四川省成都七中2015届高三数学零诊模拟考试试题（含解析）新人教A版.doc

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1、成都七中2015届零诊模拟考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟【试卷综析】试题紧扣教材，内容全面，题型设计合理、规范，体现了新课程数学教学的目标和要求，能较全面的考查学生对数学思想方法的应用及数学知识的掌握情况。本试题知识点覆盖面广，重视基本概念、基础知识、基本技能的考察，同时也考查了逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。难度、区分度都很好，以基础题为主，但又穿插有一定梯度和灵活性的题目，总体而言，通过这次模拟考试，能够起到查漏补缺，发现薄弱章节，便于调整复习的作用，也能够让学生自己了解掌握基本知识和基本技能的实际情况，做到复习心中有数.一

2、、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【知识点】命题的否定【答案解析】C 解析 ：解：命题是全称命题，命题的否定是：，故选：C 【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论2设集合，则（ ）A B. C. D.【知识点】交集及其运算【答案解析】B 解析 ：解：=x丨1x3，=y|1y4，则AB=x|1y3，故选：B【思路点拨】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论3在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（ ）A B. C. D.【知识点】极坐标与直角坐标的互化，

3、简单曲线的极坐标方程求解.【答案解析】D 解析 ：解：先将极坐标化成直角坐标表示，化为（2,0），过（2,0）且平行于x轴的直线为y=2，再化成极坐标表示，即sin=2.故选：D 【思路点拨】先将极坐标化成直角坐标表示，过（2,0）且平行于x轴的直线为y=2，再化成极坐标表示即可4.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）A B. C. D. 【知识点】指数函数的图像与性质【答案解析】A 解析 ：解：实数x，y满足axay（0a1），xy，A当xy时，x3y3，恒成立，B当x=，y=时，满足xy，但sinxsiny不成立C若ln（x2+1）ln（y2+1），则等价为x2y2成立，当x=1，y

4、=1时，满足xy，但x2y2不成立D若，则等价为x2+1y2+1，即x2y2，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立故选：A【思路点拨】不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质依此判断即可.5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【知识点】由三视图还原实物图菁优【答案解析】D 解析 ：解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形故选D【思路点拨】由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正

5、确答案6. 对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( )A B.C. D.【知识点】抽象函数及其应用【答案解析】A 解析 ：解：对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，函数的对称轴是x=a，a0，选项B、C、D函数没有对称轴；函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项A正确故选：A【思路点拨】由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后依次判断选项即可7.执行右图程序框图，如果输入的，均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【知识点】程序框图【答案解析】D

6、 解析 ：解：若x=t=2，则第一次循环，12成立，则M= 22，S=2+3=5，k=2，第二次循环，22成立，则M= 22，S=2+5=7，k=3，此时32不成立，输出S=7，故选：D【思路点拨】根据条件，依次运行程序，即可得到结论8.设满足约束条件，则的最大值为（ ）A.10 B.8 C.3 D.2【知识点】线性规划的简单应用【答案解析】B 解析 ：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=2x-y得y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点C时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大由解得即C（5，2）代入目标函数z=2x-y，得z=25-2

7、=8故选：B【思路点拨】作出不等式组表示的平面区域，由z=2x-y可得-z表示直线z=2x-y在直线上的截距，截距-z越小，z越大，利用数形结合可求z的最大值B A D C. P9 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）A4个 B.6个 C. 10个 D.14个【知识点】新定义.【答案解析】C 解析 ：解：分以下两种情况讨论：（1）点P到其中两个点的的距离相等，到另外两个点的距离分别相等，且这两个距离相等，此时点P位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P到其中三个点的的距

8、离相等，到另外一个点的距离与它到其它三个点的距离不相等，此时点P在正四面体各侧面的中心，符合条件的有4个点；综上，满足题意的点共计10个，故答案选C.【思路点拨】抓住已知条件中的关键点进行分类讨论即可.10.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D.【知识点】正弦函数的图象和性质;函数的零点的定义;正弦函数的定义域和值域【答案解析】B 解析 ：解：由题意可得，f（x0）=，且 =k+，kz，即 x0=m再由x02+f（x0）2m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，m2 m2+3，m24 求得 m2，或m2，故选：B【思路点拨】由题意可得，

