2010届大纲版数学高考名师一轮复习教案11.4 函数的单调性与极值microsoft word 文档doc--高中数学 .doc

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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网11.4 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 最值最值一、明确复习目标1.了解可导函数的单调性与其导数的关系；2.了解可导函数在某点处取极值的必要条件和充分条件，会求一些实际问题（单峰函数）的最大值与最小值。二建构知识网络1.函数的单调性（1）函数 y=f(x)在某个区间内可导，若 f(x)0，则 f(x)为增函数；若 f(x)0，则f(x)为减函数。（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法。确定函数 f(x)的定义区间；求 f(x)，令 f(x)=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；把函数 f(x)的间断点即包括 f(

2、x)的无定义点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间；确定 f(x)在各小区间内的符号，根据 f(x)的符号判定 f(x)在每个相应小开区间内的增减性。例如：求函数 y=(x21)(x24)单调区间。2.可导函数的极值（1）极值的概念设函数 f(x)在点 x0附近有定义，且若对 x0附近所有的点都有 f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称 f(x0)为函数的一个极大（小）值，称 x0为极大（小）值点。（2）求可导函数 f(x)极值的步骤求导数 f(x)；求方程 f(x)=0 的根；检验 f(x)在方程 f(x)=0 的根

3、的左右的符号，如果根的左侧为正，右侧为负，则函数在此处取得极大值；如果在根的左侧为负，右侧为正，则函数在此处取得极小值。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网3.函数的最大值与最小值（1）设 y=f(x)是定义在区间a,b上的函数，并在（a,b）内可导，求函数在a,b上的最值可分两步进行：求 y=f(x)在（a,b）内的极值；将 y=f(x)在各极值点的极值与 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。（2）若函数 f(x)在a,b上单调递增（或递减），则 f(a)为函数的最小值（或最大值），f(b)为函数的最大值（或最小值）。三、双基题目练

4、练手1(2005 广东)函数 f(x)=x3-3x2+1 是减函数的区间为（）A),2(B)2,(C)0,(D（0，2）2函数 y=1+3xx3有A.极小值2,极大值 2,B.极小值2,极大值 3C.极小值1,极大值 1,D.极小值1,极大值 33(2005 全国)函数 f(x)=x3+ax2+3x9 已知 f(x)在 x=3 时取得极值，则 a=（）A2B3C4D54.函数 y=x2x（x0）的最大值为_.5.（2006 北京）已知(31)4,1()log,1aaxa xf xx x是(,)上的减函数，那么a的取值范围是6.如果函数 y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:htt

5、p:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网xy1 234 5-1-2-3O1-2-函数 y=f（x）在区间（3,21）内单调递增;函数 y=f（x）在区间（21,3）内单调递减;函数 y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;当 x=2 时,函数 y=f（x）有极小值;当 x=21时,函数 y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_简答简答:14.DDD；4.y=x212,当 0 x161时，y0,为增函数.当 x161时，y0,是减函数.x=161时，y 有最大值81.5.1 1(,)7 3；6.当 x（4,5）时,恒有 f（x）0.答案:四、经典例题做一做【例【例 1 1】

6、已知函数 f（x）=2ax21x,x（0,1.（1）若 f（x）在 x（0,1上是增函数，求 a 的取值范围；（2）求 f（x）在区间（0,1上的最大值.分析:（1）要使 f（x）在（0,1上为增函数，需 f（x）0,x（0,1）.（2）利用函数的单调性求最大值.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解:（1）由已知可得 f（x）=2a+32x,f（x）在（0,1）上是增函数，f（x）0,即 a31x,x（0,1.a1.当 a=1 时，f（x）=2+32x对 x（0,1）也有 f（x）0，满足 f（x）在（0,1上为增函数，a1.（2）由（1）知,当 a1 时,f（x

7、）在（0,1上为增函数,f（x）max=f（1）=2a1.当 a1 时，令 f（x）=0 得 x=31a,031a1,0 x31a时,f（x）0;31ax1 时，f（x）0.f（x）在（0,31a）上是增函数，在（31a,1减函数.f（x）max=f（31a）=332a.解法点评:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.【例【例 2】(2006 天津天津)已知函数 cos163cos3423xxxf，其中 xR,为参数，且 00 时，随 x 的变化 f(x)的符号及 f(x)的变化情况如下表：x(,0)0cos(0,)2cos2cos(,)2f/(x)+0-0

8、+f(x)极大值极小值因此，函数 f(x)在cos2x处取得极小值cosf()2，且3cos13()cos2416f 要使cos()02f，必有213cos(cos)044，可得30cos2由于30cos2，故3116226或当时 cos0，则 cosx0。矛盾。所以当 cosx0 时，f(x)的极小值不会大于零。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网综上，要使函数 f(x)在(,+)内的极小值大于零，参数的取值范围为311(,)(,)6 226。（III）由（II）知，函数 f(x)在区间(,)与cos(,)2内都是增函数。由题设，函数 f(x)在(2a-1,a)内

9、是增函数，则 a 须满足不等式组210aaa 或21121cos2aaa 由（II），参数时311(,)(,)6 226 时，30cos2。要使不等式121cos2a 关于参数恒成立，必有3214a，即438a。综上，解得0a 或4318a。所以a的取值范围是43(,0),1)8。特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。【例【例 3】(2006 福建福建)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度 x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：313812800

