【名师导学】2015年春高中数学 第一章 集合（含解析）苏教版必修1.doc

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1、第1课时集合的含义及其表示(1) 教学过程一、 问题情境(1) 小于10的所有偶数;(2) 中国的直辖市;(3) 单词book中的字母;(4) 到一个角的两边距离相等的所有的点;(5) 方程x2-5x+6=0的所有实数根;(6) 不等式x-30的所有解;(7) 某高中全体高一学生.二、 数学建构问题1以上实例有什么共同特征?(引导学生说出:一定范围内,确定的,不同对象.然后通过学生回答,总结出集合的含义)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合常用大写的拉丁字母来表示,如集合A、集合B.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.集合的元素常用小写的拉丁字母来表示,如元素a、元

2、素b.问题2回答下列问题:(1) 已知A=1, 3,问:3, 5哪个是A的元素?(2) “所有素质好的人”能否构成一个集合A?(3) A=2, 2, 4表示是否准确?(4) A=太平洋,大西洋,B=大西洋,太平洋是否表示同一个集合?由上述问题可以归纳出集合中元素的特征: 确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则“x是A的元素”或者“x不是A的元素”这两种情况必有一种且只有一种成立. 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不能重复出现同一元素. 无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照由小到大的数轴顺序书

3、写.问题3元素与集合之间有怎样的关系?解如果a是集合A中的元素,就记作aA,读作“a属于A”;如果a不是集合A中的元素,就记作aA或aA,读作“a不属于A”.问题4常用的数集有哪些?它们分别用什么数学符号表示?解自然数集(非负整数集):N,正整数集:N*或N+,整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.问题5集合的表示方法有哪些?(1) 列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于“”中,元素之间用逗号分隔.列举时与元素次序无关,如北京,上海,天津,重庆.集合的相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等,如北京,上海,天津,重庆=天津,重庆,北京,上海.思考“问题情境”中的集合都能

4、用列举法表示吗?如果能,请表示出来.(2) 描述法:将集合中所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成x|p(x)的形式.x|p(x)中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质,如x|x为中国的直辖市,x|x-30, xR.(3) Venn图:有时用Venn图示意集合(如图1),更显直观.(图1)问题6按照元素的个数,集合该怎样分类?(1) 有限集:含有有限个元素的集合称为有限集.(2) 无限集:含有无限个元素的集合称为无限集.(3) 空集:不含任何元素的集合称为空集,记作,如x|x2+x+1=0, xR=.三、 数学运用【例1】下列各组对象能否构成集合:(1) 所有的好人;(2)

5、 小于2012的数;(3) 和2012非常接近的数;(4) 小于5的自然数;(5) 不等式2x+17的整数解;(6) 方程x2+1=0的实数解.(见学生用书课堂本P12)处理建议引导学生根据定义判断.规范板书解(1)(3)不符合集合中元素的确定性,因此,只有(2)(4)(5)(6)能够构成集合.题后反思解决这类题目要抓住集合中元素的两个特征:确定性,互异性.【例2】用符号“”或“”填空:-Q, -5x|x10, 0N.(见学生用书课堂本P2)处理建议关键要纠正学生符号的书写规范.规范板书解-Q, -5x|x10, 0N.题后反思规范书写“属于”、“不属于”的符号表示,要准确记住常用数集的记法.

6、【例3】如果x20, 1, x,求实数x的值.(见学生用书课堂本P2)处理建议由x20, 1, x知,元素x2必等于集合中的某一元素,从而引导学生进行分类讨论.规范板书解 当x2=0时,则x=0,此时与集合中元素的互异性矛盾,不合题意,舍去. 当x2=1时,则x=1或-1.经检验,x=1时与集合中元素的互异性矛盾,不合题意,舍去;x=-1时,经检验,符合题意. 当x2=x时,则x=0或1.由可知,均不合题意,舍去.综上所述,x=-1.题后反思解决此类题目需要:(1)思路的确定;(2)解题的规范性;(3)含参数要讨论;(4)结论要检验(元素的互异性、已知条件都要满足).变式1如果y=+,则y可能