9、f（x0）=，且 =k+，kz，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 m2+3，由此求得m的取值范围二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.设向量满足,则 【知识点】平面向量数量积的运算【答案解析】1 解析 ：解：,分别平方得两式相减得，即，故答案为：1【思路点拨】将等式进行平方，相加即可得到结论12.设的内角 的对边分别为，且，则 【知识点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系【答案解析】 解析 ：解：C为三角形的内角，cosC=，sinC=，又a=1，b=2，由余弦定理c2=a2+b22abcosC得：c2=1+41=4，解得：c=2，又si

10、nC=，c=2，b=2，由正弦定理=得：sinB=故答案为：【思路点拨】由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值13. 已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数= 【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质【答案解析】 解析 ：解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得2=1，故a=故答案为：【思路点拨】根据抛物线的焦半径公式得1+

11、=5，p=8取M（1，4），由AM的斜率可求出a的值【典型总结】本题考查双曲线和性质和应用，解题时要注意抛物线性质的应用14.随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率为 . 【知识点】几何概型【答案解析】 解析 ：解：由已知得半圆（a0）则半圆的面积S=其中原点与该点的连线与x轴夹角小于的平面区域面积为：S1=故原点与该点的连线与x轴夹角小于的概率P=故答案为：【思路点拨】根据已知条件，分别求出题目中半圆的面积，再求出满足条件原点与该点的连线与x轴夹角小于的事件对应的平面区域的面积，然后代入几何概型，即可得到答案【典

12、型总结】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解15、设函数在其定义域D上的导函数为，如果存在实数a和函数，其中对任意的，都有，使得则称函数具有性质，给出下列四个函数：； ； 其中具有性质的函数 【知识点】命题的真假判断与应用【答案解析】 解析 ：解：f（x）=x22x+1，若f（x）=h（x）（x22x+1），即x22x+1=h（x）（x22x+1），所以h（x）=10，满足条件，所以

13、具有性质P（2）函数f（x）=lnx+的定义域为（0，+），所以，当x（0，+）时，h（x）0，所以具有性质P（2）f（x）=（2x4）ex+（x24x+5）ex=（x22x+1）ex，所以h（x）=ex，因为h（x）0，所以具有性质P（2），若，则，因为h（1）=0，所以不满足对任意的xD都有h（x）0，所以不具有性质P（2）故答案为： 【思路点拨】因为a=2，所以先求出函数f（x）的导函数f（x），然后将其配凑成f（x）=h（x）（x22x+1）这种形式，分别求出h（x），然后确定h（x）是否满足对任意的xD都有h（x）0三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，2

14、0题13分，21题14分）16. 已知函数（）求函数f(x)的定义域及最大值；（）求使0成立的x的取值集合【知识点】三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦【答案解析】（）定义域为x|xR，且xk，kZ最大值为（）x的取值集合为x|x且，kZ解析 ：解：（） cosx0知，kZ，即函数f(x)的定义域为x|xR，且xk，kZ3分又 ， 8分（）由题意得，即，解得，kZ，整理得x，kZ结合xk，kZ知满足f(x)0的x的取值集合为x|x且，kZ12分【思路点拨】（1）根据函数f（x）的解析式可得cosx0，求得x的范围，从而求得函数f （x）的定义域再利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）

15、的解析式为，从而求得函数的最大值（2）由题意得，即，解得x的范围，再结合函数的定义域，求得满足f（x）0 的x的取值集合17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？第（17）题图（）在（）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【知识点】等可能事件的概率；频率分布直方图【答案解析】（）应从

16、第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.（）概率为解析 ：解：第3组的人数为0.3100=30, 第4组的人数为0.2100=20, 第5组的人数为0.1100=10. 3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:6=3; 第4组:6=2; 第5组:6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 6分(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(

17、A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. 8分其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种,10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为12分【思路点拨】）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（）从6名志愿者中抽取2名志愿者有15种情况，其中

18、第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中有9种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出【典型总结】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键18.在四棱锥中，平面，,.()求证：；()求与平面所成角的正弦值；()线段上是否存在点,使平面？说明理由.【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算【答案解析】（）见解析（）()存在， E为线段PB的中点，AE平面PBC 解析 ：解：()在四棱锥中，因为平面，平面, 所以. 因为， 所以.因为,所以平面.因为平面

