2015_2016学年高中数学第一章导数及其应用综合检测新人教A版选修2_2.doc

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1、【成才之路】2015-2016学年高中数学 第一章 导数及其应用综合检测 新人教A版选修2-2时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(20142015福建龙海市程溪中学高二期末)以正弦曲线ysinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A0，)B0，)C，D0，(，答案A分析先求导数，再依据弦函数性质得到导函数的值域，即切线斜率的取值范围，最后求直线的倾斜角的取值范围解析ycosx，cosx1,1，切线的斜率范围是1,1，倾斜角的范围是0，)2(2015青岛市胶州高二期中)若a

2、0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2B3C6D9答案D解析f(x)12x22ax2b，又因为在x1处有极值，ab6，a0，b0，ab()29，当且仅当ab3时取等号，所以ab的最大值等于9.故选D.3(2014淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x0是其极值点的函数是()Af(x)x3Bf(x)cosxCf(x)sinxxDf(x)答案B解析对于A，f (x)3x20恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f (x)sinx，当x(，0)时，f (x)0，故f(x)cosx在x0的左侧区间(，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增

3、，所以x0是f(x)的一个极小值点；对于C，f (x)cosx10恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)在x0没有定义，所以x0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.4已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A(，)，(，) B(，)C(，) D，答案D解析f (x)3x22ax1，f(x)在(，)上是单调函数，且f (x)的图象是开口向下的抛物线，f (x)0恒成立，4a2120，a，故选D.5设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如下图所示，则导函数yf (x)的图象可能是()答案A解析f(x)在(，0)上为增函数，在(0，)上变化

4、规律是减增减，因此f (x)的图象在(，0)上，f (x)0，在(0，)上f (x)的符号变化规律是负正负，故选A.6已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若ABC为锐角三角形，则一定成立的是()Af(sinA)f(cosB)Bf(sinA)f(sinB)Df(cosA)0时，f (x)0，即f(x)单调递增，又ABC为锐角三角形，则AB，即AB0，故sinAsin(B)0，即sinAcosB0，故f(sinA)f(cosB)，选A.7(20142015祁东县模拟)函数f(x)ax3ax22ax1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()AaBaCaDa答案D解析f(x)ax2ax2aa(

5、x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即(a1)(a1)0，解得a.故选D.8定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f (x)，则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1Dx|x1答案B解析令g(x)2f(x)x1，f (x)，g(x)2f (x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x1时，g(x)0，即2f(x)x1，故选B.9(2013华池一中高二期中)若关于x的方程x33xm0在0,2上有根，则实数m的取值范围是()A2,2B0,2C2,0D(，2)(2，)答案A解析令f(x

6、)x33xm，则f (x)3x233(x1)(x1)，显然当x1时，f (x)0，f(x)单调递增，当1x1时，f (x)0，f(x)单调递减，在x1时，f(x)取极大值f(1)m2，在x1时，f(x)取极小值f(1)m2.f(x)0在0,2上有解，2m2.10(20142015天门市调研)已知函数f(x)的导函数f (x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()答案D解析由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A，B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.11(2015河南八市质量监测)已知函数f(x)xlnx，g(x)x3x25

7、，若对任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)2成立，则a的取值范围是()A(0，)B1，)C(，0)D(，1答案B解析由于g(x)x3x25g(x)3x22xx(3x2)，函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，g5，g(2)8451.由于对x1，x2，f(x1)g(x2)2恒成立，f(x)g(x)2max，即x时，f(x)1恒成立，即xlnx1，在上恒成立，axx2lnx在上恒成立，令h(x)xx2lnx，则h(x)12xlnxx，而h(x)32lnx，x时，h(x)0，x1,2时，h(x)0，f(x)单调递增，当x(2,0)时，f (x)0，f(x)在0,1上单调递增，故f1(x)f(

8、0)0，f2(x)x33x2，f2(x)f1(x)x33x2kx对x0,1成立，当x0时，kx23x恒成立，又当x1时，x23x取得最大值2，k2，即正确；中，f1(x)，f2(x)，f(x2)f(x1).当x1,0时，1x2k(x1)，k1x，k2.当x(0,1)时，1k(x1)，k，k1.当x1,4时，x2k(x1)，k，k.即f(x)x2，x1,4是1,4上的“k阶收缩函数”，则k4.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)设函数f(x)lnxln(2x)ax(a0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0

