2011年中考数学一轮复习——第六讲三角形 doc--初中数学 .doc

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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网a060第 4 题图 NPOA2011 年中考数学一轮复习第六讲：三角形知识梳理知识点 1.三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。知识点 2.三角形的分类重点：三角形分类的依据难点：三角形分类的划分（1）按角分类(2)按边分类例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的 2

2、倍，且等于它不相邻内角的 4 倍，那么这个三角形一定是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、正三角形解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。答案 B练习：如图，已知 OAa，P 是射线 ON 上一动点（即 P 可在射来源:Zxxk.Com线 ON 上运动），AON600，填空：（1）当 OP时，AOP 为等边三角形；（2）当 OP时，AOP 为直角三角形；三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形三角形不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（3）当 OP 满足时，AOP 为锐角三角形；（4）当 OP 满足

3、时，AOP 为钝角三角形。答案：（1）a；（2）a2或2a；（3）2aOPa2；（4）0OP2a或 OPa2知识点 3.三角形三条重要线段重点：掌握三角形三条重要线段的概念难点：三角形三条重要线段的运用三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点：（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当ABC 是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线

4、上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。例 1、在ABC 中，AC5，中线 AD7，则 AB 边的取值范围是（）A、1AB29B、4AB24C、5AB19D、9AB19解题思路：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。选 D例 2、如图，ABC中，AB=AC，BAC和ACB的平分线

5、相交于点D，ADC=130，求BAC的度数解题思路：因为AB=AC，AE平分BAC，所以AEBC(三线合一)因为ADC=130，所以CDE=50，所以DCE=40，因为CD平分ACB，所以ACB=2DCE=80，所以B=ACB=80，BAC=180-B+ACB=20http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2A1ADCBAEDCBA练习1、如图，在ABC 中，A960，延长 BC 到 D，ABC 与ACD 的平分线相交于1A，1ABC与1ACD 的平分线相交于2A，依此类推，4ABC 与4ACD 的平分线相交于5A，则5A的大小是多少？来源:Zxxk.Com2、如图，CE

6、 平分ACB，且 CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD 的周长为 28 cm，则DB。答案 1、302、8cm知识点 4.三角形的主要性质重点：三角形的三边关系及外角的性质难点：三角形的主要性质的灵活运用(1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边(2)三角形的三个内角之和等于 3600(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和来源:学科网 ZXXK(4)三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角(5)三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变例 1已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且ba，那么这个三角形的

7、周长L的取值范围是（）A、bLa33B、aLba2)(2C、abLba262D、baLba23解题思路：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。答案：Bhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网例 2如图，已知ABC 中，ABC450，ACB610，延长 BC 至 E，使 CEAC，延长 CB至 D，使 DBAB，求DAE 的度数。解题思路：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出DE 的度数，即可求得DAE 的度数。略解：ABDB，ACCE来源:学科网D21ABC，E21ACBDE21（ABCACB）530DAE1800（

8、DE）1270练习 1.若ABC 的三边分别为a、b、c，要使整式0)(mcbacba，则整数m应为。2.纸片ABC 中，A650，B750，将纸片的一角折叠，使点 C 落在ABC 内（如图），若1200，则2 的度数为。3.在ABC 中，ABAC，D 在 AC 上，且 BDBCAD，则A 的度数为（）A、300B、360C、450D、720答案 1.偶数 2.6003.B知识点 5.全等三角形重点：全等三角形的判定难点：根据不同条件来判断三角形的全等1定义两个能完全重合的三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角2性质两全等三角形的对应边

9、相等，对应角相等3判定公理(1)判定公理 1(简称“边角边”或“SAS”)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(2)判定公理 2(简称“角边角”或“ASA”)例 2 图 EDCBAhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3)判定公理 3(简称“边边边”或“SSS”)有三边对应相等的两个三角形全等(4)判定 4(推论，简称为“角角边”或“AAS”)来源:学科网 ZXXK有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(5)判定 5(斜边、直角边公理，简称“斜边、直角边”或“HL”)有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等

