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1、第四节数据处理本讲稿第一页，共四十九页定义：定义：数据处理就是用简明而严格的方数据处理就是用简明而严格的方法把实验数据所代表的事物内在规律性法把实验数据所代表的事物内在规律性提炼出来。它是获得数据到结果，包括提炼出来。它是获得数据到结果，包括记录、整理、计算、分析等内在的一个记录、整理、计算、分析等内在的一个加工过程。加工过程。数据处理方法很多，主要讲列表数据处理方法很多，主要讲列表法、作图法、逐差法和最小二乘法、作图法、逐差法和最小二乘法。法。本讲稿第二页，共四十九页一、列表法一、列表法列表法就是在记录和处理数据时，将原始数据（有时列表法就是在记录和处理数据时，将原始数据（有时还把运算的中间

2、项）列成表格。还把运算的中间项）列成表格。本讲稿第三页，共四十九页要求：要求：要把原始数据和必要的要把原始数据和必要的 运算过程中的中间结果运算过程中的中间结果 引入表中。引入表中。必须标明各符号所代表必须标明各符号所代表 的物理量的意义，并写的物理量的意义，并写 明单位。明单位。表中的数据要正确地反表中的数据要正确地反 映测量结果的有效数字。映测量结果的有效数字。本讲稿第四页，共四十九页例1：通过测量温度通过测量温度t和在温度和在温度t下铜的电阻下铜的电阻Rt来测来测量铜的电阻温度系数，得到量铜的电阻温度系数，得到t与与Rt的数据列表的数据列表如下：如下：表中数据均为有效数字表中数据均为有效

3、数字本讲稿第五页，共四十九页优点：优点：1.简单而明确地表示相关各简单而明确地表示相关各 物理量之间的关系。物理量之间的关系。2.便于对比检查测量与运算便于对比检查测量与运算 结果是否合理。结果是否合理。3.便于发现和分析问题，有便于发现和分析问题，有 助于从中找出规律性的联助于从中找出规律性的联 系和找出经验公式。系和找出经验公式。本讲稿第六页，共四十九页电压表读数U（V）电流表读数I（mA）固定电阻的测量值（）6.005.981003电压表读数U（V）电流表读数I（mA）固定电阻的测量值（）1.10025.443.3（1）、单次测量一个固定电阻的阻值）、单次测量一个固定电阻的阻值(其标准值

4、为其标准值为51.0 )。电压表的量程。电压表的量程取取1.5V档，档，仪仪=1.5V0.5%=0.0075V=0.008V；电流表的量程取电流表的量程取30mA档，档，仪仪=30mA0.5%=0.15mA=0.2mA。（2）、单次测量一个固定电阻的阻值）、单次测量一个固定电阻的阻值(其标准值为其标准值为1.0k )。电压表的量。电压表的量程取程取7.5V档，档，仪仪=7.5V0.5%=0.0375V=0.04V；电流表的量程取电流表的量程取30mA档，档，仪仪=30mA0.5%=0.15mA=0.2mA。本讲稿第七页，共四十九页（3）、测量稳压二极管的正反向伏安特性。）、测量稳压二极管的正反

5、向伏安特性。（A）、稳压二极管的正向伏安特性数据记录表）、稳压二极管的正向伏安特性数据记录表电压表的量程取电压表的量程取1.5V档，档，仪仪=1.5V0.5%=0.0075V=0.008V；电流表的量电流表的量程取程取30mA档，档，仪仪=30mA0.5%=0.15mA=0.2mA。(B)、稳压二极管的反向伏安特性数据记录表、稳压二极管的反向伏安特性数据记录表 电压表的量程取电压表的量程取7.5V档，档，仪仪=7.5V0.5%=0.0375V=0.04V；电流表的量电流表的量程取程取30mA档，档，仪仪=30mA0.5%=0.15mA=0.2mA。次数次数123456789101112电压电压

6、U（V）0.002.003.003.253.503.753.854.004.054.154.204.23电流电流I（mA）0.00.11.11.93.76.28.913.417.022.426.829.1次数次数12345678910111213电压电压U（V）0.0000.2010.3080.4020.5060.6070.7030.7550.7720.7810.7920.7980.800电流电流I（mA）0.00.61.01.41.72.12.96.811.315.120.226.429.8本讲稿第八页，共四十九页二、作图法二、作图法本讲稿第九页，共四十九页二、作图法二、作图法 作图法就是把

7、一系列数据之间的关作图法就是把一系列数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来系或其变化情况用图线直观地表示出来的一种方法，它是研究物理量之间的变的一种方法，它是研究物理量之间的变化规律，找出对应的函数关系，求出经化规律，找出对应的函数关系，求出经验公式最常用的方法之一。验公式最常用的方法之一。本讲稿第十页，共四十九页1.1.作图的应用作图的应用A.图线是依据许多图线是依据许多数据点描出的平滑曲数据点描出的平滑曲线，因而具有取平均线，因而具有取平均的效果，从图线我们的效果，从图线我们可以看出偶然误差的可以看出偶然误差的大小以及判断是否存大小以及判断是否存在系统误差。在系统误差。本讲稿第十一

