【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题06 不等式 理.doc

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1、【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题06 不等式 理【2012高考真题精选】1.（2012福建卷）下列不等式一定成立的是()Alglgx(x0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)2（2012重庆卷）设数列an的前n项和Sn满足Sn1a2Sna1，其中a20.(1)求证：an是首项为1的等比数列；(2)若a21，求证：Sn(a1an)，并给出等号成立的充要条件的不等式成立当a21时，令b，则0b1，由已知的结论知，两边同时乘以a得所要证的不等式综上，当a21且a20时，有Sn(a1an)，当且仅当n1,2或a21时等号成立3（2012浙江卷）设

2、a0，b0()A若2a2a2b3b，则abB若2a2a2b3b，则abD若2a2a2b3b，则a2b2b.构造函数：f(x)2x2x，则f(x)2x2x在x0上单调递增，即ab成立，故A正确，B错误其余选项用同样方法排除4（2012浙江卷）设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是()A若d0，则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项，则d0D若对任意nN*，均有Sn0，则数列Sn是递增数列4（2012山东卷）若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.【答案】2【解析】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，容易题去绝对值得2kx42，即2kx6，又

3、其解集为，k2.5（2012江苏卷）已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为（0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_【答案】9【解析】本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系由条件得a24b0，从而f(x)2，不等式f(x)c解集为x，故两式相减得3，c9.6（2012天津卷）已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.【答案】1,1【解析】本题考查绝对值不等式的解法及集合的交并运算，考查运算求解能力，容易题A，且AB(1，n)，m1，B，AB(

4、1,1)，即n1.7（2012浙江卷）设集合Ax|1x4，集合Bx|x22x30，则A(RB)()A(1,4) B(3,4)C(1,3) D(1,2)(3,4)【答案】B【解析】本题主要考查不等式的求解、集合的关系与运算等由于Bx|x22x30x|1x3，则RBx|x3，那么A(RB)x|3x4(3,4)，故应选B.8（2012北京卷）已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2，若同时满足条件：xR，f(x)0或g(x)0；x(，4)，f(x)g(x)c2，则C2c，则C；若a3b3c3，则C；若(ab)c；若(a2b2)c2.25（2012江苏卷）已知正数a，b，c满足：5c3ab4

5、ca，clnbaclnc，则的取值范围是_【答案】e,7【解析】本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用解题突破口为将所给不等式条件同时除以c，三元换成两元题设条件可转化为记x，y，则且目标函数为z，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形由方程组得交点坐标为C，此时zmax7.又过原点作曲线yex的切线，切点为(x0，y0)，因yex，故切线斜率kex0，切线方程为yex0x，而y0ex0且y0ex0x0，解之得x01，故切线方程为yex，从而zmine，所求取值范围为e,726(2012广东卷)设a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB.(1)求集合D(用

6、区间表示)；(2)求函数f(x)2x33(1a)x26ax在D内的极值点B(，x1)(x2，)又x10a0，所以i)当0a时，DAB(0，x1)(x2，)；ii)当a0时，D(x2，)(2)f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)当a1时，f(x)在R上的单调性如下表：x(，a)a(a,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值当a1时，D(0，)由表可得，xa为f(x)在D内的极大值点，x1为f(x)在D内的极小值点当a时，D(0,1)(1，)27(2012陕西卷)设函数fn(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；(2)设

7、n2，若对任意x1，x21,1，有|f2(x1)f2(x2)|4，求b的取值范围；(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，xn，的增减性【答案】解：(1)b1，c1，n2时，fn(x)xnx1.fnfn(1)10，fn(x)在上是单调递增的，fn(x)在内存在唯一零点(2)当n2时，f2(x)x2bxc.对任意x1，x21,1都有|f2(x1)f2(x2)|4等价于f2(x)在1,1上的最大值与最小值之差M4.据此分类讨论如下：当1，即|b|2时，28(2012江苏卷)如图15，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某

