湖北省襄阳五中、钟祥一中、夷陵中学三校2014届高三数学五月联考试题 理（含解析）新人教A版.doc

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1、2014届高三襄阳五中、钟祥一中、夷陵中学五月联考数学试卷（理科）【试卷综析】本试卷是高三高考模拟试卷，但是考查了高中的的全部内容。以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查。知识考查注重基础、注重常规、不过多涉及综合性较强的问题、注重主干知识，兼顾覆盖面。试题重点考查：平面向量及三角函数，统计与概率，立体几何中的垂直关系、直线与平面所成的角、点到平面的距离，解析几何中的双曲线及其性质，运用导数处理函数的性质及最值等。本试景卷考查了分类讨论、数形结合、函数与方程的思想方法，具有很好的区分度，是份非常好的高考训练

2、试卷一、 选择题（每题5分，共50分）1 复数在复平面内对应的点与原点的距离为A1 B C D2 【知识点】复数的四则运算法则、复数的几何意义及两点间的距离【答案解析】B 解析： 对应点为，它与原点的距离为，故选：B【思路点拨】利用复数的四则运算法则化简复数，由复数的几何意义可知其对应的点的坐标，再利用两点间的距离公式求得距离2当时，则下列大小关系正确的是 A B C D 【知识点】指数函数、对数函数及幂函数的图象及性质【答案解析】C 解析：，所以，故选：C【思路点拨】这三个数既有指数式、又有对数式，还有幂的形式，利用中间变量0与1进行比较3已知，表示两个相交的平面，直线l在平面内且不是平面，

3、的交线，则“是“”的A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充要条件、两个平面垂直的判断与性质、直线与平面垂直的判断与性质【答案解析】A 解析：由两平面垂直的判定定理，得；若，当直线l不与交线垂直时， 与不垂直，故选：A【思路点拨】若，则是“”的充分条件；若，则是“”的必要条件；若，则是“”的充要条件4某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：考试次数x1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为A B C D【知识点】回归分析、线性相关、回归中心【答案解析】D 解析：由于随关的增大，却减小，所以

4、与j 负相关，所以，排除A；由于，所以回归中心为，将其代入其它三个选项，得直线通过回归中心为故选：D【思路点拨】排除法，利用正相关，负相关，及回归直线一定过回归中心5若一个底面是等腰直角三角形（C为直角顶点）的三棱柱的正视图如图所示，则该三棱柱的体积等于A B1 C D【知识点】三视图、多面体的体积【答案解析】B 解析：由正视图及已知，可得这个三棱柱的高为1，底面等腰直角三角形的斜边是2，所以两条直角边是，从而三棱柱的体积为，故选：B【思路点拨】由已知与三视图画出几何体，再用 6实数x，y满足，则的最小值为3，则实数b的值为 A B C D【知识点】一元二次不等式所表示的平面区域，线性规划【答

5、案解析】 解析：画出图形可知，当直线过与直线的交点时，的值最小，所以，故选：【思路点拨】先画出不等式组所表示的区域，观察可知，当直线过与直线的交点时，的值最小，列式可求出的值7如图，在矩形内：记曲线与直线围成的区域为（图中阴影部分）随机往矩形内投一点，则点落在区域内的概率是( )A B. C. D【知识点】几何概型、定积分【答案解析】 解析：区域的面积为 ，所以则点落在区域内的概率是故选：【思路点拨】由于基本事件是无数多个，所以本题是几何概型的应用，用阴影部分的面积除以矩形的面积即可，阴影部分的面积可以用定积分求解8如果，那么的值是A1B0C3D1【知识点】二项式定理、整体代入思想【答案解析】

6、解析：取得，令，得，所以故选：【思路点拨】先将所求的式子因式分解，然后分别令，所得结果整体代入既可9点P在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点F1PF2=90,且F1PF2的三条边长之比为3：4：5则双曲线的渐近线方程是A B CD【知识点】双曲线及其性质【答案解析】解析：设，由双曲线定义，得，所以，所以渐近线方程为，故选：【思路点拨】由比例关系可以设设，这样由勾股定理及双曲线定义及性质可以用表示与，即可以求出双曲线的渐近线方程10定义域为a,b的函数y=f(x)图象的两个端点为A、B，向量， M(x,y)是f(x)图象上任意一点，其中. 若不等式|MN|k恒成立， 则称函数f(x)在