8、页，共四十九页B.直接得到经验公式直接得到经验公式(求斜率与截距）求斜率与截距）从实验得出的一系列数据为线性关系或近从实验得出的一系列数据为线性关系或近似为线性关系时，可用一直线作为其图线。似为线性关系时，可用一直线作为其图线。根据实验数据得到直线的图线过程叫直线拟根据实验数据得到直线的图线过程叫直线拟合，数据应分布在直线两边。合，数据应分布在直线两边。直线方程为直线方程为本讲稿第十二页，共四十九页斜率为斜率为截距为截距为此法称为三点法，第三个此法称为三点法，第三个点为非实验点点为非实验点截距为截距为本讲稿第十三页，共四十九页C.内插与外推内插与外推从图线可得到非测量点的数据。如图所示：从图线

9、可得到非测量点的数据。如图所示：利用内插或外推使测量范利用内插或外推使测量范围得到了扩展，并且方便围得到了扩展，并且方便快捷、避免了复杂的计算。快捷、避免了复杂的计算。*当数据在测量范围内时为当数据在测量范围内时为内插内插（X1,Y1）*当数据在测量范围外时为当数据在测量范围外时为外推外推（X2,Y2）注意：实验图线是不能随意延伸，注意：实验图线是不能随意延伸，不能认定在一定范围内得到的规不能认定在一定范围内得到的规律一定可以适应于另一范围。律一定可以适应于另一范围。本讲稿第十四页，共四十九页D.校正曲线校正曲线例2：一信号源的输出频率有较大的误差，可利一信号源的输出频率有较大的误差，可利用高

10、精度的信号源对它进行校正，校正结用高精度的信号源对它进行校正，校正结果如下：果如下：利用校正曲线可以提高仪器的准确度。利用校正曲线可以提高仪器的准确度。注意：校注意：校正曲线是正曲线是折线折线图，图，相邻的数相邻的数据点用据点用直直线线连接。连接。本讲稿第十五页，共四十九页E.曲线改直曲线改直 从实验得出的数据常近似满足一从实验得出的数据常近似满足一定的非线性函数关系，给实验数据找定的非线性函数关系，给实验数据找到合适的非线性函数图线的过程叫曲到合适的非线性函数图线的过程叫曲线拟合。很多非线性函数关系可通过线拟合。很多非线性函数关系可通过适当变换成为线性关系，把这种变换适当变换成为线性关系，把

11、这种变换称为曲线改直。称为曲线改直。本讲稿第十六页，共四十九页本讲稿第十七页，共四十九页本讲稿第十八页，共四十九页测量单摆的周期测量单摆的周期T随摆长随摆长L的变化，函数关系为：的变化，函数关系为：LT曲线为抛物线。曲线为抛物线。若进行曲线改直作若进行曲线改直作LT2曲线。结果将得到一条通过原点的直线。曲线。结果将得到一条通过原点的直线。其斜率等于其斜率等于。由此可算出试验所在地的重力加速度。由此可算出试验所在地的重力加速度g例1：电容的放电过程电容的放电过程式中式中R或或c为未知量，可以为未知量，可以用作图的方法确定。两边取对数得：用作图的方法确定。两边取对数得：作作 曲线，设图线的斜率为曲

12、线，设图线的斜率为 截距为截距为 。由此可算出电路参数由此可算出电路参数R和和 c。例2：本讲稿第十九页，共四十九页2.2.作图规则作图规则决定作图参量、选取决定作图参量、选取坐标纸。坐标纸。作图一定要用坐标纸，作图一定要用坐标纸，测量数据中的可靠数字测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的，在图上也应是可靠的，即图纸上一小格对应数即图纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一据中可靠数字的最后一位，而误差位在小格之位，而误差位在小格之间估计。间估计。本讲稿第二十页，共四十九页2.2.作图规则作图规则 标明坐标轴和图名标明坐标轴和图名本讲稿第二十一页，共四十九页2.2.作图规则作图规则 标点标点若同时

13、有几条线，分别用若同时有几条线，分别用“x”“+”“0”“”“”“I”等标点，通常不用园点等标点，通常不用园点“”，特，特别别是小是小圆圆点点“.”，图线绘图线绘制制时应时应准确落在准确落在标记标记的中心上。的中心上。本讲稿第二十二页，共四十九页2.2.作图规则作图规则 连线连线说明：如果图线是反说明：如果图线是反映物理量之间关系的，映物理量之间关系的，画出拟合直线或连成画出拟合直线或连成光滑曲线，校正曲线光滑曲线，校正曲线画成折线，同一图上画成折线，同一图上要画几条曲线，可以要画几条曲线，可以分别用不同虚实线或分别用不同虚实线或不同颜色画出来。不同颜色画出来。本讲稿第二十三页，共四十九页3.

