2015_2016学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入综合测试北师大版选修2_2.doc

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1、【成才之路】2015-2016学年高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中，正确的是()A复数的模总是正实数B复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应C如果与复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定会在第一象限D相等的向量对应着相等的复数答案D解析复数的模大于等于0，因此A不正确；复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应，因此B不对；同理C也不正确，因此选D.2.如图， 在复平面内，点A表

2、示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AABBCC DD答案B解析设zabi，abi.两点关于实轴对称故选B.3已知复数z满足(34i)z25，则z()A34i B34iC34i D34i答案D解析设zxyi，(34i)(xyi)3x3yi4xi4y25，z34i，选D.注意复数的运算中i21.4.设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析本题考查了复数的概念充分必要条件与分类讨论的思想由ab0知a0且b0或a0且b0或a0且b0，当a0且b0时，复数a为纯虚数，否则a为实数，反之若a为纯虚

3、数，则b0且a0，则ab0，故“ab0”是“a为纯虚数”的必要不充分条件，要注意对充分性和必要性的判断5复数z，则z2z4z6z8z10的值为()A1B1CiDi答案B解析z2()21，111111.6下面是关于复数z的四个命题p1：|z|2, p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i, p4：z的虚部为1，其中的真命题为()Ap2，p3 Bp1，p2Cp2，p4 Dp3，p4答案C解析本题考查了复数的四则运算以及复数的模，共轭复数等z1i，p1：|z|，p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i，p4：z的虚部为1.复数的四则运算以及复数的共轭复数，复数相等是复数的考查重点7设复数z为虚数，条

4、件甲：z是实数，条件乙：|z|1，则()A甲是乙的必要非充分条件B甲是乙的充分非必要条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件答案C解析本题考查复数的运算和充要条件的判断设zabi(b0且a，bR)，则zabii.因为z为实数，所以b.因为b0，所以a2b21，所以|z|1.而当|z|1，a2b21，条件甲显然成立8在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为点B，则向量对应的复数为()A2i B2iC12i D12i答案B解析点A(1,2)关于直线yx的对称点为B(2,1)，所以对应的复数为2i，故选B.9复平面上三点A、B、C分别对应复数

5、1,2i,52i，则由A、B、C所构成的三角形是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形答案A解析1,2i,52i对应的向量坐标为(1,0)，(0,2)，(5,2)设O为坐标原点即(1,0)，(0,2)，(5,2)(1,2)(5,0)(4,2)则|2|2|A|2BAC90，即由A、B、C所构成的三角形是直角三角形10.若A、B是锐角ABC的两内角，则复数z(cosBsinA)(sinBcosA)i在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析A、B是锐角ABC的两内角，AB由得ABA、B为锐角ABC的内角A(0，)，(B)(0，)又在(0，)

6、，正弦函数单调递增sinAsin(B)即sinAcosBcosBsinA0又由可得BA同理可得sinBsin(A)即sinBcosAsinBcosA0即z对应的点在第二象限二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11若(xi)i12i(xR)，则x_.答案2解析(xi)i1xi12i，x2.12已知i是虚数单位，计算_.答案i解析.13已知复数z12i，z2a(1a2)i，在复平面内的对应点分别为P1、P2，对应复数为3i，则a_.答案1解析由条件可知z2z13i，即(a2)(2a2)i3i，a1.14若z1a2i，z234i，且为纯虚数，则实数a的值为_答案解析设bi(bR且b0)

7、，z1z2bi，即a2ibi(34i)4b3bi.a.15在复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3i)z2(13i)，|z1|，则z1_.答案1i或1i解析设z1abi，则z2abi，z1(3i)z2(13i)，且|z1|，解得或z11i或z11i.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16实数k为何值时，复数(1i)k2(35i)k2(23i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零？解析令z(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)当k25k60时，zR，k6或k1.(2)当k25

8、k60时，z是虚数，即k6且k1.(3)当时，z是纯虚数，k4.(4)当时，z0，解得k1.综上，当k6或k1时，z是实数；当k6且k1时，z是虚数；当k4时，z是纯虚数；当k1时，z是零17解关于实数x的方程(1i)x2(1i)x(26i)0.解析原方程化为：(x2x2)(x2x6)i0xR，根据复数相等的定义得，解得x2，原方程的解为x2.18若复数(m23m4)(m2m6)i表示的点在第四象限内，求实数m的取值范围分析 复数与复平面内的点一一对应，复数zabi对应的点(a，b)在第四象限内的充要条件为解析由题意，知2m1.即m的取值范围是m|mR，且2m119已知虚数z满足|2z1i|z

9、22i|(1)求|z|的值；(2)若mzR，求实数m的值解析(1)设虚数zabi(a，bR且b0)代入|2z1i|z22i|得|2a1(2b1)i|(a2)(b2)i|，(2a1)2(2b1)2(a2)2(b2)2整理得a2b22，即|z|2.(2)由(1)知，zabi其中a，bR，且b0.a2b22，又知mR，mzR.mzm(abi)mambimambiabi(maa)(mbb)i(mz)Rmbb0m.20.已知|z1|1，|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.分析 思路一：为了表示复数的模及进行复数的加减运算，可将z1、z2设出，然后解答思路二：复数的加法、减法及模都有一定的几何意义，

10、可用图形解答解析解法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)由已知，得a2b21，c2d21，(ac)2(bd)23.又(ac)2(bd)2a2b2c2d22ac2bd22ac2bd3.2ac2bd1.又|z1z2|2(ac)2(bd)2a2b2c2d22ac2bd211，|z1z2|1.解法二：在复平面内设z1，z2分别对应向量、，则对角线对应z1z2，对应z1z2，由已知|1，|1，|.OZ1Z120.Z2OZ160.在OZ1Z2中，1，即|z1z2|1.21.已知关于x的方程x2(6i)x9ai0(aR)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|abi|2|z|0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值解析(1)因为b是方程x2(6i)x9ai0(aR)的实数根，所以b2(6i)b9ai0，即(b26b9)(ab)i0，故解得ab3.(2)设zxyi(x，yR)，由|33i|2|z|，得|(x3)(y3)i|2|xyi|，即(x3)2(y3)24(x2y2)，即(x1)2(y1)28.所以复数z对应的点Z的轨迹是以O1(1,1)为圆心，2为半径的圆，如图所示，当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值和最小值因为|OO1|，半径r2，所以当z1i时，|z|min.7