8、炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由29(2012四川卷)如图17所示，动点M与两定点A(1,0)、B(2,0)构成MAB，且MBA2MAB，设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线y2xm与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|PR|，求的取值范围图17【答案】解：(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x0，且y0.当MBA90

9、时，点M的坐标为(2，3)当MBA90时，x2，由MBA2MAB，有tanMBA，30(2012四川卷)记x为不超过实数x的最大整数，例如，22，1.51，0.31.设a为正整数，数列xn满足x1a，xn1(nN*)现有下列命题：当a5时，数列xn的前3项依次为5,3,2；对数列xn都存在正整数k，当nk时总有xnxk；当n1时，xn1；对某个正整数k，若xk1xk，则xk其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)31(2012安徽卷)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)若abc2，则C2c，则C；若a3b3c3，则C；若(ab)c；

10、若(a2b2)c2.【答案】【解析】本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等32(2012四川卷)已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx2与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距(1)用a和n表示f(n)；(2)求对所有n都有成立的a的最小值；(3)当0a1时，比较与的大小，并说明理由【2011高考真题精选】1.(2011年高考浙江卷理科5)设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是（A）14 （B）16 （C）17 （D）19【答案】 B【解析】作出可行域，为整数，所以，故选.2.(2011年高考浙江卷理科7)若为实数，则“”是的（A）充

11、分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】则因为所以 即于是所以成立，充分条件； 反之成立，即则故，不必要条件。故选A3.(2011年高考安徽卷理科4)设变量满足则的最大值和最小值分别为（），（）， （）， （），【答案】B【解析】不等式对应的区域如图所示，当目标函数过点（0，1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以的最大值和最小值分别为2，2.故选B.4. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为 A. B. C. D.【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.5. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集

12、为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.6. (2011年高考湖南卷理科7)设在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出可行域，或分别解方程组，得到三个区域端点，当且仅当直线过点时，取到最大值,解得。故选A7. (2011年高考广东卷理科5)已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(，1)则的最大值为（ ）A. B. C.4 D.3【答案】C【解析】C.由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,，所以就是求的最大值，表示数

13、形结合观察得当点M在点B的地方时，才最大。,所以.8(2011年高考湖北卷理科8)已知向量，且，若满足不等式，则z的取值范围为A.2,2B. 2,3C. 3,2D. 3,39(2011年高考湖北卷理科9)若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由，即，故，则，化简得，即ab=0，故且，则且，故选C.10.(2011年高考浙江卷理科16)设为实数，若则的最大值是 .。【答案】【解析】， ，故的最大值为11(2011年高考天津卷理科13)已知集合，则集合=_12. (2011年高考湖南卷理科10)

14、设，且，则的最小值为 .13. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是_.【答案】【解析】。由题得 所以不等式的解集为。14.(2011年高考安徽卷江苏8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_【答案】4【解析】设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.15(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。（1）过点作L的切线教y轴于点B证明：对线段AB上任一点Q（p

15、，q）有（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b0,a0过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F。线段EF上异于两端点的点集记为X证明：M（a,b） X;（3）设D= （x,y）|yx-1,y（x+1）2-当点（p,q）取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为） 故必有再由等价式1），综上，16. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）()已知函数，求函数的最大值；()设均为正数，证明：（1）若，则；（2）若，则【解析】即，综合，（2）得证.【2010高考真题精选】 1.（2010浙江理数）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（A） （

16、B） （C）1 （D）2【答案】C【解析】将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题2.（2010全国卷2理数）不等式的解集为（A） （B）（C） （D）【答案】C【解析】利用数轴穿根法解得-2x1或x3，故选C。3.（2010江西理数）不等式 高考资源*网的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A。或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。4.（2010重庆理数）已知x0，y0,x+2y+2xy=8，

17、则x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B【解析】考察均值不等式，整理得 即，又，5.（2010重庆理数）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为A.2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值66.（2010四川理数）设，则的最小值是A）2 （B）4 （C） （D）5【答案】B来源:学科网【解析】 0224当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b,c满足条件.7.（2010四川理数）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费