7、的取值组成的集合为3, -1.变式2已知a, b, c为ABC的三边,若M=a, b, c,则此三角形一定不是等腰三角形.四、 课堂练习1. (口答)说出下列集合中的元素:(1) 大于1且小于11的奇数;(2) 平方等于1的数;(3) 15的正约数.解(1) 3, 5, 7, 9;(2) -1, 1;(3) 1, 3, 5, 15.2. 给定下列叙述:难解的题目;方程x2+2=0的实数解;平面直角坐标系中第四象限内的一些点;很多多项式.其中能组成集合的是.(填序号)提示解决这类题目要从集合中元素的特征“确定性、互异性”出发.显然,不符合集合中元素的确定性这一特征.3. 用符号“”或“”填空:(

8、1) 1N*, 0N*, -2N*, 0.1N, N,1Z, 0Z, -2Z, 0.1Z, Z,1Q, 0Q, -2Q, 0.1Q, Q, 1R, 0R, -2R, 0.1R, R;(2) 若A=y|y2-2y=0,则2A, -2A;(3) 若B=x|-1x4, xN,则-1B, 1.5B, 4B.4. 若xR,则3, x, x2-2x中的元素x应满足什么条件?解根据集合中元素的互异性可知,该集合中的元素x应满足解得五、 课堂小结1. 集合的含义,集合中元素的特征.2. 元素与集合的两种关系.3. 集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn图.4. 有限集、无限集、空集;常用数集.第2课时集

9、合的含义及其表示(2) 教学过程一、 数学运用【例1】(1) 用描述法表示集合1, 3, 5, 7, 9;(2) 用列举法表示集合x|1x5的解集;(4) 用列举法表示方程组的解的集合.(见学生用书课堂本P3)处理建议关键要规范学生用描述法和列举法表示集合.规范板书解(1) x|x=2n+1, 0n4且nN;(2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;(3) x|x4, xR;(4) (2, -1).题后反思(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来.(2)描述法:把集合中的所有元素具有的性质表示成x|p(x)的形式.【例2】已知M=2, a, b, N=2a, 2, b2,且M=N,求实数

10、a, b的值.(见学生用书课堂本P4)处理建议引导学生从集合相等及集合中元素的互异性两方面考虑.规范板书解由M=N得或解得或题后反思两个集合所含的元素完全相同,则这两个集合才相等,此时的情况要考虑全面,不要漏解.此外,还要注意集合中元素的互异性.变式若某含有三个元素的集合可表示为,也可表示为a2, a+b, 0,求a和b的值.规范板书解易知a0,又a1,故aa2,从而a=a+b,于是b=0.从而由a2=1且a1得a=-1.【例3】已知M=,求集合M.(见学生用书课堂本P4)处理建议抓住代表元素的限制条件进行分析.规范板书解 xN, Z, 1+x=1或1+x=2或1+x=3或1+x=6, x=0

11、, 1, 2, 5. M=0, 1, 2, 5.变式已知M=,求集合M.规范板书解 xN, Z, 1+x=1或1+x=2或1+x=3或1+x=6, =6, 3, 2, 1. M=6, 3, 2, 1.题后反思审题时要注意与例3的不同,主要抓住代表元素的区别.二、 课堂练习1. 请你就有限集、无限集、空集各举一个例子.解略.2. 用列举法表示下列集合:(1) x|x是14的正约数;(2) (x, y)|x1, 2, y1, 2;(3) (x, y)|x+y=2, x-2y=4;(4) x|x=(-1)n, nN;(5) (x, y)|3x+2y=16, xN, yN.解(1) 1, 2, 7,

12、14;(2) (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2);(3) ;(4) -1, 1;(5) (0, 8), (2, 5), (4, 2).3. 用描述法表示下列集合:(1) 偶数的集合;(2) 正奇数的集合;(3) 不等式-x20的解集;(4) 平面直角坐标系中第四象限的点组成的集合;(5) .解(1) x|x=2n, nZ或x|x为偶数;(2) x|x=2n+1, nN或x|x为正奇数;(3) x|-x20;(4) (x, y)|x0, y0, xR;(3) S=x|x为地球人,A=x|x为中国人,B=x|x为外国人.(见学生用书课堂本P5)处理建议利用数形结合思想,通

13、过Venn图或数轴辅助,帮助学生观察得出结论.规范板书解在(1)(2)(3)中都有AS, BS.问题3观察上述A, B, S三个集合,它们之间还存在着怎样的关系?(A和B中的所有元素共同构成了集合S,且S中除去A中元素即为B中元素;反之亦然)问题4请同学们举出类似的例子.(如A=班上男同学,B=班上女同学,S=全班同学.通过举例分析,让学生观察并概括出补集、全集的概念)补集:设AS,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,(图2)记作SA(读作“A在S中的补集”),即SA=x|xS,且xA.(参见图2)全集:如果集合S包含我们所要研究的各个集合的全部元素,这时集合S就可以看做一

