2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷含答案）.doc

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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷，含答案）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不

2、准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的巳知全集，集合和的关系的韦恩（enn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A个 个个 无穷个设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位， 若函数是函数的反函数，其图像经过点，则 已知等比数列满足，且，则当时， 5给定下

3、列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是和 和 .和 和6一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知成角，且的大小分别为和，则的大小为 72010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有36种 12种

4、18种 48种8已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A在时刻，甲车在乙车前面 B时刻后，甲车在乙车后面C在时刻，两车的位置相同D时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（题）随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的 ，s表示的样本的数字特征是 （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”“：=”）若平面向量满足，平行于轴，则 11巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为

5、12，则椭圆的方程为 12已知离散型随机变量的分布列如右表若，则 ， （二）选做题（13 15题，考生只能从中选做两题）13（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则 14（不等式选讲选做题）不等式的实数解为 15(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点， 且，则圆的面积等于 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16(本小题满分12分）已知向量互相垂直，其中（1）求的值；（2）若，求的值17（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照

6、区间进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中的值； （2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示已知）18（本小题满分分）如图，已知正方体的棱长为，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影（）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（）证明：直线；（）求异面直线所成角的正统值19（本小题满分分）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（）若点是线段的中点，试求线段的中点的

7、轨迹方程；（）若曲线与点有公共点，试求的最小值20（本小题满分分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（）如何取值时，函数存在零点，并求出零点21（本小题满分分）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（）求数列的通项公式；（）证明：2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、 选择题1-8 B .C. B. C D. D A A.二。、填空题（一）必做题9.【解析】；平均数11.【解析】或，则或11.【解析】，则所求椭圆方程为.12.【解析】由题知，解得，.(二)选做题13.【解析】，得.14.【解

8、析】且15.【解析】解法一：连结、，则，则；解法二：，则.三、解答题16. 解：（1）与互相垂直，则，即，代入得，又，.（2），则，.17. 解：（1）由图可知，解得；（2）；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.18. 解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，.（2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，则，即，又，平面.（3），则，设异面直线所成角为，则.19. 解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐

9、标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.xAxBD（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.20. 解：（1）依题可设 ()，则； 又的图像与直线平行 ， ， 设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 （2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，即；若，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.21. 解：（1）设直线：，联立得，则，（舍去），即，（2）证明：由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即.- 10 -