14、3.作图举例作图举例例3：直角坐标举例。测得铜电阻与温度对应的直角坐标举例。测得铜电阻与温度对应的一组数据如表所示，试用直角坐标作图表一组数据如表所示，试用直角坐标作图表示出电阻与温度的函数关系。示出电阻与温度的函数关系。本讲稿第二十四页，共四十九页本讲稿第二十五页，共四十九页在图中任选两点在图中任选两点 和和 ，将两点代入式中可得：将两点代入式中可得：最后，得到电阻随温度的变化关系为：最后，得到电阻随温度的变化关系为：由于有由于有x=0的坐标点，故的坐标点，故本讲稿第二十六页，共四十九页 用用电电势势差差计计校校准准量量程程为为1mV的的毫毫伏伏表表，测测量量数数据据如如下下（表表中中单单位

15、位均均为为mV）。在在如如图图所所示示的的坐坐标标中中画画出出毫毫伏伏表表的的校校准准曲曲线线，并并对对毫伏表定级别。毫伏表定级别。毫伏表读数毫伏表读数0.1000.2000.3000.4000.500 电势差计读数电势差计读数0.10500.21500.31300.40700.5100 修正值修正值U0.0050.0150.0130.0070.0100.6000.7000.8000.9001.0000.60300.69700.78500.89201.00700.003-0.003-0.015-0.0080.007 毫伏表读数毫伏表读数 电势差计读数电势差计读数 修正值修正值U例例4：本讲稿第

16、二十七页，共四十九页本讲稿第二十八页，共四十九页毫伏表的级别为：毫伏表的级别为：为为1.5级表级表本讲稿第二十九页，共四十九页三、逐差法1.1.逐差法的含义逐差法的含义 把实验测量数量（因变量）进行逐项把实验测量数量（因变量）进行逐项相减或依顺序分为两组实行对应项测量数相减或依顺序分为两组实行对应项测量数据相减之差作因变量的多次测量值。然后据相减之差作因变量的多次测量值。然后求出最佳值求出最佳值算术平均值的处理数据的算术平均值的处理数据的方法。方法。本讲稿第三十页，共四十九页例5：伏安法测电阻，试用逐差法求出电流伏安法测电阻，试用逐差法求出电流I的的最佳值并算出电阻最佳值并算出电阻R本讲稿第三

17、十一页，共四十九页.若按逐项相减，则有若按逐项相减，则有解：解：根据伏安公式根据伏安公式本讲稿第三十二页，共四十九页.若按顺序分为两组（若按顺序分为两组（15为一组，为一组，610为一组）为一组）实行对应项相减，其结果如表：实行对应项相减，其结果如表：可以利用这种分组法计算因变量可以利用这种分组法计算因变量 的平均值的平均值根据欧姆定律得根据欧姆定律得本讲稿第三十三页，共四十九页2.2.有关逐差法的几点说明有关逐差法的几点说明使用条件：使用条件：自变量等间隔变化（对一次逐差必须自变量等间隔变化（对一次逐差必须 是线性关系，否则先进行曲线改直）是线性关系，否则先进行曲线改直）用数据进行直线拟合（

18、一次逐差）用数据进行直线拟合（一次逐差）优点：优点：充分利用测量数据（取平均的效果）充分利用测量数据（取平均的效果）作用：作用：验证函数是否线性关系（一次逐差）验证函数是否线性关系（一次逐差）本讲稿第三十四页，共四十九页 如果测量数据不是偶数，计算时就要如果测量数据不是偶数，计算时就要 去掉头、尾或中间一组数据。去掉头、尾或中间一组数据。计算不确定度时，把两个数据的差作计算不确定度时，把两个数据的差作 为直接测量量来计算不确定度，在数为直接测量量来计算不确定度，在数 据较少时（如据较少时（如7 7个数据，逐差后剩个数据，逐差后剩3 3个）个）仪器误差一般要按照常值仪器误差一般要按照常值1.41

19、.4倍计算。倍计算。本讲稿第三十五页，共四十九页四、最小二乘法四、最小二乘法近似计算法比较：近似计算法比较：作图法：作图法：直观、简便。但主观随意性大（粗略）直观、简便。但主观随意性大（粗略）逐差法：逐差法：粗略的近似计算方法（要满足一定条件）粗略的近似计算方法（要满足一定条件）回归分析法：回归分析法：最准确的计算方法最准确的计算方法本讲稿第三十六页，共四十九页1.1.回归分析法定义：回归分析法定义：由数理统计的方法处理数据，通过计算确由数理统计的方法处理数据，通过计算确定其函数关系的方法。定其函数关系的方法。步骤：步骤：1.推断函数形式（回归方程）推断函数形式（回归方程）2.由实验数据确定参

