高中数学第二章函数第4节二次函数性质的再研究第1课时基础知识素材北师大版必修1.doc

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1、4.1 二次函数的图像1掌握二次函数解析式的三种形式，会利用待定系数法求解析式2掌握二次函数的图像变换1定义(1)形如y_(a0)的函数叫作二次函数，其中a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项解析式yax2bxc(a0)称为二次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式：顶点式：ya(xh)2k(a0)；零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)(2)说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式【做一做11】 二次函数f(x)的图像与x轴交于(2,0)，(4,0)两点，且顶点为，求函数f(x)的解析式【

2、做一做12】 二次函数f(x)的图像经过点A(1,0)，B(2,3)，且对称轴为x3，求函数f(x)的解析式2图像变换(1)首先将二次函数的解析式整理成顶点式ya(xh)2k(a0)，再由二次函数yx2的图像经过下列的变换得到：将函数yx2的图像各点的纵坐标变为原来的_倍，横坐标不变，得到函数yax2的图像函数yf(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的a(a0)倍，横坐标不变，得到函数yaf(x)的图像将函数yax2的图像向左(h0)或向右(h0)平移|h|个单位得到_的图像将函数yf(x)的图像向左平移a(a0)个单位得函数yf(xa)的图像将函数yf(x)的图像向右平移a(a0)个单位得函数

3、yf(xa)的图像简称为“左加()右减()”将函数ya(xh)2的图像向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位得到_的图像将函数yf(x)的图像向上平移b(b0)个单位得函数yf(x)b的图像；将函数yf(x)的图像向下平移b(b0)个单位得函数yf(x)b的图像简称为“上加()下减()”(2)一般地，二次函数ya(xh)2k(a0)，_决定了二次函数图像的开口大小和方向；_决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；_决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”【做一做2】 将函数y4x22x1写成ya(xh)2k的形式，并说明它的图像是由y4x2的图像经过怎样的

4、变换得到的？答案：1(1)ax2bxc【做一做11】 解：设函数解析式为f(x)a(x2)(x4)，又函数图像过顶点，a(12)(14)，解得a.函数解析式为f(x)(x2)(x4)，即f(x)x2x4.【做一做12】 解：设所求函数解析式为f(x)ax2bxc(a0)，由已知得解得所求解析式为f(x)x26x5.2(1)aya(xh)2ya(xh)2k(2)ahk【做一做2】 解：y4142.要得到y42的图像需将y4x2先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度怎样快速画二次函数图像的草图？剖析：下面举例说明例如画出函数y3x26x9的草图函数的解析式化为顶点式y3(x1)212.可得顶点

5、坐标(1，12)；与x轴的交点是点(1,0)和点(3,0)；对称轴是直线x1；抛物线的开口向上画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，12)，(1,0)，(3,0)，画出直线x1；(2)连线：用光滑曲线连接点(1，12)，(1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x1对称，即得函数y3x26x9的草图，如图所示由此可见，画抛物线时，重点体现抛物线的特征：“三点一线一开口”“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向根据这些特征在坐标系中可快速画出抛物线的草图题型一

6、求二次函数的解析式【例1】 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的解析式反思：求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之(1)一般式：yax2bxc(a，b，c为常数，a0)已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解(2)顶点式：ya(xh)2k(a，h，k为常数，a0)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式(3)两根式：ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2是常数，a0)当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函

7、数解析式为两根式题型二 图像变换【例2】 函数f(x)x2的图像经过怎样的变换，得到函数g(x)4x22x1的图像？分析：将函数g(x)4x22x1的解析式化为顶点式反思：所有二次函数的图像均可以由函数f(x)x2的图像经过变换得到变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤题型三 图像的应用【例3】 已知二次函数y2x24x6.(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积(3)x为何值时，y0，y0，y0?分析：(1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描

8、点可画出图像；(2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y0、x0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积；(3)观察图像可得到图像在x轴上方(即y0)时x的取值范围，y0与y0时亦可得反思：根据配方法得到函数的性质，作图时，注意关键点的选取，如与x轴、y轴的交点，顶点和开口方向，对称轴及增减性等，使画图的操作更方便，图像更准确答案：【例1】 解法1：利用二次函数一般式设f(x)ax2bxc(a0)，由题意得解得所求二次函数解析式为f(x)4x24x7.解法2：利用二次函数的两根式由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数

9、有最大值8，8.解得a4，或a0(舍)所求函数解析式为f(x)4x24x7.解法3：利用二次函数的顶点式设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x，即m.又f(x)的最大值为8，n8.f(x)a28.f(2)1，a281，解得a4.f(x)4284x24x7.【例2】 解：g(x)4x22x142.变换的步骤是：(1)将函数f(x)x2的图像各点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变，得到函数f(x)4x2的图像；(2)将函数f(x)4x2的图像向右平移个单位，得到函数f(x)42的图像；(3)将函数f(x)42的图像向下平移个单位，得到f(x)42的图像，即得到函数g(x)4

10、x22x1的图像【例3】 解：(1)配方，得y2(x1)28.a20，函数图像开口向上，对称轴是直线x1，顶点坐标是(1，8)列表：x10123y06860描点并画图，得函数y2x24x6的图像，如图所示(2)由图像得，函数图像与x轴的交点坐标为A(1,0)、B(3,0)，与y轴的交点坐标为C(0，6)SABC|AB|OC|4612.(3)由函数图像知，当x1或x3时，y0；当x1或x3时，y0；当1x3时，y0.1 下列关于二次函数yx2x1图像的开口方向和顶点的说法，正确的是( )A开口向下，顶点(1,1)B开口向上，顶点(1,1)C开口向下，顶点D开口向上，顶点2 将函数yx2的图像向右

11、平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为( )Ay(x2)21 By(x2)21Cy(x2)21 Dy(x2)213 一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图像大致是( )4函数y4x2的图像各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，所得图像的函数解析式为_5已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f(x)的解析式答案：1D2.C3C选项A，yaxb中，a0而yax2bxc的图像开口向下，矛盾；选项B，yaxb中，a0，b0，从而yax2bxc的图像的对称轴x0，矛盾；选项D，yaxb中，a0，b0，但yax2bxc的图像开口向上，矛盾4yx25分析：设出二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数f(x)的解析式解：设f(x)a(x1)2k，由题意得f(1)13，f(2)28，则有解得a3，k1，即f(x)3(x1)21.6