2015_2016学年高中数学第三章导数应用综合测试北师大版选修2_2.doc

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1、【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 导数应用综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列函数存在极值的是()Ay2xByCy3x1 Dyx2答案D解析画出图像即可知yx2存在极值f(0)0.2曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案A解析y，ky|x12，切线方程为y12(x1)，即y2x1.3已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)当x0时，f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 Bf(x

2、)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0时，f(x)是增函数，g(x)是增函数，x0，g(x)0.4对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a7Ca21 Da0或a21答案A解析f(x)3x22ax7A当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数不存在极值点5如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下列结论正确的是()A在区间(3,1)内f(x)是增函数B在区间(1,2)内f(x)是减函数C在区间(4,5)内f(x)是增函数D当x2时，f(x)取极小值答案C解析由题中图象可知，当x(4,5)时，f(x)0，f(x

3、)在(4,5)内为增函数6若函数yf(x)是定义在R上的可导函数，则f(x0)0是x0为函数yf(x)的极值点的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析如yx3，y3x2，y|x00，但x0不是函数yx3的极值点7设函数f(x)lnx，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点答案D解析本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题f(x)(1)0可得x2.当0x2时，f(x)2时f(x)0，f(x)单调递增所以x2为极小值点对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域8(2014武汉实验中学高二

4、期末)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如下图所示，则导函数yf (x)的图象可能是()答案A解析f(x)在(，0)上为增函数，在(0，)上变化规律是减增减，因此f (x)的图象在(，0)上，f (x)0，在(0，)上f (x)的符号变化规律是负正负，故选A9函数f(x)sinx2xf()，f(x)为f(x)的导函数，令a，blog32，则下列关系正确的是()Af(a)f(b) Bf(a)f(b)Cf(a)f(b) Df(|a|)f(b)答案A解析f(x)cosx2f( )，f()cos2f()，即f().f(x)sinxx.又f(x)cosx10，故f(x)在R上递减又f(log

5、32)，即f(a)f(b)10.(2015新课标，12)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)答案A解析记函数g(x)，则g(x)，因为当x0时，xf(x)f(x)0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)单调递减；又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)单调递减，且g(1)g(1)0.当0x0，则f(x)0；当x1时，g(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)

6、(0,1)，故选A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11(2014湖北重点中学高二期中联考)已知函数f(x)ax3ax22ax2a1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是_答案(，)解析f (x)ax2ax2aa(x1)(x2)，由f(x)的图象经过四个象限知，若a0，则此时无解；若a0，则a，综上知，a.12函数yxex的最小值为_答案解析y(x1)ex0，x1.当x1时，y1时y0yminf(1)13若函数f(x)(a0)在1，上的最大值为，则a的值为_答案1解析f(x).当x时f(x)0，f(x)在(，)上是递减的，当x0，f(x)在(，)上是递增的当x时，f()，1，

7、不合题意f(x)maxf(1)，解得a1.14一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)设每年每台的库存费为C1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床_台，一年中库存费和生产准备费之和最小答案解析设每批生产x台，则一年生产批一年中库存费和生产准备费之和yC1x(0xN)yC1.由y0及0xN，解得x(台)根据问题的实际意义，y的最小值是存在的，且y0有唯一解故x台是使费用最小的每批生产台数15.(2014泉州实验中学期中)已知函数f(x)x33x，若过点A(1，m)(m

8、2)可作曲线yf(x)的三条切线，则实数m的取值范围为_答案(3，2)解析f (x)3x23，设切点为P(x0，y0)，则切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，切线经过点A(1，m)，m(x3x0)(3x3)(1x0)，m2x3x3，m6x6x0，当0x01时，此函数单调递增，当x01时，此函数单调递减，当x00时，m3，当x01时，m2，当3m0.因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，所以应有2a4，解得6a3.17.求证：x0时，12x0时，e2x1，f(x)2(1e2x)0时，f(x)0时，12xe2x0，即12x0，f(x)在(0，)递增令g(x)ax22(a1)

9、xa4(a1)24a28a42当a0时，0，此时g(x)0的两根x1，x2a0，x10，x20，x(0，)，f(x)0故f(x)在(0，)递增3当a0，即a0，x20令f(x)0，x(x1，x2)，f(x)0，x(0，x1)(x2，)f(x)在(x1，x2)递增，在(0，x1)和(x2，)上递减综上所述：当a0时，f(x)在(0，)递增当a0时，f(x)在(x1，x2)递增，在(0，x1)和(x2，)递减(其中x1，x2)当a时，f(x)在(0，)递减19已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长分析如图，设出AD的长，进而求出|AB

10、|表示出面积S，然后利用导数求最值解析设矩形边长为AD2x，则|AB|y4x2，则矩形面积S2x(4x2)(0x2)，即S8x2x3，S86x2，令S0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x2时，S0，当x时，S取得最大值，此时，S最大，y.即矩形的边长分别为、时，矩形的面积最大点评本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长20(2014重庆文，19)已知函数f(x)lnx，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，由导数的几何意义，且切线与yx垂直得f(1)a12

11、，a.(2)由(1)知f(x)lnx，f(x).令f(x)0解得x1或5，1不在定义域之内故舍去当x(0,5)，f(x)0，f(x)在(5，)递增f(x)的增区间为(5，)，减区间为(0,5)f(x)在x5时取极小值f(5)ln5ln5.21.设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f (x)x10，求k的最大值分析(1)先确定函数的定义域，然后求导函数f (x)，因不确定a的正负，故应讨论，结合a的正负分别得出在每一种情况下f (x)的正负，从而确立单调区间；(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转

12、化为求g(x)的最值问题解析(1)f(x)的定义域为(，)，f (x)exA若a0，则f (x)0，所以f(x)在(，)单调递增若a0，则当x(，lna)时，f (x)0，所以f(x)在(，lna)单调递减，在(lna，)单调递增综上，a0时f(x)增区间(，)a0时f(x)增区间(lna，)，减区间(，lna)(2)由于a1，所以(xk)f (x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f (x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)存在唯一的零点故g(x)在(0，)存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2.点评本题考查导数的应用及参数的取值范围的求法利用导数求参数的取值范围时，经常需将参数分离出来，转化为恒成立问题，最终转化为求函数的最值问题，求得参数的取值范围10