10、全等三角形题型例析一、选择条件型例 1如图，在ABC与DEF中，给出以下六个条件中（1）ABDE（2）BCEF（3）ACDF（4）AD（5）BE（6）CF，以其中三个作为已知条件，不能判断ABC与DEF全等的是（）（1）（5）（2）（1）（2）（3）（4）（6）（1）（2）（3）（4）解题思路：根据全等三角形的识别方法及给出的四个答案，一一加以辨别，因为用（SAS）识别法中，两边对应相等的话，一定要夹角对应相等，所以答案（）不能判断ABC与DEF全等二、补充条件型例 2如图所示，在ABC和DCB中，ABDC，要使ABODCO，请你补充条件_（只要填写一个你认为合适的条件）解题思路：由AB=DC

11、以及图形隐含的对顶角相等：AOB=DOC可知，要使ABODCO，根据（AAS）识别法，直接可补充A=D或ABODCO间接可补充：ACDB评注：本题是一道结论开放性试题，由于全等三角形的识别方法有（SSS）（SAS）（ASA）（AAS）和直角三角形的（HL）识别法，因此，这类题目具有答案不唯一的特点在添加条件时，要结合图形，挖掘隐含的公共边、公共角、对顶角等条件三、结论选择型例 3如图EF90，BCAEAF，给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CDDN其中正确的结论是ADCBOhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（注：将你认为正确的结论都填上）解题思路：根据已

12、知“EF90，BCAEAF”可得ABEACF，因此有EABFAC，BECF，ACAB，所以、正确；因为CABBAC，BC，ACAB，所以ACNABM，故也正确；根据条件，无法推出CDDN，故不正确所以，正确的结论是、评注：将多项选择以填空题的形式出现，是近几年出现的新题型，因答案的不唯一，加大了问题的难度，我们只有对所给的选项一一排查，才能得到正确的答案四、结论探究型例 4如图，已知CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O，且AO平分BAC，那么图中全等三角形共有对解题思路：在ADO与AEO，根据条件：CDAB，BEAC，AO平分BAC及隐含的条件AOAO（公共边），得到ADO

13、AEO（AAS）；从而得到ADAE，故 RtADCRtAEB（HL）；进一步可推得ABOACO（SAS），BDOCEO（AAS），因此，图中全等三角形共有 4 对五、自编组合型例 5如图，在ABC和DEF中，D，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选 3 个作为题设，余下的 1 个作为结论，写一个真命题，并加以证明ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF已知：求证：证明：解题思路：题中给出的四个等量关系，以其中三个为条件，另一个作为结论，总共可组成的命题（不论真假）有：共 4 个命题，其中真命题有 2 个，或，选择其中一个，不难完成题目的解答解：如证明：BECFBCEF又ABD

14、E，ACDFBACDEF（SSS）ABCDEF?F?E?D?C?B?Ahttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网六、运动变化型例 6在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE；（2）当直线MN绕点C旋转到图 2 的位置时，求证：DE=ADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到图 3 的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明证明：（1）ACD=ACB=90，CAD+ACD=90，BCE+ACD=90，CAD=BCE，A

15、C=BC，ADCCEBADCCEB，CE=AD，CD=BE，DE=CE+CD=AD+BE（2）ADC=CEB=ACB=90，ACD=CBE，又AC=BC，ACDCBE，CE=AD，CD=BE，DE=CECD=ADBE（3）当MN旋转到图 3 的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是DE=BEAD（或AD=BEDE，BE=AD+DE等）ADC=CEB=ACB=90，ACD=CBE，又AC=BC，ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=CDCE=BEAD评注：本题以直线MN绕点C旋转过程中与ABC的不同的位置关系为背景设置的三个小题，第（1）（2）小题为证明题，第（3）小题为探索性问题，考

16、查同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，为发现规律、证明结论设计了可借鉴的过程，通过前面问题解决过程中所提供的思想方法，去解决类似相关问题，考查了同学们的后续学习的能力七、应用型例 7 如图，将两根钢条AA，BB的中点O连在一起，使AA，BB可以绕着点 0 自由转动，就做成了一个测量工件，则A B 的长等于内槽宽 AB，那么判定AOBA OB的理由是（）CBAED图 1NMABCDEMN图 2ACBEDNM图 3OBAhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网ABCD 边角边角边角边边边角角边解题思路：新的数学课程标准加强了数学

