误差均为观测值的中误差均为0.20.2m m。从表面上看，似从表面上看，似乎二者精度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。乎二者精度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。这时应采用另一种衡量精度的

20、标准，即相对误差。6.2.3 6.2.3 相对误差相对误差相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，在测相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，在测量上通常将其分子化为量上通常将其分子化为1 1。即用。即用K=1/NK=1/N的形式来表示。上例的形式来表示。上例前者的相对中误差为前者的相对中误差为0.2/200=1/10000.2/200=1/1000，后者为，后者为0.2/1000=1/50000.2/1000=1/5000。显然，相对中误差愈小（分母愈大），。显然，相对中误差愈小（分母愈大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。说明观测结果的精度愈高，反之愈低。本讲稿第二十三页，共

21、四十五页相对中误差的分子也可以是闭合差（如量距往返量测的两相对中误差的分子也可以是闭合差（如量距往返量测的两个结果的较差）或容许误差，这时分别称为相对闭合差及个结果的较差）或容许误差，这时分别称为相对闭合差及相对容许误差。相对容许误差。与相对误差相对应，中误差、极限（容许）误差等称为绝对误差。与相对误差相对应，中误差、极限（容许）误差等称为绝对误差。本讲稿第二十四页，共四十五页6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并通过测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量

22、，并通过一定的函数关系间接计算求得的。一定的函数关系间接计算求得的。一般函数一般函数表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。定律称为误差传播定律。例如：例如：h=a-b h=a-b 线性函数线性函数 误差传播定律：误差传播定律：本讲稿第二十五页，共四十五页倍数函数：倍数函数：Z=KXZ=KX则则6.3.1 6.3.1 倍数函数倍数函数推导过程推导过程若对若对X X变量进行变量进行n n次观测，则次观测，则 i=1i=1、2 2、n n本讲稿第二十六页，共四十五页例例1 1：在：在1 1：500500地形图上量得某两点间的

23、距离地形图上量得某两点间的距离d=234.5mm,d=234.5mm,其中误差其中误差mmd d=0.2mm=0.2mm，求该两点的地面水平距离求该两点的地面水平距离D D的值及其中误差的值及其中误差mmD D解：解：本讲稿第二十七页，共四十五页和差函数和差函数 Z=XZ=X1 1XX2 2 且且X X1 1、X X2 2独立，则独立，则6.3.2 6.3.2 和差函数和差函数推导过程推导过程本讲稿第二十八页，共四十五页解：水准测量每一站高差：解：水准测量每一站高差：则每站高差中误差则每站高差中误差观测观测n n站所得总高差站所得总高差则则n n站总高差站总高差h h的总误差的总误差若以三倍中

24、误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为若以三倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为例例2 2：已知当水准仪距标尺：已知当水准仪距标尺7575mm时，一次读数中误差时，一次读数中误差 为包括为包括照准误差、气泡置中误差及水准照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差），若以三标尺刻划中误差），若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n n站所得高差闭合差站所得高差闭合差的容许误差。的容许误差。本讲稿第二十九页，共四十五页例例3 3：已知：已知DJ6DJ6型光学经纬仪一个测回一个方向的中误差型光学经纬仪一个测回一个方向的中误差m=6m=6用用DJ6

25、DJ6型光学经纬仪观测角度一测回的测角中误型光学经纬仪观测角度一测回的测角中误差差解：解：已知已知DJ6DJ6型光学经纬仪一个测回一个方向的中型光学经纬仪一个测回一个方向的中 误差误差mm=6=6 由由得得本讲稿第三十页，共四十五页线性函数线性函数 Z=KZ=K1 1X X1 1KK2 2X X2 2.K.Kn nX Xn nKK0 0例：例：设对某一个三角形观测了其中设对某一个三角形观测了其中、两个角，两个角，测角中误差分别为测角中误差分别为mm=3.5=3.5，m m =6.2=6.2解：解：6.3.3 6.3.3 线性函数线性函数现按公式现按公式 =180-=180-求得求得 角，试求角

26、，试求 角的中误差角的中误差mm 本讲稿第三十一页，共四十五页函数函数表达式误差传播定律倍数和差线性均值 (为等精度观测)几种函数的误差传播公式几种函数的误差传播公式本讲稿第三十二页，共四十五页一般函数一般函数6.3.4 6.3.4 一般函数一般函数为独立独立观测值用偶然误差 、代替微量元素 、得：本讲稿第三十三页，共四十五页解：解：例例4 4：函数式：函数式 ，测得，测得 求求 的中误差的中误差 。本讲稿第三十四页，共四十五页6.4 6.4 同精度直接观测平差同精度直接观测平差6.4.1 6.4.1 求最或是值求最或是值 设对某量进行了设对某量进行了n n次同精度观测，其真值为次同精度观测，