14、个全集,全集通常记作U.变式(1) 若S=2, 3, 4, A=4, 3,则SA=;(2) 若S=三角形,B=锐角三角形,则SB=;(3) 若S=1, 2, 4, 8,A=,则SA=;(4) 若U=1, 3, a2+2a+1,A=1, 3,UA=4,则a=;(5) 已知A=0, 2, 4,UA=-1, 1,UB=-1, 0, 2,则B=;(6) 设全集U=2, 3, m2+2m-3, A=|m+1|, 2,UA=5,求实数m的值.规范板书解(1) 2;(2) 直角三角形或钝角三角形;(3) 1, 2, 4, 8;(4) -3;(5) 1, 4;(6) 由题意得m2+2m-3=5且|m+1|=3

15、,解得m=-4或m=2.题后反思第(1)题主要是比较集合A与S的区别;第(2)题要注意三角形的分类;第(3)题要注意空集定义的运用;第(4)题利用集合中元素的特征;第(5)题利用Venn图;第(6)题注意补集定义的运用.【例3】(1) 若不等式组的解集为A,试求A和RA,并把它们分别在数轴上表示出来;(2) 设全集U=R, A=x|x1, B=x|x+a0,若B是UA的真子集,求实数a的取值范围.(见学生用书课堂本P6)处理建议利用数轴表示不等式确定的数集的运算.规范板书解(1) A=, RA=,数轴表示略.(2) 由题意可得B=x|x-a, UA=x|x1. B是UA的真子集(如图), -a

16、1,即a-1.(例3(2)题后反思利用数轴或Venn图辅助解题,能很好地解决集合之间的运算.变式设全集U=R,若A=x|3m-1x2m, B=x|-1x3, BUA,求实数m的取值范围.处理建议利用数轴引导学生进行分类讨论.规范板书解 若A=,则3m-12m,即m1.此时UA=R,满足题意. 若A,则m1,此时UA=x|x2m或x3m-1.(i) 当-12m时,即m-,满足m1;(ii) 当3m-13时,即m,与前提m0, C=x|0x3; A=x|x为高一(1)班语文测验优秀者,B=x|x为高一(1)班英语测验优秀者,C=x|x为高一(1)班语文、英语测验都优秀者.二、 数学建构(一) 生成

17、概念问题1上述每组集合中,A, B, C之间都具有怎样的关系?(结合Venn图,引导学生说出:集合C中的每一个元素既在集合A中,又在集合B中)问题2对于而言,若D=-2, -1, 1, 2, 3,则A, B, D之间具有怎样的关系?(结合Venn图,引导学生说出:集合D中的每一个元素在集合A中或在集合B中)问题3如何用文字语言、符号语言、图形语言分别表示上述3个集合的关系?(学生归纳,教师引导,补充完整交集、并集的概念)1. 交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的交集,记作AB(读作“A交B”).符号语言为:AB=x|xA,且xB.图形语言为:2. 并集:一般

18、地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的并集,记作AB(读作“A并B”).符号语言为:AB=x|xA,或xB.图形语言为:3. 区间的表示法:设a, b是两个实数,且ab,我们规定:a, b=x|axb;(a, b)=x|axb;a, b)=x|axb;(a, b=x|aa;(-, b)=x|xb;(-, +)=R.其中a, b, (a, b)分别叫做闭区间、开区间;a, b), (a, b叫做半开半闭区间;a, b叫做相应区间的端点.(二) 理解概念1. 区间表示数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合,是集合的另一种符号语言.2. 区间符号内的两个字母或数之间

19、用“,”号隔开.3. 读作“无穷大”,它是一个符号,不是一个数.问题4AB=A可能成立吗?AB=A可能成立吗?AUA是什么集合?(一般性结论:AB=A AB; AB=B AB; AUA=U)(三) 巩固概念口答(教材P12例1)设A=-1, 0, 1, B=0, 1, 2, 3,求AB和AB.解AB=-1, 0, 10, 1, 2, 3=0, 1; AB=-1, 0, 10, 1, 2, 3=-1, 0, 1, 2, 3.问题5集合AB与集合AB有什么关系?能得出一般结论吗?(一般性结论:ABAB)三、 数学运用【例1】设A=x|x-1, B=x|x0,求AB和AB.(见学生用书课堂本P7)处

