2022届高考数学一轮复习核心素养测评第8章8.6利用空间向量证明空间中的位置关系含解析新人教B版.doc

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1、核心素养测评 四十三利用空间向量证明空间中的位置关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为n=(-2,1,1),则()A.l B.l C.l或lD.l与斜交【解析】选C.因为a=(1,0,2),n=(-2,1,1),所以an=0,即an,所以l或l.2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为()A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2【解析】选A.由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),故ac=3m+n+1=0,bc=m+5n

2、-9=0.解得m=-1,n=2.3.已知平面内有一点M(1,-1,2),平面的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面内的是()A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)【解析】选A. 逐一验证法,对于选项A,=(1,4,1),所以n=6-12+6=0,所以n,所以点P在平面内,同理可验证其他三个点不在平面内.4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则: A1MD1P;A1MB1Q;A1M平面DCC1D1;A1M平面D1PQB1.以上说法正确的个数

3、为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.=+=+,=+=+,所以,所以A1MD1P,由线面平行的判定定理可知,A1M平面DCC1D1,A1M平面D1PQB1.正确.5.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1FDE,则有()A.B1E=EBB.B1E=2EBC.B1E=EBD.E与B重合【解析】选A.分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),则=(0,1,-2),=(2,2,z),因为=02+12-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB

4、.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若A0,2,B1,-1,C-2,1,是平面内的三点,设平面的法向量a=(x,y,z),则xyz=_.【解析】 =1,-3,-,=-2,-1,-,a=0,a=0,xyz=yy-y=23(-4).答案: 23(-4)7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是_.【解析】以A为原点,分别以,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M,O,N,0,1,=0,1,0,-,1=0,所以ON与AM垂直.答案:垂直8.如图

5、,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和的值为_.世纪金榜导学号【解析】以D1A1,D1C1,D1D分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以=(x-1,0,1),=(1,1,y),因为B1E平面ABF,所以=(1,1,y)(x-1,0,1)=0,所以x+y=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)A

6、M平面BDE.世纪金榜导学号(2)AM平面BDF.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设ACBD=N,连接NE.则N,0,E(0,0,1),A(,0),M,1,所以=-,-,1,=-,-,1.所以=且NE与AM不共线.所以NEAM.又因为NE平面BDE,AM平面BDE,所以AM平面BDE.(2)由(1)知=-,-,1,因为D(,0,0),F(,1),所以=(0,1)所以=0,所以AMDF.同理AMBF.又DFBF=F,所以AM平面BDF.10.如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,ABC=BCD=90,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC底面ABCD.世纪金榜导学号证

7、明:(1)PABD.(2)平面PAD平面PAB.【证明】(1)取BC的中点O,连接PO,因为平面PBC底面ABCD,PBC为等边三角形,平面PBC底面ABCD=BC,PO平面PBC,所以PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=,所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),所以=(-2,-1,0),=(1,-2,-).因为=(-2)1+(-1)(-2)+0(-)=0,所以,所以PABD.(2)取PA的中点M,连接DM

8、,则M,-1,.因为=,0,=(1,0,-),所以=1+00+(-)=0,所以,即DMPB.因为=1+0(-2)+(-)=0,所以,即DMPA.又因为PAPB=P,PA,PB平面PAB,所以DM平面PAB.因为DM平面PAD,所以平面PAD平面PAB.(15分钟35分)1.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则|为()A.aB.aC.aD.a【解析】选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,.设M(x,y,z),因为点M在AC1上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所

9、以x=a,y=,z=,得M,所以|=a.2.(5分)(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).下列结论正确的是()A.APABB.APADC.是平面ABCD的法向量D.【解析】选ABC.因为=0,=0,所以ABAP,ADAP,则AB正确.又与不平行,所以是平面ABCD的法向量,则C正确.由于=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以与不平行,故D错误.3.(5分)已知平面内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面与的位置关系是_.【

10、解析】设平面的法向量为m=(x,y,z),由m=0,得x0+y-z=0y=z,由m=0,得x-z=0x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=-n,所以mn,所以.答案:4.(10分)如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证:世纪金榜导学号(1)DE平面ABC.(2)B1F平面AEF.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).取AB的中点N,连接CN,则N(2,0,0)

11、,C(0,4,0),D(2,0,2),所以=(-2,4,0),=(-2,4,0),所以=,所以DENC,又因为NC平面ABC,DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)由(1)知=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0).=(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0,=(-2)2+22+(-4)0=0.所以,即B1FEF,B1FAF,又因为AFFE=F,所以B1F平面AEF.5.(10分)在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EFCD.世纪金榜导学号(2)在平面PAD内求一点G,使GF平面PCB,并证明你的结论.【解析】(1)如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、Ea,0、P(0,0,a)、F,.=-,0,=(0,a,0).因为=0,所以,即EFCD.(2)设G(x,0,z),则=x-,-,z-,若使GF平面PCB,则由=x-,-,z-(a,0,0)=ax-=0,得x=;由=x-,-,z-(0,-a,a)=+az-=0,得z=0.所以G点坐标为,0,0,即G点为AD的中点.- 10 -