27、其真值为X X，观测值为观测值为，相应的真误差为相应的真误差为则则.本讲稿第三十五页，共四十五页相加相加除以除以n n式中：式中：L L为算术平均值为算术平均值 即当观测次数即当观测次数n n无限多时，算术平均值就趋向于未知量的真值。无限多时，算术平均值就趋向于未知量的真值。当观测次数有限时，可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能当观测次数有限时，可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接近真值的近似值，称为最或是值或最或然值，用最或是值求得的最接近真值的近似值，称为最或是值或最或然值，用最或是值作为未知量真值的估值。作为未知量真值的估值。本讲稿第三十六页，共四十五页6.4.2

28、6.4.2 评定精度评定精度1 1、观测值中误差、观测值中误差同精度观测值中误差为：同精度观测值中误差为：由于未知量的真值由于未知量的真值X X无法确知，真误差无法确知，真误差 也是未知数，故不也是未知数，故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，多利用观测值的改正能直接用上式求出中误差。实际工作中，多利用观测值的改正数数 （其意义等同于最或是误差）来计算观测值的中误差。（其意义等同于最或是误差）来计算观测值的中误差。改正数：改正数：由改正数可以计算同精度观测值中误差：由改正数可以计算同精度观测值中误差：本讲稿第三十七页，共四十五页推导过程：推导过程：设某量的n个等精度观测值为l1，l2,，ln

29、，其真误差和改正数为：于是有：将上列n个等式两边分别平方，并求其和，再除以n，则有：上式中，考虑到中误差的定义公式，可得：本讲稿第三十八页，共四十五页2 2、最或是值的中误差、最或是值的中误差设对某量进行了设对某量进行了n n次同精度观测，其观测值为次同精度观测，其观测值为 ，观，观测值中误差为测值中误差为mm，最或是值为最或是值为L L。有有按中误差传播关系式按中误差传播关系式故故本讲稿第三十九页，共四十五页例：例：设对某角进行了设对某角进行了5 5次同精度观测，观测结果如下表，试次同精度观测，观测结果如下表，试求其观测值的中误差，及最或是值的中误差。求其观测值的中误差，及最或是值的中误差。

30、观观 测测 值值-30-1+3+190191观测值中误差观测值中误差最或是值中误差为最或是值中误差为本讲稿第四十页，共四十五页*6-5*6-5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差 在对某量进行不同精度观测时，各观在对某量进行不同精度观测时，各观测结果的中误差不同。显然，不能将具有测结果的中误差不同。显然，不能将具有不同可靠程度的各观测结果简单地取算术不同可靠程度的各观测结果简单地取算术平均值作为最或是值并评定精度。此时，平均值作为最或是值并评定精度。此时，需要选定某一个比值来比较各观测值的可需要选定某一个比值来比较各观测值的可靠程度，此比值称为权。靠程度，此比值称为权。本讲稿第四十一页，

31、共四十五页6.5.1 6.5.1 权的定义权的定义设一组不同精度观测值为设一组不同精度观测值为 ，相应的中误差为，相应的中误差为 ，选，选定任一大于零的常数定任一大于零的常数 ，定义权为，定义权为 ：一定的观测条件，对应着一定的误差分布，而一定的误差分布对一定的观测条件，对应着一定的误差分布，而一定的误差分布对应着一个确定的中误差。对不同精度的观测值来说，显然中误差越小，应着一个确定的中误差。对不同精度的观测值来说，显然中误差越小，精度越高，观测结果越可靠，因而应具有较大的权。故可以用中误差精度越高，观测结果越可靠，因而应具有较大的权。故可以用中误差来定义权。来定义权。称称 为观测值为观测值

32、的权。对一组已知中误差的观测值而言，选定的权。对一组已知中误差的观测值而言，选定一个一个值，就有一组对应的权。值，就有一组对应的权。衡量观测值（或估值）及其函数的相对可靠程度的一种指标。衡量观测值（或估值）及其函数的相对可靠程度的一种指标。通常用通常用P P表示。表示。本讲稿第四十二页，共四十五页观测值的权之间的比例关系为 数值等于1的权为单位权。此时，有 ，当二者单位相同时，称为单位权中误差。此时的观测值为单位权观测值。权的特性表现在：权只能反映观测值之间的相对精度，在反映观测值精度时，起作用的不是权本身的大小，而是权之间的比例关系。权既可反映同一类量的若干个观测值之间的精度高低，也可反映不同类量的观测值之间的精度高低。本讲稿第四十三页，共四十五页6.5.2 6.5.2 求不同精度观测值的最或是值求不同精度观测值的最或是值 -加权平均值加权平均值设对某量进行了设对某量进行了n n次不同精度观测，观测值为次不同精度观测，观测值为 ，其相应，其相应的权为的权为 ，测量上取加权平均值为该量的最或是值，即，测量上取加权平均值为该量的最或是值，即本讲稿第四十四页，共四十五页6.5.3 6.5.3 不同精度观测的精度评定不同精度观测的精度评定1 1、最或是值的中误差、最或是值的中误差2 2、单位权观测中误差、单位权观测中误差本讲稿第四十五页，共四十五页