实物交换模型幻灯片.ppt

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1、实物交换模型第1页，共34页，编辑于2022年，星期五问问题题甲有物品甲有物品X,乙有物品乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量。设交换前甲占有的数量。设交换前甲占有X的数量为的数量为x0,乙占有乙占有Y的数量为的数量为y0,作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0 x

2、o 2.1 实物交换实物交换第2页，共34页，编辑于2022年，星期五xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有具有同样的满意程度，即同样的满意程度，即p1,p2对甲是对甲是无差别的，无差别的，MN将所有与将所有与p1,p2无差别的点连接无差别的点连接起来，得到一条起来，得到一条无差别曲线无差别曲线MN,线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同,线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度，的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，

3、在另一条无差别曲线，在另一条无差别曲线M1N1上。于是上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。形成一族无差别曲线（无数条）。第3页，共34页，编辑于2022年，星期五p1.p2.c1 y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质：单调减单调减(x增加增加,y减小减小)下凸下凸(凸向原点凸向原点)互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，宁多，宁愿以较多的愿以较多的 y换取较少换取较少的的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，就多，就要以较多的要以较多的 x换取较少的换取较少的 y。甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等

4、满意度曲线）等满意度曲线）第4页，共34页，编辑于2022年，星期五xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质具有相同性质（形状可以不同）（形状可以不同）双方的交换路径双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2(坐标坐标系系xOy,且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必在双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上（交换路径）上因为在因为在AB外的任一点外的任一点p,(双方至少有一方双方至少有一方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p两族曲线两

5、族曲线切点连线切点连线记作记作AB第5页，共34页，编辑于2022年，星期五ABp 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩矩形内任一点形内任一点交换路径交换路径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交换等价交换等价交换等价交换原则原则原则原则X,Y用货币衡量其价值，设交换前用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下价值相同，则等价交换原则下交换路径为交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线两点的连线CDAB与与CD的的交点交点p设设X单价单价a,Y单价单价b,则等价交换

6、下则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0 xo.x第6页，共34页，编辑于2022年，星期五模型应用模型应用分析雇员与雇主的劳资关系分析雇员与雇主的劳资关系（1）绘出雇员）绘出雇员1天的工资天的工资w和工作时间和工作时间t的无差别曲线的无差别曲线（2）如果雇主付计时工资）如果雇主付计时工资,画出其计时工资线族（为一组射线）画出其计时工资线族（为一组射线）（3）假如雇员与雇主已经达成了一个协议（工作时间）假如雇员与雇主已经达成了一个协议（工作时间t1和工和工资资w1）。如果雇主想使雇员的工作时间延长到）。如果雇主想使雇员的工作时间延长到t2，他有两种方法，他有两种方法，一是提高

7、计时工资率，在协议曲线的另一点上达成新的协议；一是提高计时工资率，在协议曲线的另一点上达成新的协议；另一种方法是实行超时工作制，即对工时之前仍付原计时工另一种方法是实行超时工作制，即对工时之前仍付原计时工资，对超出的工时付更高的超时工资，分析哪种方法对雇主资，对超出的工时付更高的超时工资，分析哪种方法对雇主有利。有利。第7页，共34页，编辑于2022年，星期五雇员与雇主交换途径雇员与雇主交换途径 B A 第8页，共34页，编辑于2022年，星期五2.2 核军备竞赛核军备竞赛数据来源：俄罗斯共青团真理报数据来源：俄罗斯共青团真理报http:/spb.kp.ru 2006年年2月月22日日 第9页

8、，共34页，编辑于2022年，星期五 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。军协议。在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。衡状态。当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。施时，平衡状态会发生什么变化。估

9、计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。因素影响。背背景景第10页，共34页，编辑于2022年，星期五以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小。核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略：认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；导弹攻击己方的核导弹基地；乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。对

10、方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。方的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。的防御能力决定。模模型型假假设设第11页，共34页，编辑于2022年，星期五图图模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方有乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数枚导弹，甲方所需的最少导弹数当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑

11、值xyy00y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲安甲安全区全区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线第12页，共34页，编辑于2022年，星期五精细精细模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。基地未被摧毁的概率。sx个基地未摧毁，个基地未摧毁，yx个基地未攻击。个基

12、地未攻击。xy甲方以甲方以 x枚核弹攻击乙方枚核弹攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个被攻击个被攻击2次，次，s2(xy)个未摧毁；个未摧毁；y(xy)=2y x个被攻击个被攻击1次，次，s(2y x)个未摧毁个未摧毁y0=s2(xy)+s(2y x)x=2yy0=s2yyx2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2第13页，共34页，编辑于2022年，星期五 a交换比交换比(甲乙导弹数量比甲乙导弹数量比)x=a y,精细模精细模型型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)y是一条上凸的

13、曲线是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡s变大，变大，y减小，曲线变平减小，曲线变平a变大，变大，y增加，曲线变陡增加，曲线变陡xy0y0 xy,y=y0+(1-s)xx=yx=2yyx1.43 m/s。1934年：年：竞渡的直线距离为5000 m,垂直距离仍为H=1160 m,则L=4864 m,仍设v=1.89 m/s，游泳者的速度只要满足 u 0.44 m/s，就可以选到合适的角度游到终点.。(游 5000米很多人可以做到)第25页，共34页，编辑于2022年，星期五(4)由对称性及偏角引理由对称性及偏角引理Longriver.m第26页，共34页，编辑于2022

