高中数学第2章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定教材梳理素材新人教A版必修2.doc

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1、2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定疱丁巧解牛知识巧学一、线面垂直1.定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l. 简言之：线面垂直,则线线垂直.2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 简言之：线线垂直，则线面垂直.但要注意需有两条相交. 判定线面垂直的方法主要有三种:定义;判定定理;与平行关系联合运用,即若ab,且a,则b.转化思想是解决立体几何问题最常用的数学思想,本节充分体现了线面关系与线线关系的相互转化,应掌握其转化的条件.二、点到平面的距离 从平面外一点向平面所引垂线段的长叫

2、做点到平面的距离. 求点到面的距离的方法有:在几何体中构造垂直利用垂直关系解;利用线面平行;利用面面平行.三、二面角1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角一般表示为-AB-或P-AB-Q的形式(P、Q分别在、内且不在棱上).2.二面角的平面角：在二面角-l-的棱l上任取一点O，以O为垂足在半平面、内分别作垂直于棱l的射线OA、OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.二面角的大小就用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.方法点拨 (1)平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部

3、分通常称为半平面;(2)用二面角的平面角将空间图形转化为平面图形，在某个三角形中可以求解;(3)平面角的大小与棱上所取点的位置无关;(4)二面角的取值范围是0，180.四、平面与平面垂直 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号语言：l，l. 判断两个平面垂直的方法:(1)定义法:作出二面角的平面角,计算其为90;(2)定理:平面内的一条直线垂直于另外一个平面. 简言之:线面垂直,则面面垂直.问题探究问题1 在平面内，垂直于同一直线的两条直线的关系怎样？在空间呢？探究:在平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，理由是同位角相等.而在空间，包含着平面内的这种情况，即平行，观察

4、长方体的在互相垂直的棱与棱之间的关系，可知还有相交，也有既不相交也不平行的情形.问题2 门轴AB与地面垂直，经过门轴AB的门面无论转动到什么位置，门面与地面的位置关系怎样？为什么？探究:垂直的.因为门轴AB与地面垂直，则根据平面与平面垂直判定定理知经过门轴AB的所有平面都与地面垂直，所以门面与地面垂直.典题热题例1 如图2-3-1，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N.求证：AN平面PBM.图2-3-1思路解析：要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线都垂直.已知ANPM，只需再证AN和平面PBM内的另一条直线，如BM或PB垂直即可.再结合已知中

5、线面垂直，可找线线垂直. 证明：设圆O所在平面为，则已知PA，且BM，PABM.又AB为O的直径，点M为圆周上一点，AMBM.由于直线PAAM=A，BM平面PAM. 而AN平面PAM，BMAN. 这样，AN与PM、BM两条相交直线垂直. 故AN平面PBM.深化升华 直线垂直于平面，则必垂直于平面内的任意一条直线.要证直线垂直于平面，必须证明直线垂直于平面内的两条相交直线.例2 如图2-3-2，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD.图2-3-2思路解析：本题关键是构造三角形,证明A1OOM. 证明：连结MO.DBA1A，DBAC，A1A

6、AC=A，DB平面A1ACC1. 而A1O平面A1ACC1，A1ODB.tanAA1O=，tanMOC=，AA1O=MOC. 则A1OA+MOC=90.A1OOM.OMDB=O，A1O平面MBD.方法归纳 在证明A1O与平面MBD中两条相交直线垂直时，先证得线面垂直，由定义得线线垂直;另一垂直由证两线成90角完成，有时可用勾股定理的逆定理.例3 设棱锥MABCD的底面是正方形，且MA=MD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.思路解析：本题需要先证明线线垂直，得到球的半径的表达式，然后再解.解：如图2-3-3,ABAD，ABMA，图2-3-3AB平面MAD. 因

7、此，面MAD面AC. 记E是AD的中点， 从而MEAD.ME平面AC，MEEF. 设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球. 不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心. 设球O的半径为r，则r=. 设AD=EF=a，SAMD=1,ME=,MF=.r=, 当且仅当a=，即a=时，等号成立.当AD=ME=时，满足条件的球的最大半径为.深化升华 先利用线面垂直关系证明线线、线面垂直，再利用多面体和球体的体积公式求解.例4 已知由点O出发的三条射线OA、OB、OC不共面，且AOB=AOC，求证：二面角AOBC与二面角AOCB相等.思路解析：关键在于作出两个二面角的平面角.如何在棱OB、OC

8、上取点?由于AOB=AOC，因此需找有共性的点才可以.考虑到OB、OC确定一个平面，OA在这个平面外，在OA上任取一点P，过P向平面BOC作垂线，利用线面垂直则线线垂直的道理作辅助线.解：如图2-3-4，在OA上任取一点P，过P作PH平面BOC，垂足为H，在平面BOC内过H作HMOB，HNOC，垂足为M、N，连结PM、PN.图2-3-4PH平面BOC，OB平面BOC，PHOB. 又HMOB，PHHM=H，OB平面PHM.PM平面PHM，OBPM.PMH为二面角A-OB-C的平面角. 同理,可证OCPN，PNH为二面角A-OC-B的平面角. 因此,在RtPOM和RtPON中，POM=PON，PO

9、为公共斜边，RtPOMRtPON.PM=PN. 在RtPHM和RtPHN中，PM=PN，PH为公共边，RtPHMRtPHN.PMH=PNH. 故二面角A-OB-C与二面角A-OC-B大小相等.方法归纳 求二面角需要的步骤：一作(图)，二证(角是二面角的平面角)，三计算(在三角形中求解).例5如图2-3-5，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点.求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.图2-3-5思路解析：(1)要证DE=DA，只需证明RtDFERtDBA；(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在

10、平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可；(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线. 证明:(1)如图2-3-6，取EC的中点F，连结DF.图2-3-6ECBC，DFBC，DFEC. 在RtEFD和RtDBA中，EF=BD，FD=BC=AB，RtEFDRtDBA.故ED=DA.(2)取CA的中点N，连结MN、BN， 则MN.MNBD.N点在平面BDM内.EC平面ABC，ECBN. 又CABN，BN平面ECA.BN在平面MNBD内，平面MNBD平面ECA,即平面BDM平面ECA.(3)BD，MN，MNBD为平行四边形.DMBN.又BN平面ECA，DM平面ECA.又DM平

11、面DEA，平面DEA平面ECA.深化升华 本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN平面ECA是关键.例6 求证:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面. 已知:，=l， 求证:l.思路解析一：根据直线和平面垂直的判定定理，可在内构造两相交直线分别与平面、垂直. 证法一:如图2-3-7，设=a，=b，在内任取一点P,过点P在内作直线ma，nb.图2-3-7，m，n. 又=l，lm，ln.l.思路解析二：由面面垂直的性质易在、内作出平面的垂线，再设法证明l与其平行即可. 证法二:如图2-3-8，设=a，=b，图2-3-8 在内作ma，在内作nb.，m，n.mn. 又n，m，m. 又=l，m，ml.又m，l.方法归纳 充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键.证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及平行关系与垂直关系之间的转化.此题是线线、线面、面面垂直转化的典型题，一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路很有益处.6