高中数学第4章圆与方程4.3空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式教材梳理素材新人教A版必修2.doc

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1、4.3.2 空间两点间的距离公式疱丁巧解牛知识巧学 空间两点间距离公式(1)空间两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的距离公式：|P1P2|=.(2)特别地，点P(x，y，z)到原点O的距离公式为|OP|=.方法点拨 公式的推导：（1）推导空间两点间距离公式时，采取从特殊到一般的方法，即先研究空间任意一点P（x，y，z）与原点O（0，0，0）之间距离公式，然后再推广到任意两点间的距离.(2)同平面内两点间距离公式的推导类似，我们先找到P1、P2在平面xOy内的射影点，P1MP2N，在梯形P1MNP2中便可计算P1P2的长.因为M、N同在平面xOy内，故MN的长可利用平面内两点

2、间距离公式.问题探究问题1 由平面坐标系xOy中的P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点间的距离公式猜想在空间直角坐标系Oxyz中的点P(x1,y1,z1)、Q(x2,y2,z2)两点间的距离公式.此时，若z1=z2=0，其距离公式又怎样？探究:平面坐标系xOy中，|PQ|=，空间直角坐标系Oxyz中，|PQ|=. 若z1=z2=0，则仍有|PQ|=.此时P、Q两点都落在xOy平面上.问题2 已知长方体的三条棱AB、AC、AD的端点坐标分别为A(1，2，1)、B(1，5，1)、C(1，2，7)、D(3，2，1)，你能求出此长方体的体积吗？探究:根据长方体的体积公式，只需要求出长方体的长宽高相乘

3、即可.于是我们可以选由A点出发的三条棱AB、AC、AD，根据题意，利用空间两点的距离公式求出三棱长分别为|AB|=3,|AC|=6,|AD|=2.于是其体积为V=632=36.典题热题例1 已知三角形三顶点A(1，-2，-3)，B(-1，-1，-1)，C(0，0，-5)，试证明它是直角三角形.思路解析：要证明三角形为直角三角形，可以利用勾股定理进行证明，则需由空间两点间的距离公式求得各边长度.解：AB=，BC=，AC=，AB2+AC2=9+9=18=BC2.ABC是直角三角形.深化升华 证明三角形为直角三角形，可以通过角来证明，也可以通过边长满足勾股定理来证明，当已知三个顶点坐标时，一般由空间

4、两点间的距离公式求得三边长，说明三边满足勾股定理.例2 设A(3，3，1)，B(1,0，5)，C(0,1，0).(1)求AB边上的中线长；(2)求点A到此三角形重心G的距离.思路解析：根据题意，先由中点公式和三角形的重心坐标公式求出相应点的坐标，然后利用空间两点间的距离公式求解.解：(1)设线段AB的中点为D(x1,y1,z1)，则由线段的中点坐标公式可得x1=2,y1=,z1=3,即D(2,3).所以AB边上的中线长为|CD|=d(C,D)=.(2)利用ABC的重心坐标公式求得重心G的坐标为(,2)，所以d(A,G)=.深化升华 空间两点的距离公式是空间问题平面化的具体体现，是在空间直角坐标

5、系中研究几何问题的一个重要实例，同时要注意方程的思想在公式中的应用.例3 在棱长分别为2、4、3的长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DA=2，DC=4，DD1=3，利用空间两点间距离公式，求对角线AD1、AB1和AC1的长.思路解析：由长方体的特性，我们可以选取从一个顶点出发的三条边所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，得出各个相关点的坐标，从而利用空间两点间距离公式求解.解：由题意，以D为坐标原点，DA、DC和DD1所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系.由DA=2，DC=4，DD1=3，易得D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3). 所以AD1=，AB1=，|AC1|=.深化升华 建立空间直角坐标系的方式有多种，如选正方体任一个顶点为坐标原点，过此顶点的三条棱所在直线分别为x轴、y轴和z轴.而各顶点的坐标表达方式不同，但是任两个顶点的长度不变，此题选择的坐标系，使其他各顶点落在第象限或坐标轴或坐标平面上，各分量坐标的符号不易出错.2