9、,1上 的最大值为，求a的值解析函数f(x)的定义域为(0,2)，f (x)a，(1)当a1时，f (x)，当x(0，)时，f (x)0，当x(，2)时，f (x)0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.18(本题满分12分)(2014韶关市曲江一中月考)已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时，f(x)取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立解析(1)f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)，即ax3cxd

10、ax3cxd，dd，d0(或由f(0)0得d0)f(x)ax3cx，f (x)3ax2c，又当x1时，f(x)取得极值2，即解得f(x)x33x.(2)f (x)3x233(x1)(x1)，令f (x)0，得x1，当1x1时，f (x)0，函数f(x)单调递减；当x1时，f (x)0，函数f(x)单调递增；函数f(x)的递增区间是(，1)和(1，)；递减区间为(1,1)因此，f(x)在x1处取得极大值，且极大值为f(1)2.(3)由(2)知，函数f(x)在区间1,1上单调递减，且f(x)在区间1,1上的最大值为Mf(1)2.最小值为mf(1)2.对任意x1、x2(1,1)，|f(x1)f(x2

11、)|Mm4成立即对任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|0)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)0在区间1，e上恒成立，求实数a的取值范围解析(1)a1，f(x)x24x2lnx，f (x)(x0)，f(1)3，f (1)0，所以切线方程为y3.(2)f (x)(x0)，令f (x)0得x1a，x21，当0a0，在x(a,1)时，f (x)1时，在x(0,1)或x(a，)时，f (x)0，在x(1，a)时，f (x)0，f(x)的单调增区间为(0,1)和(a，)，单调递减区间为(1，a)(3)由(2)可知

12、，f(x)在区间1，e上只可能有极小值点，f(x)在区间1，e上的最大值必在区间端点取到，f(1)12(a1)0且f(e)e22(a1)e2a0，解得a.20(本题满分12分)(2015河南六市联考)已知函数f(x)(a为常数，e为自然对数的底数)的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a的取值范围解析由于f(e)，得f(x)在点A处的切线方程为：y1(xe)，即xy0由题意知切线与y(x2)(xa)(x1)有两个交点，即x(x2)(ca)有两个小于1的根，即x2(1a)x2a0有两个小于1的根，设两根为x1，x2，则即解得：a32或32ab0)的左、右焦点分别为F

13、1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|PF1|，且，试确定椭圆离心率e的取值范围解析(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c.从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图，由PF1PQ，|PQ|PF1|得，|QF1|PF1|，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，进而|PF1|PQ|QF1|4a.于是(1)|PF1|4a.解得|PF1|，故|PF2|2a|PF1|.由勾股定理得|PF1

14、|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，从而224c2，两边除以4a2，得e2，若记t1，则上式变成e282.由，并注意到1关于的单调性，得3t4，即，进而e2，即e0)(1)若x0，使得不等式f(x)6a24a成立，求实数a的取值范围；(2)设函数yf(x)图象上任意不同的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为C(x0，y0)，记直线AB的斜率为k，证明：kf(x0)解析(1)f(x)ln xax2(12a)x，其定义域为(0，)，f(x)2ax(12a)，a0，x0，2ax10，所以当0x0，f(x)在(0,1)上单调递增；当x1时，f(x)6a24a，解得ax

15、10，要证明kf(x0)，即证明a(x2x1)(12a)a(x1x2)(12a)，只需证明，即证明ln，构造函数g(x)ln x，则g(x)0，所以g(x)在1，)上是增函数，当x1时，g(x)g(1)0，又1，所以ln，从而kf(x0)成立一、选择题1(2015锦州一中高二期中)曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为()Ay3x4By3x2Cy4x3Dy4x5答案B解析点(1，1)在曲线上，y3x26x，y|x13，即切线斜率为3.利用点斜式得，切线方程为y13(x1)，即y3x2.故选B.2(2014浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a()A2B

