2019_2020学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法本讲达标测试新人教A版选修4_5.doc

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1、第二讲 证明不等式的基本方法(本卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1.设a(m21)(n24)，b(mn2)2，则A.ab B.a1成立的正整数a的最大值为A.10 B.11 C.12 D.13解析用分析法可证a12时不等式成立，a13时不等式不成立.答案C3.若a0，b0，则p(ab)，qabba的大小关系是A.pqB.pqC.pq D.p0，b0，且ab4，则有A. B.2C.1 D.答案C5.设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析由题意知x2y28，可得x2

2、y24，但(2)2024，而22且02，故应是充分不必要条件，故选A.答案A6.设a，bR，且ab，P，Qab，则A.PQ B.PQC.PQ D.PQ解析PQ(ab).a，b都是正实数，且ab，0，PQ.答案A7.设a，b，cR，且a，b，c不全相等，则不等式a3b3c33abc成立的一个充要条件是A.a，b，c全为正数B.a，b，c全为非负实数C.abc0D.abc0解析a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abacbc)(abc)(ab)2(bc)2(ac)2，而a，b，c不全相等(ab)2(bc)2(ac)20.故a3b3c33abc0abc0.答案C8.若q0，且q1，m，nN*

3、，则1qmn与qmqn的大小关系是A.1qmnqmqn B.1qmn1及0q0”是“P、Q、R同时大于0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析必要性显然成立；当PQR0时，若P、Q、R不同时大于0，则其中两个为负，一个为正，不妨设P0，Q0，R0，则QR2c0矛盾，即充分性也成立.答案C10.设a、b是正实数，以下不等式a|ab|ba2b24ab3b2ab2恒成立的序号为A. B.C. D.解析，即，故不正确，排除A、B；ab22，即正确.答案D11.若a、bR，则下列不等式不一定成立的是A.ab2 B.(ab)4C.ab D.答案D12.若实数m，n

4、，x，y满足m2n2a，x2y2b(ab)，则mxny的最大值为A. B.C. D.答案B二、填空题(每小题5分，共20分)13.若a、b是正实数，当nN且n2时，anbn与an1babn1的大小关系是_.答案anbnan1babn114.请补全用分析法证明不等式“acbd”时的推论过程：要证明acbd_，只要证(acbd)2(a2b2)(c2d2)，即要证：a2c22abcdb2d2a2c2a2d2b2c2b2d2，即要证a2d2b2c22abcd，_.答案当acbd0时，命题成立；当acbd0时(adbc)20，a2d2b2c22abcd，命题成立15.设x0，y0，A，B，则A，B的大小

5、关系是_.解析AB，AB.答案AB16.设0mnab，函数yf(x)在R上是减函数，下列四个数f，f，f，f的大小顺序是_.解析1fff.答案ffff三、解答题(共70分)17.(10分)设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM.试比较ab1与ab的大小.解析(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1，所以Mx|0x1.(2)由(1)和a，bM可知0a1，0b1.所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0，故ab1ab.18.(12分)(1)已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明a，b，c中至少有一个不小于1.(2)用分析法证明：若a0，则 2a.证明(1)假设a

6、，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc0，所以两边均大于零，因此只需证：.只需证： ，只需证：a2即证：a22，它显然成立，所以原不等式成立.19.(12分)设a，b，c为三角形的三边，求证：3.证明设xbca，yacb，zabc，则有abcxyz，a(yz)，b(xz)，c(xy).此时，原不等式等价于3.而3.所以原不等式成立.20.(12分)已知x，yR，且|x|1，|y|1，求证：.证明因为|x|1，|y|0，0.所以.故要证明结论成立，只需证成立，即证1xy成立即可，因为(yx)20，有2xyx2y2，所以(1xy)2(1x2)(1y2)，所以1xy0，所以不等式成立.21

7、.(12分)已知函数f(x)x3x2，xR.(1)若正数m，n满足mn1，求证f(m)，f(n)至少有一个不小于零；(2)若a，b为不相等的正数，且满足f(a)f(b)，求证ab1.证明(1)假设f(m)，f(n)都小于零，即f(m)m3m20，f(n)n3n20，m2(m1)0，n2(n1)0，0m1，0n1.0mn1矛盾.故f(m)，f(n)至少有一个不小于零.(2)f(a)a3a2b3b2，a3b3a2b2，(ab)(a2abb2)(ab)(ab).又a，b为不相等的正数，ab0，a2abb2ab，(ab)2abab，(ab)2(ab)ab0，(ab)2(ab)0，解得ab1.a，b为不

8、相等的正数，ab1.22.(12分)(2019全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解析(1)因为(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立.所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明因为(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立.所以(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.7