19、,所以. 4分() 如图,以为原点建立空间直角坐标系.不妨设,则.则. 所以，.设平面的法向量.所以 .即.令，则.所以 所以所以与平面所成角的正弦值为. 8分（）（法一）当E为线段PB的中点时，AE平面PBC如图：分别取PB，PC的中点E，F，连结AE，DF，EFEFBC，且ADBC，且，ADEF，且AD=EF四边形AEFD是平行四边形AEDFPD=CD，三角形PCD是等腰三角形所以.因为平面， 所以.因为,所以平面.所以平面.即在线段上存在点,使平面. （法二）设在线段上存在点,当时，平面.设，则.所以.即.所以.所以.由()可知平面的法向量.若平面，则.即.解得.所以当，即为中点时，平面

20、. 12分【思路点拨】（）通过证明BC平面PCD，然后证明BCPC；（）通过建立空间直角坐标系，求出设平面PBC的法向量，然后求解PA与平面PBC所成角的正弦值；（）法一：当E为线段PB的中点时，AE平面PBC分别取PB，PC的中点E，F，连结AE，DF，EF证明四边形AEFD是平行四边形然后证明AE平面PBC即可推出线段PB上是否存在点E，使AE平面PBC法二，利用空间直角坐标系，通过向量共线，求出点的坐标即可【典型总结】本题考查空间点的坐标的求法，直线与平面所成的角的求法，直线与平面垂直的判断与性质的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力19.已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的

21、前n项和（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和【知识点】数列递推式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和【答案解析】(1) , (2) 解析 ：解：（1）等差数列为递增数列，且是方程的两根， 令n=1，得，当n2时， ，两式相减得，（n2），数列bn是以为首项，为公比的等比数列（nN*）（2），=+=【思路点拨】（1）通过解方程x212x+27=0的两根，及公差d0即可得到a2，a5，再利用等差数列的通项公式即可得到a1与d及an；当n2时， ，两式相减得，再利用等比数列的通项公式即可得出；（2）利用（1）的结论即可得出，利用裂项求和即可20巳知椭圆的长轴长为，且与

22、椭圆有相同的离心率.(I )求椭圆的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁【答案解析】（）（）存在， 圆的方程，. 解析 ：解：(I )椭圆的长轴长为，故，又与椭圆有相同的离心率,故所以椭圆M的方程为.3分(II)若的斜率存在，设因与C相切，故，即.5分又将直线方程代入椭圆M的方程得设由韦达定理得+=，.(6分)由得到+=0，.(7分)化简得，联立得。综上所述，存在圆.(8分)由得=.11分当时，又当k不存在时，故为所求.13分【思路点拨】（I）

23、根据离心率为e=，点P是椭圆上的一点，且点P到椭圆E两焦点的距离之和为，求出几何量，从而可求椭圆E的方程；（II）先假设存在，设该圆的切线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及，可确定m的范围及所求的圆的方程，验证当切线的斜率不存在时，结论也成立21. 已知函数是奇函数，的定义域为当时，这里，e为自然对数的底数(1)若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；(2)如果当x1时，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)试判断 与的大小关系，这里,并加以证明【知识点】综合法与分析法(选修）；函数模型的选择与应用；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等关系与不等式【答案解析】(1) (2) (3) 解析

24、：解：时， 2分（1）当x0时，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值由题意，且，解得所求实数的取值范围为 4分（2）当时， 令，由题意，在上恒成立 令，则，当且仅当时取等号 所以在上单调递增，6分 因此， 在上单调递增， 所以所求实数的取值范围为 8分（3）(方法一)由（2），当时，即，即 从而.10分令，得 ， 将以上不等式两端分别相加，得 14分（方法二）时， 猜想对一切成立。欲证对一切成立，只需证明 而，而所以所以成立，所以猜想正确.【思路点拨】（1）依题意，可求得当x0时，f（x）=，从而可知f（x）=，利用f（x）0可求得0x1；f（x）0x1，依题意即可求得实数a的取值范围；（2）依题意，可转化为求k（x1）恒成立问题，构造函数g（x）=（x1），利用导数法可求得g（x）min=g（1）=2，从而可得实数k的取值范围；（3）由（2）知，当x1时，f（x）lnx11，令x=（k=1，2，n），得ln1，ln1，ln1，将以上不等式两端分别相加即可- 15 -