16、3C4D5答案D解析f (x)3x22ax3，由条件知，x3是方程f (x)0的实数根，a5.3函数y2x33x212x5在0,3上的最大值，最小值分别是()A5，15B5，4C4，15D5，16答案A解析y6x26x120，得x1(舍去)或x2，故函数yf(x)2x33x212x5在0,3上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)5，f(2)15，f(3)4，故最大值为5，最小值为15，故选A.4.dx等于()A2ln2B2ln2Cln2Dln2答案D解析因为(lnx)，所以 dxlnx|ln4ln2ln2.5已知定义在R上的函数f(x)的导函数f (x)的大致图象如图所示，则下列结

17、论一定正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)答案C解析由图可知f (x)在(，c)和(e，)上取正值，在(c，e)上取负值，故f(x)在(，c)和(e，)上单调递增，在(c，e)上单调递减，abc，f(a)f(b)f(c)，故选C.6已知函数f(x)4x3sinx，x(1，1)，如果f(1a)f(1a2)0在x(1,1)上恒成立，f(x)在(1,1)上是增函数，又f(x)4x3sinx，x(1,1)是奇函数，不等式f(1a)f(1a2)0可化为f(1a)f(a21)，从而可知，a须满足解得1a.7设f (x)是函数f

18、(x)的导函数，将yf(x)和yf (x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()答案D解析A中，当f(x)为二次函数时，f (x)为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A可以是正确的，同理B、C都可以是正确的，但D中f(x)的单调性为增、减、增，故f (x)的值应为正负正，因此D一定是错误的8函数yf(x)的图象如图所示，则yf (x)的图象可能是()答案D解析由f(x)的图象知，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，在(0，)上f (x)0，在(，0)上f (x)0，故选D.9如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为()A0.18JB0.26JC

19、0.12JD0.28J答案A解析设F(x)kx，当F(x)1时，x0.01m，则k100，W100xdx50x2|0.18.10已知函数f(x)lnx，则函数g(x)f(x)f (x)的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)答案B解析由题可知g(x)lnx，g(1)10，选B.11已知三次函数f(x)x3(4m1)x2(15m22m7)x2在R上是增函数，则m的取值范围是()Am4B4m2C2m4D以上皆不正确答案D解析f (x)x22(4m1)x15m22m7，由题意得x22(4m1)x15m22m70恒成立，4(4m1)24(15m22m7)64m232m46

20、0m28m284(m26m8)0，2m4，故选D.12(2014浙江省五校联考)已知函数f(x)x3mx2x的两个极值点分别为x1、x2，且0x11x2，点P(m，n)表示的平面区域内存在点(x0，y0)满足y0loga(x04)，则实数a的取值范围是()A(0，)(1,3)B(0,1)(1,3)C(，1)(1,3D(0,1)3，)答案B解析f (x)x2mx，由条件知，方程f (x)0的两实根为x1、x2且0x111时，1y0loga3，1a3；当0aloga3，由于y01，loga30，对a(0,1)，此式都成立，从而0a1，综上知0a1或1a3，故选B.二、填空题13(2014杭州七校联

21、考)若函数f(x)x33bxb在区间(0,1)内有极值，则实数b的取值范围是_答案(0,1)解析f (x)3x23b，f(x)在(0,1)内有极值，f (x)0在(0,1)内有解，0b2时f (x)0恒成立(其中f (x)是函数f(x)的导函数)，且f(4)0，则不等式(x2)f(x3)2时，f (x)0，f(x)在(2，)上单调递增，在(，2)上单调递减，又f(4)0，f(0)0，0x4时，f(x)0，x4时，f(x)0，由(x2)f(x3)0得(1)或(2)由(1)得x3；由(2)得2x0)，且g(x)f(x)2是奇函数(1)求a、c的值；(2)若函数f(x)有三个零点，求b的取值范围解析