20、理建议利用数轴辅助解决.规范板书解AB=x|x-1x|x0=x|-1x0=-1, 0), AB=x|x-1x|x6或x-3,B=x|ax6或x-3,B=x|axa+3,若AB=A,求实数a的取值范围.处理建议此题的突破点在于找出AB=A的等价条件.规范板书解 AB=A, BA, a+3-3或a6, a-6或a6.题后反思注意等价转化:AB=A BA; AB=B BA.(目的是让学生学会利用集合的运算性质,将复杂问题简单化,以及体会等价转化思想)四、 课堂练习1. 用适当的符号(、 )填空:ABA, BAB, ABA, ABB, ABAB.2. 设A=3, 5, 6, 8,B=4, 5, 7,

21、8,求AB, AB.解AB=3, 5, 6, 84, 5, 7, 8=5, 8, AB=3, 5, 6, 84, 5, 7, 8=3, 4, 5, 6, 7, 8.3. 设A=x|x5,B=x|x0,求AB.解AB=x|x5x|x0=x|0x-2,B=x|x3,求AB.解在数轴上将A, B分别表示出来,阴影部分即为AB,故AB=x|x-2.(第4题)五、 课堂小结1. 集合的交集、并集的运算方法及性质的应用.2. 区间的概念.第5课时本章复习 教学过程一、 知识梳理1. 集合的含义、表示方法及分类(1) 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.(2) 集合常用的表示方法:列举法、描

22、述法、Venn图、区间.(3) 集合按元素的个数分为两类:有限集、无限集.2. 集合表示方法之间的转化列举法具体化文字描述法属性描述法符号表示法直观化图示法说明:高中数学解题的关键也是“四化”.3. 集合的基本运算(1) 子集:AB定义为“对任意xA,都有xB”,图示表现为“A在B中包含着”.真子集:AB意味着AB且AB.(2) 集合运算比较:运算类型交集并集补集定义由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的交集,记作AB(读作“A交B”),即AB=x|xA,且xB.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的并集,记作AB(读作“A并B”),AB=x|xA,或x

23、B.设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S的子集A的补集(或余集),记作SA(读作“A在S中的补集”),即SA=x|xS,且xAVenn图性质 AA=A; A=; AB=BA; ABA; ABB. AA=A; A=A; AB=BA; ABA; ABB. (UA)(UB)=U(AB); (UA)(UB)=U(AB); A(UA)=U; A(UA)=.提醒:要特别关注集合问题中空集、元素的互异性及代表元素这三个概念,以防出错.二、 数学运用(一) 集合的有关概念【例1】已知P=y|y=x2+1, Q=x|y=x2+1, M=(x, y)|y=x2+1, N=x

24、|x1,则相等的集合有哪些?(见学生用书课堂本P9)处理建议注意区别代表元素是点集,还是数集.规范板书解 P=1, +), Q=R, N=1, +), P=N.题后反思(1)注意区别集合中的代表元素,“代表元素”实质上是认识和区别集合的核心.代表元素不同,有时即使是同一个表达式,它们所表示的集合也不同,例如:A=x|y=x2=R, B=y|y=x2=0, +), C=(x, y)|y=x2.(2)关键是抓住集合是数集,还是点集.数集是个范围,与用什么字母表示没有关系(例如,虽然E=x|x-3, F=y|y-3,但仍然有E=F),所以用区间来写更容易理解.变式1对于“例1”,PQ=?规范板书解

25、P=1, +), Q=R, PQ=1, +).变式2已知M=x|x=a2+1, aR, P=y|y=b2-6b+10, bR,问:集合M与集合P之间是什么关系?处理建议转化为区间来表示.规范板书解 M=x|x1=1, +), P=y|y=(b-1)2+1=y|y1=1, +), M=P.(二) 子集及集合运算【例2】(1) 已知A=1, 4, a, B=1, a2,且BA,求A和B;(2) 已知xR, A=-3, x2, x+1, B=x-3, 2x-1, x2+1.如果AB=-3,求AB.(见学生用书课堂本P10)规范板书解(1) 当a2=4时,则a=2或-2,此时A=1, 2, 4或1,