10、080yxx(00f（x）为增函数（f（x）0，函数 f（x）=x3ax 在1，+）上是单调增函数，则 a 的最大值是A0B1C2D32.(2006 天津天津)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数 f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）A1 个B2 个C3 个D 4 个3 已知 f（x）=（x1）2+2，g（x）=x21，则 fg（x）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网A.在（2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（2，0）上递增D.在（0，2）上递增4.函数 y=xsinx+cosx 在下面哪个区

11、间内是增函数A.（2,23）B.（,2）C.（23,25）D.（2,3）【填空题】5.函数xexxf2)(的单调增区间是6.函数 f(x)=sin2x-x,(-2x2)的最大值是，最小值是。简答提示：14：DACC；1.f（x）=3x2a 在1，+)上，f（x）0 恒成立，即 a3x2在1，+）上恒成立，a3.3.解析：F（x）=fg（x）=x44x2+6，F（x）=4x38x，令F（x）0，得2x2，F（x）在（2，0）上递增5.(0,2)；6.最大值是2，最小值是-2【解答题】7.7.（20062006 北京）北京）已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0处取得极大值 5，其导

12、函数 y=f(x)的图象经过点(0,1)，(2,0)，如图所示.求：（）x0的值；（）a,b,c 的值.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解法一：（）由图像可知，在(,1)上 f(x)0，在(1,2)上 f(x)0故 f(x)在(,1),(2,+)上递增，在(1,2)上递减，因此 f(x)在1x 处取得极大值，所以01x（）2()32,fxaxbxc由 f(1)=0,f(2)=0,f(1)=5得320,1240,5,abcabcabc解得 a=2,b=-9,c=12.解法二：（）同解法一（）设2()(1)(2)32,fxm xxmxmxm又2()32,fxaxbx

13、c所以3,232mabm cm 32|3()2,32mf xxmxmx由 f(1)=5,即325,32mmm得 m=6所以 a=2,b=9,c=128.(2005 北京)已知函数 f(x)=x3+3x2+9x+a（）求 f(x)的单调减区间；（）若 f(x)在区间2，2.上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值.解：（I）f(x)=3x2+6x+9 令 f(x)0，解得 x3http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网所以函数 f(x)的单调递减区间为(,1),(3,+)（II）因为,218128)2(aaf,2218128)2(aaf所以).2()2(ff因为在（1，3

14、）上0)(xf，所以 f(x)在1，2上单调递增，又由于 f(x)在2，1上单调递减，因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间2，2上的最大值和最小值.于是有 22+a=20，解得.2aa=2故 f(x)=x3+3x2+9x2因此 f(1)=1+392=7即函数 f(x)在区间2，2上的最小值为7.9.(2006 山东山东)设函数()(1)ln(1)f xaxax，其中1a ，求 f(x)的单调区间.解：由已知得函数 f(x)的定义域为(1,)，且1()(1),1axfxax（1）当10a 时，f(x)0 函数 f(x)在(1,)上单调递减，（2）当0a 时，由 f(x)=0 解得1

15、.xa若1(1,)xa，则 f(x)0 函数 f(x)在1(,)a上单调递增.综上所述：当10a 时，函数 f(x)在(-1,+)上单调递减.当0a 时，函数 f(x)在1(1,)a上单调递减，函数 f(x)在1(,)a上单调递增.10.(2005 福建)已知函数bxaxxf26)(的图象在点 M（1，f(x)）处的切线方程为 x+2y+5=0.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（）求函数 y=f(x)的解析式；（）求函数 y=f(x)的单调区间.解：（1）由函数 f(x)的图象在点 M（1f(1)）处的 切线方程为 x+2y+5=0，知.)()6(2)()(.2

16、1)1(,2)1(,05)1(21222bxaxxbxaxffff即解是 a=2,b=3,(b+10,b=1 舍去)所求的函数解析式是226()3xf xx（II）2222126()(3)xxfxx，令-2x2+12x+6=0,解得1232 3,32 3xx。32 3,32 3,()0;32 332 3,()0.当或时当时xxfxxfx226()(,32 3)3在xf xx内是减函数，在(32 3,32 3)内是增函数，在(32 3,)内是减函数。考查知识：函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学知识，分析问题和解决问题的能力.【探索题】(2006 福建福建)已知函数2()8,()6ln.

17、f xxx g xxm（I）求 f(x)在区间,1t t 上的最大值 h(t)（II）是否存在实数,m使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。解：（I）22()8(4)16.f xxxx 当14,t 即3t 时，f(x)在,1t t 上单调递增，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网22()(1)(1)8(1)67;h tf ttttt 当41,tt 即34t 时，()(4)16;h tf当4t 时，f(x)在,1t t 上单调递减，2()()8.h tf ttt 综上，2267,3,()16

18、,34,8,4ttth ttttt（II）函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()xg xf x的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。22()86ln,62862(1)(3)()28(0),xxxxmxxxxxxxxxx 当(0,1)x时，()0,()xx是增函数；当(0,3)x时，()0,()xx是减函数；当(3,)x时，()0,()xx是增函数；当1,x 或3x 时，()0.x()(1)7,()(3)6ln3 15.xmxm最大值最小值当x充分接近 0 时，()0,x当x充分大时，()0.x要使()x的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70,()6ln3 150,xmxm最大值最小值即7156ln3.m所以存在实数m，使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15-6ln3)http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网