17、知识的实践与综合应用，从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）解应用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点，几何应用题就是其中之一 本题利用全等三角形来解决实际中的工件的测量问题，其理论依据是“边角边”，故答案为最新考题三角形是平面几何的重要知识，是历年中考的主要内容之一，主要考查三角形的性质和概念、三角形的内角和定理、三边关系定理、三角形全等的性质与判定、三角形中位线定理以及特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）的性质与判定等。考题以选择为主要考查形式，也将三角形与四边形、圆等知识组成综合性题目进行考查，来源:学|科|网而三角形的运动、折叠、拼接形成新数学问题也

18、逐渐增加。考查目标一、三角形的有关性质例 1（2009 年济宁市）如图，ABC中，A70，B60，点D在BC的延长线上，则ACD等于A.100B.120C.130D.150解题思路：运用三角形外角的性质，答案 C例 2(2009 年义乌)如图，在ABC中，90C。，EF/AB,150。,则B的度数为（）A50。B.60。C.30。D.40。解题思路：运用三角形内角和定理，答案 D例 3（2009 年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（）A三角形两边之和大于第三边B三角形的外角和等于 360C三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形解题思路：等边三

19、角形不是中心对称图形，答案 D练习1、等腰三角形一腰上的中线分周长为 15 和 12 两部分，则此三角形底边之长为（）A、7B、11C、7 或 11D、不能确定http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网第 6 题图 FEDCBA2、如图，在ABC 中，A800，ABC 和ACB 的外角平分线相交于点 D，那么BDC。答案 1.C 2.500考查目标二、三角形三边关系例 1 长为 2，3，5 的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？解题思路：可以，设延伸部分为a，则长为a2，a3，a5的三条线段中，a5最长，0)5()3()2(

20、aaaa只要0a，长为a2，a3，a5的三条线段可以组成三角形设长为a5的线段所对的角为，则为ABC 的最大角又由12)5()3()2(2222aaaa当0122a，即32a时，ABC 为直角三角形。例 2(2009 年温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A1cm，2cm，35cmB4cm，5cm，9cmC5cm，8cm，15cmD6cm，8cm，9cm解题思路：三角形任意两边之和大于第三边答案：D练习：已知三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A4cmB5cmC6cmD13cm答案：C考查目标三、三角形全等例 1（2009 年浙江省绍兴市）如图，D

21、E，分别为ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处 若48CDE，则APD等于（）A42B48C 52D58http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网CABBADCBAO1234解题思路：折叠前后的两个三角形全等，48CDEEDP,CD=DP=AD,再利用三角形中位线定理，答案 B来源:学科网例 2、（2009 陕西省太原市）如图，ACBA C B ，BCB=30，则ACA的度数为（）A20B30C35D40解题思路：ACBA C B ，BCBACA 选 B例 3（2008 年苏州）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交

22、于 O 点，12，34求证：（1）ABCADC；（2）BODO解题思路：证明：（1）在ABC 和ADC 中1234ACAC ABCADC（2）ABCADC，ABAD又12，BODO练习。如图，ABC 中，点 D 在 BC 上，点 E 在 AB 上，BDBE，要使ADBCEB，还需添加一个条件（1）给出下列四个条件：ADCEAECDBACBCA ADBCEB 请你从中选出一个能使ADBCEB的条件，并给出证明；你选出的条件是证明：（2）在（1）中所给出的条件中，能使ADBCEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号：答案：第（1）题添加条件，中任一个即可，以添加为例说明http:/

23、永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（1）证明：AECD，BEBD，ABCB，又ABDCBE，BEBDADBCEB（2）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网过关测试一、选择题1 下列说法正确的是-（）A、三角形的角平分线是射线。B、三角形三条高都在三角形内。C、三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外。D、三角形三条中线相交于一点。2、在 Rt中，两个锐角关系是-（）A、互余B、互补C、相等D、以上都不对3、以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是-（）A、7，8，15 B、15，20，5 C、6，7，5 D、7，6，14 4、下列图中

24、，是全等的图形是-（）来源:Zxxk.Com来源:Z&xx&k.Com5在ABC 中，A=390，B=410，则C 的外角度数为-（）A80 度B100 度C90 度D70 度6、如图所示，若ABCDEF，BC=FE，AB=ED，则图中B 的对应角是（）来源:Z.xx.k.ComA、CB、FC、ED、D7如图，ABC 的两条高线 AD，BE 交于点 F，BAD=450，C=600，则BFD 的度数为（）A60 度B 65 度C75 度D80 度8在ABC 中，AD 为 BC 边的中线，若ABD 与ADC的周长差为 3，AB=8，则 AC 的长为-（）FDCBABACDEhttp:/ 永久免费组