26、-2, 4, B=1, 4,经检验符合题意;当a2=a时,则a=1或0.当a=1时,不合题意;当a=0时,A=0, 1, 4, B=0, 1,符合题意.综上所述,A=1, 2, 4或1, -2, 4时,B=1, 4; A=0, 1, 4时,B=0, 1.(2) 由AB=-3,得x-3=-3或2x-1=-3或x2+1=-3,解得x=0或-1.当x=0时,A=-3, 0, 1, B=-3, -1, 1, AB=-3, 1,不合题意;当x=-1时,A=-3, 1, 0, B=-4, -3, 2,AB=-3,符合题意.综上所述,x=-1.题后反思(1)注意分类讨论;(2)注意检验是否满足集合中元素的互

27、异性.变式已知集合A=a+2, (a+1)2, a2+3a+3,若1A,求实数a的值.处理建议分情况讨论,同时需要注意集合A中元素的互异性.规范板书解 当a+2=1时,a=-1,此时a2+3a+3=1=a+2,故a=-1舍去. 当(a+1)2=1时,a=0或a=-2.当a=-2时,a2+3a+3=1=(a+1)2,故a=-2舍去;当a=0时,a+2=2, a2+3a+3=3,故a=0符合题意. 当a2+3a+3=1时,a=-1或a=-2,由知它们应舍去.综上所述,a=0.(三) 性质“AB=AAB”的应用【例3】已知A=x|ax-1=0, B=x|x2-5x+6=0.若AB=A,求实数a的值,

28、并确定集合A.(见学生用书课堂本P10)处理建议关键要对a进行分析,分a=0和a0两种情况.规范板书解 AB=A, AB.而B=2, 3,(1) 当a=0时,A=B,符合题意;(2) 当a0时,则ax-1=0只有一个实根,而A=x|ax-1=02, 3, A=2或3.当A=2时,求得a=,经检验符合题意;当A=3时,求得a=,经检验符合题意.综上所述,a=0时,A=; a=时,A=2; a=时,A=3.题后反思注意空集的特殊性,空集是任意集合的子集,因此本题需要考虑A=B这一情形.变式已知集合A=x|-2x5, B=x|xm+1,且x2m-1.若AB=A,求实数m的取值范围.处理建议AB=AB

29、A,分析时不要漏掉B=这一情况.规范板书解 AB=A, BA.(1) 若B=,则m+12m-1,即m2.(2) 若B,则解得2m3.综上所述,实数m的取值范围是(-, 3.(四) 集合的综合应用【例4】已知A=x|x2+(m+2)x+1=0, B=正实数,且AB=,试求实数m的取值范围.(见学生用书课堂本P10)处理建议注意分A=和A两类情形.规范板书解因为B=正实数,AB=.所以(1)若A=,则方程x2+(m+2)x+1=0无实数解,所以=(m+2)2-4=m2+4m0,解得-4m0,所以方程有两个负根,所以解得m0.综上所述,实数m的取值范围是m-4.题后反思注意考虑空集的特殊情形及分类讨

30、论思想的应用.变式已知集合P=x|x2-3x+20, S=x|x2-2ax+a0,且SP,求实数a的取值组成的集合A.规范板书解P=x|x2-3x+20=x|1x2.设f(x)=x2-2ax+a,(1) 当=(-2a)2-4a0时,即0a0时,要满足SP,即等价于方程x2-2ax+a=0的两根位于1和2之间,即即即即a无解.综合(1)(2)(3),可得0a1.所以A=a|0a1.三、 补充练习1. 若A=1, 4, x, B=1, x2,且AB=B,则x=0, 2或-2.2. 已知集合A=x|x2-ax+a2-19=0, B=x|x2-5x+6=0, C=x|x2+2x-8=0,且AB, AC=,则实数a的值为-2.提示B=2, 3, C=2, -4,由AB, AC=知3A,所以9-3a+a2-19=0,解得a=-2或a=5,经检验a=5不符合题意.3. 已知A=x|-2x5, B=x|m+1x2m-1,且BA,则实数m的取值范围为m3.提示分B=与B两种情况讨论.四、 课堂小结1. 集合的含义、表示方法及分类.2. 集合之间的(真)包含关系:子集、真子集.3. 集合之间的运算:交集、并集、补集.- 14 -