7、a,b上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值下列定义在1,2上函数中，线性近似阀值最小的是 （ ）A . C. D. 【知识点】向量知识的运用，考查函数最值求解,函数恒成立问题【答案解析】 解析：由题意，、横坐标相等，不等式对恒成立，最小的正实数应为的最大值对于函数，由、是其图象上横坐标分别为、的两点，则，方程为，即，线性近似阀值为同样对于函数，由，AB方程为，线性近似阀值为同样对于函数，方程为，由三角函数图象与性质可知，线性近似阀值为，同样对于函数，得，直线AB方程为，线性近似阀值为.由于为所以线性近似阀值最小的是,故选：D【思路点拨】由已知，先得出M、N横坐标

8、相等，将问题转化为求函数的最值问题二、填空题（本大题共5-11题，每小题5分，满分25分1 11 4题为必做题，1 5题、16题为选做题）：必做题11执行如图2所示的程序框图，若输出，则输入的值为 .【知识点】程序框图 【答案解析】3 解析,所以输入的值为【思路点拨】当时，执行输出 1210名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能人选的选法有 种【知识点】加法原理与乘法原理、组合 【答案解析】77解析：分为两类：当选的人中没有老队员时，有种选法；当有一名老队员时，有种选法；共有种选法【思路点拨】按照题目要求将选法分为两类：一类是当选的人

9、中没有老队员，另一类是只有一名老队员，然后相加即可，由于选人参加团体比赛与次序无关，所以组合不是排列13已知a, b均为正数且的最大值为 【知识点】重要不等式 【答案解析】 解析由于，所以 ，所以的最大值为 【思路点拨】根椐柯西不等式容易求解14已知等比数列和等差,数列的项由和中的项构成且,在数列的第和第项之间依次插入个中的项,即： 记数列的前项和为，则 ； 【知识点】等差数列、等比数列求和【答案解析】16 1936 解析 ：由已知，得，；数列中从到共有项。当时，共有项，当时，共有项，所以 【思路点拨】先计算出；数列中从到共有多少项，从而估计数列的前项的构成，进而可以用等差数列与等比数列求和公

10、式求解选做题（请在下列2道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）：15（平面几何选讲）如图，ABC中AB=AC，ABC=72，圆0过A，B且与BC切于B点，与AC交于D点，连BD若BC=2，则AC= 【知识点】平面几何证明、余弦定理、三角函数求值 【答案解析】 解析：设设，在中，由余弦定理，得，即，而由得，解得，所以，即【思路点拨】利用余弦定理可以列出关于的一元二次方程，解方程即可 16（参数方程和极坐标）已知曲线C的极坐标方程为=6 sin ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度 【知识点】参数方

11、程与极坐标 【答案解析】 解析：曲线的直角坐标方程为， ，它表示以为圆心，为半径的圆；直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离为，所以直线l被曲线C截得的线段长度为【思路点拨】将极坐标方程与参数方程化为直角坐标方程解决 三、解答题（本大题共6小题，满分75分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）：17（本小题满分12分）在ABC中，已知，求：（1）AB的值；（2）的值 【知识点】向量的四则运算与数量积、两角差的正弦公式、正弦定理【答案解析】（）（）解析：（）因为，所以，即，分所以，故分（）分由正弦定理，得分【思路点拨】（）向量的平方等于向量模的平方，向量（）正弦定理可以将边角进行转化18（本小

12、题满分12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：甲公司某员工A乙公司某员工B3965833234666770144222每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元. （）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为（单位：元

13、），求的分布列和数学期望；（）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【知识点】茎叶图、平均数、众数、频率与概率、随机变量及其分布列【答案解析】（）3633（）的分布列为： 136147154189203（）4860元，4965元 解析：（）甲公司员工A投递快递件数的平均数为，由于数据33出现了3次，而其它数据只出现了1次，所以众数为33.-2分（）设为乙公司员工B投递件数，则当=34时，=136元，当35时，元，的可能取值为136,147,154,189,203 -4分说明：X取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止 的分布列为： 13614715418

14、9203-8分说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分 -10分（）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入=364.530=4860元，乙公司被抽取员工该月收入=165.530=4965元. -12分【思路点拨】（1）平均数就是将件数相除以10，众数就是看据出现次数最多的数据（2）要求分布列首先要求出随机变是的取值，再用频率代替概率，列出分布列（3）由于（）已求出甲公司员工A每天投递快递件数的平均数，用它代替甲公司员工的投递快递件数，再乘以4.530就得出了甲公司被抽取员工该月收入的估计值；用乙公司员工1天劳务费的数学期望乘以30就可以了19(本小题满分

