北京大学经济学院2 极大似然估计.docx

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1、第二章第二章极大似然估计（极大似然估计（MLE）第第 0 节节基础知识回顾：基础知识回顾：OLS一例子一例子假设一个基金的投资组合(“基金 XXX”)的超额回报和股市指数的超额回报，有如下的数据:直觉上，该基金的beta(beta 测量股票对股市指数的反应)应该是一个正数，我们希望证实这种关系。画这2个变量的散点图：对于一条直线，可以用以下的方程,来拟合数据。y=a+bx不过这个方程(y=a+bx)是完全确定的，与实际情况不符合。要在这个方程里加入一个挠动项。yt=+xt+ut式中 t=1,2,3,4,5用直线来拟合数据最常用的方法是普通最小二乘法(ordinary least squares

2、，OLS)：取每个数据点到拟合直线的垂直距离，选择参数、，使得平方距离512ttu最小化(leastsquares)。挠动项能够反映数据的一些特征:我们经常会忽略一些影响 yt的因素，不可能把影响 yt的所有的的随机因素都在模型中考虑。512ttuLtittttxyyyL22)()(求解两个参数：tttxyL0)(2ttttxyxL0)(2这就是OLS。整理得到：在上例中，把数据代入公式得：根据这个结果，如果预期下一年的市场回报将会比无风险回报高20%，那么你预期基金 XXX 的回报将会是多少?06.312064.174.1iy二概念：线性和非线性二概念：线性和非线性运用 OLS,要求模型对参

3、数(和)是线性的。“对参数线性”意味着参数之间不能乘、除、平方或n次方等。在实际中变量之间的关系很有可能不是线性的。某些非线性的模型可以通过变换转化为线性模型，例如指数回归模型：tttuttuXYeXeYtlnln令 yt=ln Yt及 xt=ln Xttttuxy但是，很多模型从本质上讲是非线性的，例如：tttuxy三三OLS的优良性质的优良性质在OLS回归模型中，对ut(不可观测的误差项作如下假设)作如下架设:解释1.E(ut)=0误差项的均值为零2.Var(ut)=2误差项的方差是常数3.Cov(ui,uj)=0误差项相互独立的4.Cov(ut,xt)=0误差项和解释变量不相关以上假设成立时，OLS有如下三个良好性质。一致性最小二乘估计是一致的。这意味着，当样本数趋向于无穷大时，估计值将收敛于它们的真实值（需要假设 E(xtut)=0 和Var(ut)=2L(r)，检验统计量为：2L(u)-L(r)2m利用显著性检验法和置信区间法可以对原假设进行检验。标准差检验（Wald 检验）需要计算无限制极大似然估计。似然比检验既要计算有限制极大似然估计量，又要计算无限制极大似然估计量。