18、工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱8.（2010福建理数）设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )A

19、 B4 C D2【答案】B【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。9.（2010辽宁理数）已知且，则的取值范围是_（答案用区间表示）【答案】（3，8）【解析】画出不等式组表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=23-31=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=21+32=8.10.（2010安徽理数）设满足约束条件，若目标函数的最大值为

20、8，则的最小值为_。【答案】4来源:学#科#网Z#X#X#K【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，易见目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立。所以的最小值为4.11.（2010湖北理数）已知，式中变量，满足约束条件，则的最大值为_.12.（2010湖北理数）设a0,b0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。13.（

21、2010江苏卷）设实数x,y满足38，49，则的最大值是 。【答案】27【解析】 考查不等式的基本性质，等价转化思想。，的最大值是27。14.（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知(I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长【解析】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0C所以sinC=.（）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由cos2C=2cos2C-1=，J及0C得cosC=由余弦定理c2=a2

22、+b2-2abcosC，得b2b-12=0解得 b=或2所以 b= b= c=4 或 c=415.（2010辽宁理数）在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且（）求A的大小；（）求的最大值.17.（2010江西理数）（本小题满分12高考资源*网分）已知函数。(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；(2) 当时，求m的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）当m=0时， ，由已知，得从而得：的值域为（2）化简得：当，得：，代入上式，m=-

23、2.18.（2010四川理数）（）证明两角和的余弦公式； 由推导两角和的正弦公式.（）已知ABC的面积，且，求cosC.【答案】解：(1)如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角、与，使角的始边为Ox，交O于点P1，终边交O于P2；角的始边为OP2，终边交O于P3；角的始边为OP1，终边交O于P4. 19.（2010天津理数）已知函数（）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（）若，求的值。20.（2010福建理数）轮某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶

24、。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。21.（2010江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以

25、提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？22.（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）已知ABC的三边长都是有理数。求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。（方法一）（1）证明：设三边长分别为，是有理数，【2009高考真题精选】 1（2009天津理6）设若的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 【答案】C【解析】因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选择C2.（2009山东12）设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax

26、+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为( ). A. B. C. D. 4【答案】Ax 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.3. (宁夏海南文理6)设满足则（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】画出不等式表示的平

27、面区域，如右图，由zxy，得yxz，令z0，画出yx的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z2，无最大值，故选.B。4(福建9)在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.5(山东5)在R上定义运算: ,则满足0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.【2008年高考真题精

28、选】 1（2008山东理）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D),92（2008广东理）若变量满足则的最大值是（ ）A90 B80 C70 D40【答案】C【解析】画出可行域（如图），在点取最大值3（2008山东理）若不等式3x-b4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为 .【答案】（5，7）【解析】本题考查绝对值不等式，解得4（2008广东理）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 【答案】【解析】方程即,左边 在数轴上表示点到原点和的距离的和，易见（等号成立），而右边的最大

29、值是，所以方程有解当且仅当两边都等于，可得实数的取值范围为 5（2008江苏）的最小值为 。【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。6(2008山东理14)设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是_.【答案】【解析】画图确定可行域，从而确定到直线直线距离的最大为【最新模拟】1(2013漳州联考)若0xy1，则下列不等式正确的是()A3y3x Blogx3logy3Clog4xlog4y D.xy当x时，函数g(x)1取得最小值，所以4m2，即(3m21)(4m23)0，解得m或m，故实数m的取值范围为.3(2013浙江重点中学联考)定义maxa，b设实数x，y满足约束条件zmax4xy,3xy，则z的取值范围是()A7,10 B6,8C6,10 D7,8【答案】A【解析】本题主要考查函数的定义和线性规划基本运算属于基础知识、基本运算的考查zmax4xy,3xy所以由得z4xy7,10；由得z3xy(7,8，则z的取值范围是7,104(2013浙江重点中学联考)设a，bp，cxy，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是_5（2013郑州一中模拟）已知不等式(xy)9对任