2014届高三数学精品复习16 双曲线及其性质.doc

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1、2014届高三数学精品复习之双曲线及其性质1方程表示双曲线0, 0，双曲线的标准方程是：，a2=,b2=-,焦点在x轴上；若0，双曲线的标准方程是：，a2=,b2=-，焦点在y轴上。举例已知是常数，若双曲线的焦距与的取值无关，则的取值范围是： （ ）A-25 C-20 D02解析：方程表示双曲线(-5)(2-|)0-20或05；当-20时，方程为：，a2=2+，b2=5-，则c2=7与无关；当05时，方程为：，a2=-5，b2=-2，则c2=2-7，与有关；故选C。巩固1若表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是 。巩固2双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则A B C D2双曲线关于x

2、轴、y轴、原点对称；P(x,y)是双曲线上一点，则|x|a,yR，双曲线的焦准距为，双曲线的通经（过焦点且垂直于实轴的弦）长为2；过焦点的弦中，端点在同一支上时通经最短，端点在两支上时实轴最短。等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为；反比例函数的图象是一个经过旋转的等轴双曲线，渐近线为两坐标轴，对称轴为直线。举例1 双曲线的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点，依次为O、F、A、H，当|HF|AF|时，的最大值为 。解析：|HF|=，|AF|=c-a,(c-a)c2ae2=e-,记f(e)= e-,函数f(e)在（1，2上递增，f(e)f(2)= .举例2已知函数的图象是平面上到两定点距离之差

3、的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长为 解析：双曲线的实轴所在的直线为y=x，实轴与双曲线的交点即顶点为A1（1，1）和A2（-1，-1），2a=|A1A2|=2,此即“定长”。注：我们可以再由等轴双曲线的性质得：c=2,进而得该双曲线的焦点坐标为（-，-），（，）。巩固1 双曲线的右准线与两条渐近线交于A、B两点，右焦点为F，且=0，那么双曲线的离心率为 （ ）A B C2 D巩固2 过双曲线2x2-y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有 条。迁移已知双曲线的实轴A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点

4、F在平面A1 B1B2内的射影恰好是该双曲线左顶点A1，则直线B1F与平面A1 B1B2所成角的正切值为 。3.熟悉双曲线的渐近线的几何特征（无限接近双曲线但与双曲线不相交）和代数特征（渐近线方程是双曲线标准方程中的“1”换为“0”）；平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，但不相切（体现在代数上：直线方程代入曲线方程得到的是一次方程）。已知渐近线方程为：，则双曲线方程为：，其中是待定的参数（渐近线不能唯一地确定双曲线）。双曲线的焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b。举例1双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为： A B CD （ ）解析：双曲线的渐近线方程为：即y =x，（0）=，

5、双曲线方程为：，离心率为 ，选B。举例2已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）解析：根据双曲线的图形特点知，双曲线渐近线的倾角大于或等于600时，过焦点且倾斜角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，于是有c2-a23a2,得e2。巩固1与双曲线有共同渐近线，且过的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是：（ ） A BCD巩固2曲线C：x2-y2=1,(x0) 上一点P（a,b）到它的一条斜率为正的渐近线的距离为它的离心率，则a+b的值是 ；曲线C的左焦点为F，M（x,y）(y0) 是曲线C上的动

6、点，则直线MF的倾角的范围是 . 迁移曲线C：与直线y=kx+1有两个不同的公共点，则k的取值范围是 。4研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；关注定义中的“绝对值”，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的。举例1已知向量=(,),=(,-)，双曲线=1上一点M到F(7,0)的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|=A B C D或解析：双曲线方程为：，左支上的点到右焦点F(7,0)的距离的最小值为12，M是双曲线右支上的点，记左焦点为F/，则|MF/|-|MF|=2a，即|MF/|=21，在MFF/中，ON中位线，|ON|=，故选C。注：本题中，若将M到

7、F(7,0)的距离换为13，将有两种情况（M可能在双曲线的右支上，也可能在左支上）。XYF1F2QMPO举例2 设双曲线（a，b0）两焦点为F1、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F2作F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M点轨迹是（ ） A椭圆的一部分； B双曲线的一部分；C抛物线的一部分； D圆的一部分解析：不妨设Q在双曲线的右支，延长F2M交QF1于P，在QF1F2中，QM既是角平分线又是高，故|QP|=|QF2|，又|QF1|-|QF2|=2a，|QF1|-|QP|=2a即|PF1|=2a，在PF1F2中，MO是中位线，|MO|=a,M点轨迹是圆的一部分，选D。巩固1已知点

8、P在双曲线的左支上， 点M在其右准线上，F1是双曲线的左焦点，且满足：， =，则此双曲线的离心率为 。巩固2F1，F2分别为双曲线（0,0）左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若最小值为8，则双曲线的离心率e的取值范围是 。迁移P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为 （ ）A6 B7 C8 D95研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，在运用定义的同时还经常用到正、余弦定理。举例1 双曲线的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则P F1F2的面积为 （ ） A

9、 B1 C2 D4 解析：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|-|PF2|=2 |PF1|+|PF2|=2 ，由解得：|PF1|=+，|PF2|=-，得：|PF1|2+|PF2|2=4+4=|F1F2|2，PF1PF2，又由分别平方后作差得：|PF1|PF2|=2，选B。举例2等轴双曲线x2-y2=a2,(a0)上有一点P到中心的距离为3，那么点P到双曲线两个焦点的距离之积等于 。解析：由“平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和”得：2（|PF1|2+|PF2|2）=36+4c2,又c2=2 a2，得|PF1|2+|PF2|2=18+4 a2 ，而|PF1|-|P

10、F2|=2 a 由 -2得：|PF1|PF2|=9。巩固1 已知椭圆与双曲线（0, 0）具有相同的焦点F1，F2，设两曲线的一个交点为Q，QF1F2=900，则双曲线的离心率为 。巩固2 双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为则PF1F2面积为：A16B32C32D42提高 设双曲线（a，b0）两焦点为F1、F2，点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，则PF1F2的内心的横坐标为 （ ）Aa Bc C D与P点的位置有关 答案1、巩固1（1，+），巩固2A；2、巩固1A，巩固2 3，迁移；3、巩固1 C，巩固2 -，（0，迁移 （-，-1）；4、巩固12，巩固2（1，3，迁移D；5、巩固1，巩固2 A，提高记PF1F2的内切圆圆心为C，边PF1、PF2、F1F2上的切点分别为M、N、D，易见C、D横坐标相等，|PM|=|PN|，|F1M|=|F1D|，|F2N|=|F2D|，由|PF1|-|PF2|=2a，即：|PM|+|MF1|-(|PN|+|NF2|)=2a,得|MF1|-|NF2|=2a 即|F1D|-|F2D|=2a，记C的横坐标为x0,则D（x0,0）,于是：x0+c-（c- x0）=2a ,得x0=a，故选A。- 5 -