15、12分) 在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（）求证：平面平面； （）求直线与平面所成的角的正弦值；（）求点到平面的距离.【知识点】直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定及性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离【答案解析】（）（）解析：（）依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC。又因为P A平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD -4分方法一：（）由（1）知，又，则是的中点可得,，则设D到平面ACM的距离为，由 即，可求得，设所求角为，则. -分8 ()可求得PC=6, 因为

16、ANNC，由，得PN,所以,故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的.又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（）可知所求距离为 . -12分方法二：（）如图所示，建立空间直角坐标系，zyx则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则.设所求角为，则. -8分 （）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为. -12分【思路点拨】（）要证平面平面，只需要在平面找一条直线垂直平面或在平面找一条直线垂直平面就可以了（）设直线与平面ABM所成的角为，设点平面ABM的距离为，则，而可通过体积法求解。也可以通过空间向

17、量法求解（）可以通过空间向量法求解20(本小题满分12分) 已知数列满足()(1)求的值；(2)求(用含的式子表示)；(3)记数列的前项和为，求(用含的式子表示)【知识点】数列的递推公式及通项公式、等比数列的前项公式、累加法求数列的通项公式、分类讨论的数学思想【答案解析】(1) 3、13、39 (2) (3) 解析：(1) ()， -3分(2)由题知，有-6分 (3) ， 又，当为偶数时，-9分当为奇数时，综上，有-12分【思路点拨】由知，可用累加法求，在求时涉及到了，所以要对时进分类讨论：分为奇数与偶数。21（本小题满分13分） 已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线

18、上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求实数的值； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值； （3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上取异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.【知识点】双曲线的标准方程、双曲线的离心率、直线与双曲线的位置关系、已两点的坐标的斜率公式、平面向量的数量积、一元二次方程的根与系数的关系【答案解析】（1）（2）定值为 （3）点恒在定直线上解析：（1）解：设双曲线的半焦距为，由题意可得 解得 -3分（2）证明：由（1）可知，直线，点设点，因为，所以所以因为点在双曲线上，所以，即所以所以直线与直线的斜率之积是定值-7分（3）证法1：

19、设点，且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，则，即，设，则即整理，得 -9分由，得将，代入，得 将代入，得所以点恒在定直线上-13分证法2：依题意，直线的斜率存在设直线的方程为，由消去得因为直线与双曲线的右支交于不同两点，则有 -9分设点， 由，得整理得1将代入上式得整理得 因为点在直线上，所以 联立消去得所以点恒在定直线上-13分（本题（3）只要求证明点恒在定直线上，无需求出或的范围）【思路点拨】（1）列关于、方程组求解（2）由于Q点在双曲线上，所以纵坐标可以用横坐标表示，点P的横坐标已知，纵坐标设为，由，得可以将用Q点的坐标表示出来，直线与直线的斜率之积用Q点的纵坐标表示，就可以求出定值

20、（3）设点，由于、在双曲线上，可以得到坐标间的关系，化简可得点H恒在定直线上。22(本小题满分14分) 已知函数（）（）求函数的单调区间；（）函数在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；（）若，当时，不等式恒成立，求a的取值范围【知识点】导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值、函数零点的判定定理及分类讨论的数学思想【答案解析】（）当时，函数的单调增区间为；当时，单调增区间为，单调减区间为（）当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数没有零点（）解析：（）由，则当时，对，有，所以函数在区间上单调递增；当时，由，得；由，得

21、，此时函数的单调增区间为，单调减区间为综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为4分（）函数的定义域为，由，得（）5分令（），则，6分由于，可知当，；当时，故函数在上单调递减，在上单调递增，故7分又由（）知当时，对，有，即，（随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大.）当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数没有零点9分（）由（）知当时，故对，先分析法证明：，10分要证，只需证，即证，构造函数，则，故函数在单调递增，所以，则成立12分当时，由（），在单调递增，则在上恒成立；当时，由（），函数在单调递增，在单调递减，故当时，所以，则不满足题意所以满足题意的的取值范围是14分【思路点拨】（1）直接对求导，分情况讨论：与求单调区间（2）对进行化简，构造函数，研究函数的单调性和最小值，即可确定在定义域内是否存在零点；（）求的导数，利用导数研究函数在0，+）的单调性，然后讨论的取值，从而确定的最值，即可确定实数的取值范围- 19 -