高中数学第2章点直线平面之间的位置关系2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质教材梳理素材新人教A版必修2.doc

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1、2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质疱丁巧解牛知识巧学一、直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线平行. 符号语言：a,b ab. 直线与平面垂直的性质可以作为线线平行的判定定理.同时有如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上各点到平面的距离相等.二、面面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言：,=l,a,ala. 只要有两个平面垂直，那么向交线作垂线便得线面垂直，进一步更有线与线的垂直.平面与平面垂直的判定与性质相互结合，为证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧. 简言之:面面垂直,则线面垂直.三、线线、线面、

2、面面垂直关系的转化： 运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直. 平面与平面的垂直,一般将直线与直线垂直、直线与平面垂直三者结合在一起.问题探究问题1 在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的.在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？探究:根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面，可推出若干平行杆都和工件表面垂直.问题2 应用两平面垂直的性质证题时，有哪些需要注意的地方？探究:需要注意的地方有三个：(1)两个垂直的平面；(2)两垂

3、直平面的交线；(3)在其中一个平面内作垂直于交线的直线.典题热题例1 如图2-3-12，在ABC中，BAC=60，线段AD平面ABC，AH平面DBC，H为垂足.图2-3-12求证：H不可能是BCD的垂心.思路解析：证明“不可能”无法下手，从反面“可能”考虑，用反证法. 证明：假设H是BCD的垂心，则BHCD.AH平面DBC，DC平面DBC，AHDC.AHBH=H，CD平面ABH. 又AB平面ABH，ABCD.AD平面ABC，AB平面ABC，ADAB. 由于ADCD=D，AB平面ACD.AC平面ACD，ABAC. 这与已知中BAC=60相矛盾.假设不成立.故H不可能是BCD的垂心.误区警示 证明

4、“不可能”“至多”“至少”“没有”“不等”等类型的问题，直接证明不好入手，通常采用反证法.要掌握反证法证题的基本步骤.例2 如图2-3-13，在四面体ABCD中，若ABCD，ADBC，求证:ACBD.图2-3-13思路解析：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义(或性质)得出线线垂直. 证明：过A作AO平面BCD，垂足为O， 则AOCD.ABCD，AOAB=A，CD平面ABO.BO平面ABO，CDBO. 同理,BCDO. 则O为BCD的垂心，COBD.AOBD，COAO=O，BD平面ACO. 又AC平面ACO，ACBD.深化升华 从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)

5、题中的作用.例3 如图2-3-14,空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，PBA=45，PBC=60，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB平面PMC.图2-3-14思路解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 证明：PAPB，APB=90. 在RtAPB中，ABP=45，设PA=a， 则PB=a，AB=.PBPC，在RtPBC中，PBC=60，PB=a,BC=2a，PC=.APPC,在RtAPC中，AC=2a.(1)PCPA，PCPB，PC平面PAB.BC在平面PAB上的射影是BP,CBP是CB与平面PAB所成的角.PBC=60，BC

6、与平面PBA所成的角为60.(2)由上知，PA=PB=a，AC=BC=2a,M为AB的中点，则ABPM，ABCM.AB平面PCM.深化升华 本题关键要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.例4 如图2-3-15，已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA平面ABC；(2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形.图2-3-15思路解析：已知条件“平面PAB平面ABC，”，使我们想到面面垂直的性质定理，便有如下解法. 证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DFAC于F. 平面PAC平面ABC，且交线为AC，DF平面PA

7、C.PA平面PAC，DFAP. 作DGAB于G.同理，可证DGAP.DG、DF都在平面ABC内，PA平面ABC.(2)连结BE并延长交PC于H.E是PBC的垂心，PCBE. 又已知AE是平面PBC的垂线，PCAB.PC面ABE.PCAB. 又PA平面ABC，PAAB.AB平面PAC.ABAC， 即ABC是直角三角形.方法归纳 (1)已知两个平面垂直时，通常利用面面垂直的性质定理，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面.于是面面垂直转化为线面垂直.由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.(2)的关键是要灵活利用(1)题的结论.例5 已

8、知平面平面=直线a，、同垂直于平面，又同平行于直线b，如图2-3-16，求证：(1)a；(2)b.思路解析：由求证想判定，欲证线面垂直可转证线线垂直或面面垂直.由已知想性质，面面垂直必能得到线面垂直. 证明：(1)设=AB，=AC，在内作直线PMAB，PNAC.图2-3-16，PM. 而a，PMa. 同理，PNa.又PM,PN,a.(2)在直线a上任取一点Q，过b与Q作一个平面交于直线a1，交于直线a2.b,ba1. 同理,ba2.又a1、a2都过点Q且平行于b,a1与a2重合.又a1,a2,a1与a2重合且是、的交线，重合于a.ba1，ba.a，b.深化升华 证明线面垂直不仅可利用线面垂直的

9、判定定理，也可利用面面垂直的性质定理.例6 等边ABC的边长为a，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的距离为d.(1)x为何值时，d2取得最小值?最小值是多少？(2)若BAC=，求cos的最小值.思路解析：要注意作出正确的图形，构造恰当的函数模型.解：(1)图2-3-17(1)为折叠前的对照图，图2-3-17(2)为折叠后的空间图形. (1) (2)图2-3-17平面APQ平面PBCQ，ARPQ，AR平面PBCQ.ARRB.BR2=BD2+RD2=()2+()2,AR2=x2. 故d2=BR2+AR2=().当x=时.d2取得最小值.(2)AB=AC=d,BC=a，在等腰ABC中，由余弦定理得cos=, 即cos=.当d2=时，cos取得最小值.方法归纳 (1)一般地,求最值问题首先要得到目标函数(求谁的最值，即推谁为目标函数，如本题中的d2和cos)，然后再借助于函数求最值的方法(如配方法、平均值法、判别式法、三角法、反函数法及构造法等).(2)求角度问题、求距离问题是立体几何中的两大类计算题，它从数量关系上刻画空间图形位置关系.立体几何中涉及到的距离有七种：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平面内两平行线间的距离、两条异面直线间的距离(不作研究，了解即可)、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离.5