20、数由实验数据确定参数a、b、c等的最佳值。等的最佳值。3.根据实验数据检验函数关系根据实验数据检验函数关系 是否合理。是否合理。y=aebx+c (指数关系）指数关系）如如 y=a+bx (线性关系）线性关系）本讲稿第三十七页，共四十九页2.2.用最小二乘法进行一元线性回归用最小二乘法进行一元线性回归（1）最小二乘法原理）最小二乘法原理给定函数关系为给定函数关系为 y=a+bx最小乘数最小乘数a和和b的值是能使各次测的值是能使各次测量值误差平方和为最小的那个值。量值误差平方和为最小的那个值。数学表达式为：数学表达式为：本讲稿第三十八页，共四十九页（2）一元线性回归（直线拟合）一元线性回归（直线

21、拟合）函数形式函数形式（1）实验数据为实验数据为由于由于x和和y的测量存在误差，将的测量存在误差，将代入（代入（1）式，等式两边并不相等。）式，等式两边并不相等。等式两端的差值用等式两端的差值用表示，则表示，则.本讲稿第三十九页，共四十九页按最小二乘法原理，按最小二乘法原理，a、b最佳值应满足：最佳值应满足：（2）由于由于 最小，最小，（2）式对）式对a和和b求偏导应为求偏导应为0。整理后得整理后得（3）本讲稿第四十页，共四十九页由于由于代入（代入（3）式有：）式有：总结：上式总结：上式a、b就是用最小二乘法求得就是用最小二乘法求得拟合直线的截距和斜率的最佳值。拟合直线的截距和斜率的最佳值。本

22、讲稿第四十一页，共四十九页注意：注意：1.用最小二乘法计算用最小二乘法计算a、b时，计算中间过程不时，计算中间过程不宜用有效数字运算法则，否则引起较大的计算误差，宜用有效数字运算法则，否则引起较大的计算误差，用计算器为好，把显示数字都记下来为好。用计算器为好，把显示数字都记下来为好。2.若若x、y相关性好，可粗略考虑相关性好，可粗略考虑a的有效数字的有效数字位数与位数与y有效数字最后一位对齐，有效数字最后一位对齐，b的有效数字位数的有效数字位数与与 和和 中有效位数较少的相同。但最可中有效位数较少的相同。但最可靠的方法是通过计算靠的方法是通过计算a、b的不确定度来确定有效数的不确定度来确定有效

23、数字的位数。字的位数。3.最小二乘法求出拟合直线时，并不要求自变量等间最小二乘法求出拟合直线时，并不要求自变量等间距变化，测量时比逐差法更方便。距变化，测量时比逐差法更方便。本讲稿第四十二页，共四十九页（3）相关系数）相关系数r相关系数：定量描述相关系数：定量描述x、y变量之间线性相关程度的好坏变量之间线性相关程度的好坏式中式中r0 拟合曲线斜率为正拟合曲线斜率为正r0 斜率为负斜率为负r=0 则则x和和y无线性关系无线性关系本讲稿第四十三页，共四十九页(a)(b)(c)(d)本讲稿第四十四页，共四十九页（4）举例）举例还是以铜电阻还是以铜电阻温度关系为例，测得的一组温度关系为例，测得的一组数

24、据如表所示。已知数据如表所示。已知Rt和和t的函数关系为的函数关系为Rt=a+bt，试用最小二乘法求出，试用最小二乘法求出a、b。例6：本讲稿第四十五页，共四十九页解：如果把数据代入计算如果把数据代入计算的公式中就可得到的公式中就可得到的值为的值为0.999。说。说明它们的线性关系良好。明它们的线性关系良好。本讲稿第四十六页，共四十九页本章小结本章小结本章小结本章小结 列表法列表法 作图法作图法 逐差法逐差法 最小二乘法最小二乘法本讲稿第四十七页，共四十九页作业：第一章习题：1、2、4、7、11、12网址：网址：科大主页科大主页教师社区教师社区网网络学堂络学堂物理电子学院物理电子学院大学物大学物理演示实验理演示实验授课教案。授课教案。第一次上课预习实验是：周一二段班：静电场模拟1组（科2-107）和夫兰克-赫兹2组（科2-109）实验，第二次交换。其它班都是：霍尔效应1组和伏安特性2组（科2-119）实验，第二次交换。本讲稿第四十八页，共四十九页祝同学们：祝同学们：学业有成学业有成 天天快乐天天快乐本讲稿第四十九页，共四十九页