2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法应用案巩固提升新人教B版选修2_2.doc

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1、2.2.2 反证法 A基础达标1用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A有两个内角是钝角B有三个内角是钝角C至少有两个内角是钝角D没有一个内角是钝角解析：选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线解析：选C.假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线故应选C.3否定结论“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个偶数Da、

2、b、c都是奇数或至少有两个偶数解析：选D.自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数剔出结论即为反设4设x0，则方程x2sin x的根的情况是()A有实根B无实根C恰有一实根 D无法确定解析：选B.x0时，x2，而2sin x2，但此二式中“”不可能同时取得，所以x2sin x无实根5设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于2 B都小于2C至少有一个不小于2 D都大于2解析：选C.若a，b，c都小于2，则abc6，而abcxyz6，显然，矛盾，所以C正确6在ABC中，若ABAC，P是ABC内的一点，APBA

3、PC，求证：BAPCAP，用反证法证明时的假设为_解析：反证法对结论的否定是全面否定，BAPCAP的对立面是BAPCAP或BAPCAP.答案：BAPCAP或BAPCAP7用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，AB90不成立所以一个三角形中不能有两个直角假设A、B、C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的排列为_解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的答案：8已知x，yR，且xy2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为_解析：“至少

4、有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x1且y1)答案：x，y均不大于1”(或x1且y1)9若下列方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围解：设三个方程均无实数根，则有解得即a1，所以当a1或a时，三个方程至少有一个方程有实根10证明：对于直线l：ykx1.不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A、B关于直线yax(a为常数)对称证明：假设存在实数k，使得A、B关于直线yax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：ykx1与直线yax垂直；(2)点A、B在直线l

5、：ykx1上；(3)直线AB的中点在直线yax上，所以由得(3k2)x22kx20. 由得a(x1x2)k(x1x2)2, 由知x1x2，代入整理得ak3.这与矛盾所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线yax对称B能力提升11设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)解析：若a，b，则ab1，但a1，b1，故不能推出若ab1，则ab2，故不能推出若a2，b1，则a2b22，故不能推出对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中

6、至少有一个大于1.答案：12若a、b、c、d都是有理数，、 都是无理数，且ab，则a与b，c与d之间的数量关系为_，_解析：假设ab，令abm(m是不等于零的有理数)，于是bmb，所以m，两边平方整理得.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此ab，从而cd.答案：abcd13已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点若f(c)0，且0xc时f(x)0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明：c.证明：(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，所以f(x)0有两个不等实根x1，x2.因为f(c)0，所以x1c是f(x)0的一个根，又因为x1x2

7、.所以x2，所以是f(x)0的另一个根，即是函数f(x)的一个零点(2)由第一问知c，故假设c，易知0，由题知当0xc时，f(x)0，所以f0与f0矛盾，所以c.14(选做题)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解：(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，由得，(1q)Sna1a1qn，所以Sn，综上所述，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，因为a10，所以2qkqk1qk1.因为q0，所以q22q10，所以q1，这与已知矛盾所以假设不成立，故数列an1不是等比数列5