22、(1)g(x)f(x)2是奇函数，g(x)g(x)对xR成立，f(x)2f(x)2对xR成立，ax2c20对xR成立，a0且c2.(2)由(1)知f(x)x33bx2(b0)，f (x)3x23b3(x)(x)，令f (x)0得x，x(，)(，)(，)f (x)00f(x)增极大值减极小值增依题意有b1，故正数b的取值范围是(1，)18(2015太原市三模)已知函数f(x)(x2axa)exx2，aR.(1)若函数f(x)在(0，)内单调递增，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在x0处取得最小值，求a的取值范围解析(1)由题意得f(x)x(x2a)ex2xex，xR，f(x)在(0，)内单调

23、递增，f(x)0在(0，)内恒成立x2a在(0，)内恒成立，又函数g(x)x2在(0，)上单调递增，ag(0)0，a的取值范围是(，0；(2)由(1)得f(x)xex，xR，令f(x)0，则x0或x2a0，即x0或g(x)a，g(x)x2，在(，)上单调递增，其值域为R.存在唯一x0R，使得g(x0)a，若x00，当x(，0)时，g(x)0；当x(0，x0)时，g(x)a，f(x)0；f(x)在x0处取得极大值，这与题设矛盾；若x00，当x(， 0)时，g(x)0；当x(0，)时，g(x)a，f(x)0；f(x)在x0处不取极值，这与题设矛盾；若x0a，f(x)a，f(x)0；f(x)在x0处

24、取得极小值；综上所述，x00，ag(x0)g(0)0.a的取值范围是(，0)19(2014福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f(x)x3ax2bx5，若曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x时，yf(x)有极值(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在4,1上的最大值和最小值解析f (x)3x22axb，(1)由题意得，解得经检验得x时，yf(x)有极小值，所以f(x)x32x24x5.(2)由(1)知，f (x)3x24x4(x2)(3x2)令f (x)0，得x12，x2，f (x)，f(x)的值随x的变化情况如下表：x4(4，2)2(2，)(，1)1f (x)00

25、f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值11134f()，f(2)13，f(4)11，f(1)4，f(x)在4,1上的最大值为13，最小值为11.20已知函数f(x)x32ax2bx，其中a、bR，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线斜率为3.(1)求b的值；(2)若函数f(x)在x1处取得极大值，求a的值解析(1)f (x)a2x24axb，由题意f (0)b3.(2)函数f(x)在x1处取得极大值，f (1)a24a30，解得a1或a3.当a1时，f (x)x24x3(x1)(x3)，x、f (x)、f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f (x)00f

26、(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在x1处取得极大值，符合题意当a3时，f (x)9x212x33(3x1)(x1)，x、f (x)、f(x)的变化情况如下表：x(，)(，1)1(1，)f (x)00f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在x1处取得极小值，不符合题意综上所述，若函数f(x)在x1处取得极大值，a的值为1.21设f(x)lnx，g(x)f(x)f (x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立解析(1)由题设知g(x)lnx，g(x)，令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，

27、故(1，)是g(x)的单调递增区间，因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)g()lnxx，设h(x)g(x)g()2lnxx，则h(x).当x1时，h(1)0，即g(x)g()当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减当0xh(1)0，即g(x)g()，当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g()(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)g(x)0成立g(a)1，即lna1，从而得0a0)，g(x).(1)讨论函数yf(x)g(x)的单调性；(2)若不等式f(x)g(x)1在x0，)时恒

28、成立，求实数a的取值范围；(3)当a1时，证明：f(n)(nN*)解析(1)yf(x)g(x)ln(ax1)，y，当a1时，y0，所以函数yf(x)g(x)是0，)上的增函数；当0a0得x2，所以函数yf(x)g(x)在上是单调递增函数，函数yf(x)g(x)在上是单调递减函数；(2)当a1时，函数yf(x)g(x)是0，)上的增函数所以f(x)g(x)f(0)g(0)1，即不等式f(x)g(x)1在x0，)时恒成立，当0a1时，函数yf(x)g(x)是上的减函数，存在x0，使得f(x0)g(x0)g(x)1在x(0，)时恒成立，即ln(x1)，所以ln(kN*)，即ln(k1)lnk所以(ln2ln1)，(ln3ln2)，(ln4ln3)，ln(n1)lnn将上面各式相加得到，(ln2ln1)(ln3ln2)(ln4ln3)(ln(n1)lnn)ln(n1)f(n)原不等式成立21