25、卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网A5B7C9D1 19如图，ABC 的内角平分线交于点 O，若BOC=1300，则A 的度数为-（）A 100 度B 90 度C 80 度D70 度10.我们知道三角形的内角和为180,而四边形可以分成两个三角形,故它的内角和为2 180360,五边形则可以分成 3 个三角形,它的内角和为3 180540(如图),依次类推,则八边形的内角和为()1 个三角形2 个三角形3 个三角形A.900B.1080C.1260D.144011根据下列已知条件，能惟一画出三角形 ABC 的是（）A.AB3，BC4，AC8；B.AB4，BC3，A30；C.A60，B45

26、，AB4；D.C90，AB612.在ABC 和ABC中,AB=AB,B=B,补充条件后仍不一定能保证ABCABC,则补充的这个条件是()ABC=BCBA=ACAC=ACDC=C二、填空题1三角形 ABC 中，A 是B 的 2 倍，C 比AB 还大 12 度，则这个三角形是三角形2以三条线段 3、4、x5 为这组成三角形，则 x 的取值为3.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数_来源:学科网 ZXXK4.如图已知：ABCDBE，A=50，E=30则ADB=度，DBC=度5.如图已知：AD 是ABC 的对称轴，如果DAC=30，DC=4cm，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久

27、免费组卷搜题网EDCBA那么ABC 的周长为cm。6.如图已知：ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E，垂足为 D，如果A=40，那么BEC=；如果BEC 的周长为 20cm，那么底边 BC=。三、解答题1.如图，已知MON 的边 OM 上有两点 A、B，边 ON 上有两点 C、D，且 ABCD，P 为MON的平分线上一点。问：（1）ABP 与PCD 是否全等？请说明理由。（2）ABP 与PCD 的面积是否相等？请说明理由。2、如图，在锐角ABC 中，ABC2C，ABC 的平分线与 AD 垂直，垂足为 D，求证：AC2BD。3.如图已知：RtABC 中，C=90，D

28、EAB 于 D，BC=1，AC=AD=1。求：DE、BE 的长。4.如图已知：ABC 中，BC=2AB，D、E 分别是 BC、BD 的中点。求证：AC=2AEhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网5.如图已知：ABC 中，ABC 的平分线与ACB 的外角平分线交于 D，DEBC 交 AB 于 E，交 AC 于 F。求证：BE=EF+CF6.若ABC 的三边长分别为 m2-n2，m2+n2，2mn。（mn0）求证：ABC 是直角三角形来源:学科网 ZXXKhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网参考答案一.1.D 2.A.3.C 4.C 5.A

29、6.C 7.A 8.A 9.C 10.B 11.C 12.C二.1.钝角 2.6x12 3.45或 1354.50，20 5.246.30，8cm三、1.（1）不一定全等，因ABP 与PCD 中，只有 ABCD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。（2）面积相等，因为 OP 为MON 平分线上一点，故 P 到边 AB、CD 上的距离相等，即ABP 中 AB 边上的高与PCD 中 CD 边上的高相等，又根据 ABCD（即底边也相等）从而ABP 与PCD 的面积相等。2.提示：延长 AD 交 BC 于点 M。3.解：BC=AC=1C=90，则：B=45AB2=BC2+AC2=2，AB

30、=2又 DEAB，B=45DE=DB=AB-AD=21BE=2DE=2（21）=224.证明：延长 AE 到 F，使 AE=EF，连结 DF，在ABE 和FDE 中，BE=DE，AEB=FEDAE=EF ABE FDE（SAS）B=FDE，DF=ABD 为 BC 中点，且 BC=2ABDF=AB=BC=DC而：BD=BC=AB，BAD=BDAADC=BAC+B，ADF=BDA+FDEADC=ADFhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网DF=DC（已证）ADFACD（SAS）ADF=ADC（已证）AD=AD（公共边）AF=ACAC=2AE5：证明：DEBCDB 平分ABC，CD 平分ACMEBD=DBC=BDE，ACD=DCM=FDCBE=DE，CF=DF而：BE=EF+DFBE=EF+CF6：证明：（m2-n2）+（2mn）2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）ABC 是直角三角形