2021版高考数学一轮复习第八章数列8.5.1等差与等比数列的综合问题练习理北师大版20200513025.doc

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1、8.5.1 等差与等比数列的综合问题核心考点精准研析考点一基本量的运算1.等差数列的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.82.已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则 ()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d03.(2019江苏高考)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是_.4.设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,若a2,a5,a11成等比数列,且a11=2(Sm-Sn)(mn0,m,nN*),则

2、m+n=_.【解析】1.选A.设等差数列的公差为d,由a2,a3,a6成等比数列可得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),整理可得d2+2d=0,又公差不为0,则d=-2,故an前6项的和为S6=6a1+d=61+(-2)=-24.2.选B.因为数列an是等差数列,a3,a4,a8成等比数列,所以=,解得a1=-d,所以S4=2=2=-d,所以a1d=-d20,dS4=-d2n0,m,nN*,所以m=5,n=4,所以m+n=9.答案:9已知等比数列an的各项都为正数,且a3,a5,a4成等差数列,则的值是()A.B.C.D.【解析】选A.设等比数列an的公比为q,由a3,a5,

3、a4成等差数列,可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去),=.等差数列、等比数列基本量的运算方法(1)等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差、等比数列的综合应用【典例】设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式.(

4、2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|成立的n的最小值.【解题导思】序号题目拆解(1)Sn=2an-a1将Sn=2an-a1利用an=Sn-Sn-1转化为an与an-1的关系,由Sn=2an-a1,将a2、a3用a1表示a1,a2+1,a3成等差数列根据关系列方程,得a1(2)记数列的前n项和为Tn由(1)写出的表达式,表示出Tn求使得|Tn-1|成立的n的最小值由|Tn-1|解关于n的不等式【解析】(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).所以公比q=2.从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1

5、,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列故,an=2n.(2)由(1)得=.所以Tn=+=1-.由|Tn-1|,得1 000.因为29=5121 0001 024=210,所以n10.于是,使|Tn-1|0,bn的公比为q,则an=1+(n-1)d,bn=qn-1.依题意有解得或(舍去).故an=n,bn=2n-1.(2)由(1)知Sn=1+2+n=n(n+1),所以=2,所以+=2=2=.已知公比不为1的等比数列an的首项a1=,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列

6、.(1)求等比数列an的通项公式.(2)对nN*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0.因为q1,所以q=,所以等比数列an的通项公式为an=.(2)由题意得bn=3n=,Tn=.考点三求数列的通项公式命题精解读1.考什么:数列的通项公式2.怎么考:(1)由an与Sn的关系求通项an(2)由递推公式求通项an(3)构造新数列求

7、an3.新趋势:以数列为载体,与函数或不等式等综合考查学霸好方法1.求数列的通项公式an(1)形如an+1=an+f(n)的数列,常用累加法(2)形如an+1=anf(n)的数列,常可采用累乘法(3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b0,1)的数列,常用构造法2.交汇问题与函数或不等式等交汇时,经常先构造出新的等差或等比数列求解,然后再求an由an与Sn的关系求通项an【典例】(2018全国卷改编)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则an=_.【解析】因为Sn=2an+1,当n2时,Sn-1=2an-1+1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an

8、-1.当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.所以数列an是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,所以an=-12n-1=-2n-1.答案:-2n-1Sn与an关系问题的求解思路如何?提示:根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.利用an=Sn-Sn-1(n2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为只含an,an-1的关系式由递推公式求数列通项【典例】1.设数列an满足a1=3,an+1=an+,则通项公式an=_.【解析】原递推公式可化为an+1=an+-,则a2=a1+-,a3=a2+-,a4=a3+-,an-1=an-2+-,an=a

9、n-1+-,以上(n-1)个式子的等号两端分别相加得,an=a1+1-,故an=4-.答案:4-2.在数列an中,a1=1,an=an-1(n2),则数列an的通项公式为_.【解析】因为an=an-1(n2),所以an-1=an-2,an-2=an-3,a2=a1.以上(n-1)个式子相乘得an=a1=.当n=1时,a1=1,上式也成立.所以an=(nN*).答案:an=(nN*)(1)形如an+1=an+f(n)的数列,选择何种方法求通项公式?提示:累加法(2)形如an+1=anf(n)的数列,选择何种方法求通项公式?提示:累乘法【误区警示】利用累乘法求通项公式时,易出现两个方面的问题:一是

10、在连乘的式子中只写到,漏掉a1而导致错误;二是根据连乘求出an之后,不注意检验a1是否成立.构造等差、等比数列求通项an【典例】1.已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2,则数列an的通项公式为_.【解析】因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以=3,所以数列an+1为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,所以an+1=23n-1,所以an=23n-1-1(nN*).答案:an=23n-1-1(nN*)2.已知数列an满足:an+2=3an+1-2an,a1=2,a2=4,nN*.求证:数列an+1-an为等比数列,并求数列an的通项公式.【解析】因为=2,所以

11、数列an+1-an是公比为2,首项为2的等比数列,所以an+1-an=2n,累加可知:an-a1=2+22+2n-1=2n-2(n2),an=2n(n2),当n=1时,a1=2满足上式,所以an=2n(nN*).1.数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),则a6=()A.344B.344+1C.45D.45+1【解析】选A.a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=341,a4=3S3=48=342,a5=3S4=192=343,a6=3S5=768=344.【一题多解】选A.当n1时,an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,所以an+2-an+1=3Sn+1-

12、3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列,又a2=3S1=3a1=3,所以an=所以当n=6时,a6=346-2=344.2.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=()A.2n-1B.C.D.【解析】选B.由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,所以Sn=.3.设数列an满足a1=1,且an+1=an+n+1(nN*),则数列an的通项公式为_.【解析】由题意得a2=a1+2,a3=a2+3,an=an-1+n(n2),以上各式相加,得an=a1+2+3+n.又因

13、为a1=1,所以an=1+2+3+n=(n2),因为当n=1时也满足上式,所以an=(nN*).答案:an=4.设数列an满足a1=1,an+1=2nan,则通项公式an=_.【解析】由an+1=2nan,得=2n-1(n2),所以an=a1=2n-12n-221=21+2+3+(n-1)=.又a1=1适合上式,故an=.答案:1.在数列an中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x-y+1=0上,求数列an的通项公式.【解析】因为点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x-y+1=0上,所以4an-an+1+1=0,即an+1=4an+1,得an+1+=4,所以是首项为a

14、1+=,公比为4的等比数列,所以an+=4n-1,故an=4n-1-.【变式备选】在数列an中,a1=1,数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列.(1)求a2,a3.(2)求数列的前n项和Sn.【解析】(1)因为数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列,所以an+1-3an=93n-1=3n+1,所以a2-3a1=9,a3-3a2=27,所以a2=12,a3=63.(2)因为an+1-3an=3n+1,所以-=1,所以数列是首项为,公差为1的等差数列,所以数列的前n项和Sn=+=.2.设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n

15、N*.(1)证明:an+2=3an.(2)求S2n.【解析】(1)由条件,对任意nN*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,则对任意nN*,n2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n2,又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1.故对一切nN*,an+2=3an.(2)由(1)知,an0,所以=3.于是数列a2n-1是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列a2n是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=23n-1.于是S2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)= .- 10 -