14、年，星期五2.4 紧急调兵紧急调兵由于军事上的需要由于军事上的需要,需将甲地需将甲地n n名战斗人员名战斗人员(不包括驾驶员不包括驾驶员)紧急调运至乙地。但是由于运输车辆不足，紧急调运至乙地。但是由于运输车辆不足，m m 辆车无法保证辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车。显然，部分战斗人员乘车，每个战斗人员都能同时乘车。显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。设每辆车载人数相同，部分战斗人员急行军是可行的方案。设每辆车载人数相同，只有一条道路，但足以允许车辆与人员同时行进。只有一条道路，但足以允许车辆与人员同时行进。请给出最佳运兵方案。请给出最佳运兵方案。基本假设基本假设(1)

15、不考虑先期到达人员的军事价值，不考虑人员等由于行军疲不考虑先期到达人员的军事价值，不考虑人员等由于行军疲 劳而造成的行军速度的变化，不考虑车辆中途加油等原因造劳而造成的行军速度的变化，不考虑车辆中途加油等原因造 成的时间损失以及重载与空载等因素造成的运输车辆的速度成的时间损失以及重载与空载等因素造成的运输车辆的速度 变化。不计战斗人员上、下车的时间。变化。不计战斗人员上、下车的时间。（2）假设每辆车载人数为）假设每辆车载人数为 b(不包括驾驶员不包括驾驶员)；车速为人行速度；车速为人行速度 的的k1倍，需要调运的总人数倍，需要调运的总人数n=mbj第27页，共34页，编辑于2022年，星期五命

16、题命题1载人的车辆与行军人员载人的车辆与行军人员同时到达同时到达乙地是最优方乙地是最优方案的必要条件案的必要条件。命题命题2车辆在车辆在前进时应尽量满载前进时应尽量满载，后退时应空载后退时应空载。最优方案的必要条件最优方案的必要条件最优方案的最优方案的充分条件充分条件x:每辆车前进路程；每辆车前进路程；y:每个人行军的路程每个人行军的路程团体平均速度最大以及车辆的平均利用率最高团体平均速度最大以及车辆的平均利用率最高。第28页，共34页，编辑于2022年，星期五(1)开始时让车满载，其余的人行军，人与车同时出发；(2)当车开到1-y处,让车上的人行军前进,车回头接后面行军的人;(3)当回头的车

17、辆遇到正在行军的人员时,让其中的任意mb个人乘车前进,当车辆遇到前面行军的人员时,将车上的人员放下,让他们与前面行军的 人员一起继续行军,车回头接后面行军的人员;(4)当车辆在返回的途中遇到后面行军人员时,再让mb个人员上车,其余的人 员继续行军,车辆再次前进,当遇到前面行军的人员时,将车上的人员放下,让其随前面的行军人员一起行军,如此反复,直至最后的mb个人上车,车 载着这些人员一直开到乙地。方案：方案：特点：特点：每次让满载的人使用最大允许车程每次让满载的人使用最大允许车程1-y，车辆在人群间折返。车辆在人群间折返。第29页，共34页，编辑于2022年，星期五方案最优性证明：方案最优性证明

18、：只要证明最后一批（第j批）人员行军路程与第一批相同，均为 y 即可。每接到一批人员，人员前进路程AD，车辆后退路程DB当接到第j批人员时，车辆后退总路程DB*(j-1)，即代入人车同时到达的条件，即第j批人员行军路程AD*(j-1),即第30页，共34页，编辑于2022年，星期五(1)开始时让 i 组车满载，其余一组人行军，人与车同时出发；(2)当车开到p(1-y)/i 处,让第p组车上的人行军前进,第p组车回头接后面 行军的人,接到后直接到达目的地;p=1,2,i方案：方案：先将人车分组：假设车：i 组，每组(l-m)辆，共计(l-m)*i=m 辆人：i+1 组，每组(l-m)*b 人，共

19、计(l-m)*b*(i+1)=n 人特点：特点：车辆前进时始终有一组人步行。车辆前进时始终有一组人步行。一组车辆后退时始终有两组人步行。一组车辆后退时始终有两组人步行。每次让一组乘车者分担初始行军者车程的每次让一组乘车者分担初始行军者车程的1/i，即步行每组最大允许车程即步行每组最大允许车程(1-y)/i。第31页，共34页，编辑于2022年，星期五方案最优性证明：方案最优性证明：以证明开始时未乘车人员行军路程为 y 为例。人员前进路程AD代入最优方案的最优方案的充分条件充分条件，即行军路程第32页，共34页，编辑于2022年，星期五(3)为自然数为自然数 方案：方案：(1)组车同时载满人出发

20、，其余 组人员行军；(2)车行至 处，第一组人下车行军，其余车辆继续前进，第一组车返回；(3)当第一组车与后面行军人员相遇时，让其中的任意一组人上车，其余的行军人员继续前进（4）第二组车行至 处，第二组车上的人下车行军，其余车辆继续前进，第二组车返回接开始行军人员中的任意一组；（5）依次类推，返回的车辆接完开始行军的组人员后，依次分别接从第一组、第二组车等车上下来行军的人员，直至乘组中最后一组第二次乘车人员与从组车下来的行军人员同时达到乙地。第33页，共34页，编辑于2022年，星期五其它情况的讨论其它情况的讨论v 对于 的情形可以转化为的 情形。在制定方案时，可先运 个战斗人员至 处，让他们继续行军至乙地，然后返回再接 个战斗人员赶上前面行军队伍，并再返回直至后面未乘过车的行军人员小于 ，大于 个为止。当返回车与他们相遇时，情形就与已经讨论的情形完全相同，可用前面方案对最后一批少于 个战斗人员进行调度。v 对于 不是自然数的情形，运输时一定会有乘不满的情况，这时不妨虚增 个战斗人员，其中 是大于 的最小整数，然后再利用前面的相应方案。第34页，共34页，编辑于2022年，星期五