高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法数学归纳法的合理性素材新人教A版选修2_2.doc
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数学归纳法的合理性数学归纳法的原理,通常被规定作为自然数公理(参见皮亚诺公理)。但是在另一些公理的基础上,它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质(最小自然数原理)公理可以推出:自然数集是良序的。(每个非空的正整数集合都有一个最小的元素)比如1, 2, 3 , 4, 5这个正整数集合中有最小的数1.下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法:对于一个已经完成上述两步证明的数学命题,我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。对于那些不成立的数所构成的集合S,其中必定有一个最小的元素k。(1是不属于集合S的,所以k1)k已经是集合S中的最小元素了,所以k-1是不属于S,这意味着k-1对于命题而言是成立的既然对于k-1成立,那么也对k也应该成立,这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说,两者是等价的。1
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