2009-2010学年高三数学140分突破一轮复习必备精品10doc--高中数学 .doc

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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网第十章不等式第十章不等式1理解不等式的性质及其证明2掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式4掌握简单不等式的解法5理解不等式|a|b|ab|a|b|不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用高考试题中有以下几个明显的特点：1不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题2选择题，填空题和解答题三种题型中均有

2、各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关3不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视第第 1 课时课时不等式的概念和性质不等式的概念和性质1、实数的大小比较法则：设 a，bR，则 ab；ab；ab定理 2（同向传递性）ab，bc定理 3abac bc推论ab，cd定理 4ab，c0ab，cb0，cd0推论 2ab0nnba(nN 且 n1)定理 5ab0nanb(nN 且 n1)例例 1.设 f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中 x0，x1比较 f(x)与 g(x)的大小.解：解：(1)(x2y2)(xy)(

3、x2y2)(xy)(2)aabbabba变式训练变式训练 1：不等式 log2x+3x21 的解集是_.答案：答案：x|23x3 且 x1,x0。解析解析：2231023xxx或202313,11,00,3223xxxx 。例例 2.设 f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中 x0，x1比较 f(x)与 g(x)的大小.解：解：当 0 x1 或 x34时，f(x)g(x)；当 1x34时，f(x)g(x)；当 x34时，f(x)g(x).变式训练变式训练 2：若不等式(1)na2nn 1)1(对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是.例例 3.函数)(xfax2bx 满足

4、：1)1(f2，2)1(f4，求)2(f的取值范围解：由 f(x)ax2bx 得f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2ba21f(1)f(1)，b21f(1)f(1)则 f(2)2f(1)f(1)f(1)f(1)3f(1)f(1)由条件 1f(1)2，2f(1)4可得 3123f(1)f(1)324得 f(2)的取值范围是 5f(2)10.变式训练变式训练 3：若 13，42，则|的取值范围是.典型例题典型例题http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解：解：(3，3)例例 4.已知函数 f(x)x2axb，当 p、q 满足 pq1 时，试证明：pf(x)qf(y)f

5、(pxqy)对于任意实数 x、y 都成立的充要条件是 op1.证明证明：pf(x)qf(y)f(pxqy)pq(xy)2p(1p)(xy)2充分性：当 0p1 时，2)(1(yxpp0从而)()()(qypxfyqfxpf必要性：当)()()(qypxfyqfxpf时，则有2)(1(yxpp0，又2)(yx 0，从而)1(pp0，即 0p1综上所述，原命题成立变式训练变式训练 4：已知 abc，abc0，方程 ax2bxc0 的两个实数根为 x1、x2(1)证明：21ab1；(2)若 x21x1x2x221，求 x21x1x2x22；(3)求|x21x22|解：解：(1)abc，abc0，3a

6、abc，abab，a0，1abab1121ab(2)（方法 1）abc0ax2bxc0 有一根为 1，不妨设 x11，则由1222121xxxx可得,0)1(22xx而)03(0212cbacacxxx，x21，3222121xxxx(方法 2)acxxabxx2121,由222221221222121)(abacabxxxxxxxx1122abababa，,022abab,0,121abab2121222121xxxxxxx3)(21212212122abaxxxxx(3)由(2)知，1)1()(11222222221ababaacxx2121ab，4)1(412ab31)1(432ab3,

7、02221 xx归纳小结归纳小结http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网1不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系2使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号3关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“AB(或BA)”第第 2 课时课时算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数1a0，b0 时，称为 a，b 的算术平均数；

8、称为 a，b 的几何平均数2定理 1如果 a、bR，那么 a2b22ab（当且仅当时 取“”号）3定理 2如果 a、bR，那么2ba（当且仅当 ab 时取“”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数4已知 x、yR，xyP，xyS.有下列命题：(1)如果 S 是定值，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值(2)如果 P 是定值，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值例例 1设 a、bR，试比较2ba，ab，222ba，ba112的大小解：解：a、bR+，ba112ab1即ba112ab，当且仅当 ab 时等号成立又42)2(222abbaba42222baba222ba 2ba 222b

9、a 当且仅当 ab 时等号成立而ab2ba 于是ba112ab2ba 222ba(当且仅当 ab 时取“”号)说明：题中的ba112、ab、2ba、222ba 分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明变式训练变式训练 1：（1）设,aRb，已知命题:p ab；命题222:22ababq，则p是q成典型例题典型例题基础过关基础过关http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网立的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解解：B.解析：ab是22222abab等号成立的条件（2）若,a

10、 b c为ABC 的三条边，且222,Sabcpabbcac，则（）A2SpB2pSpCSpD2pSp解：解：D解析：2222221()()()()0,2SpabcabbcacabbcacSp，又222222222|,|,|,2,2,2abc bca acbaabbc bbccaaaccb2222(),2abcabbcacSp。（3）设 x 0,y 0,yxyxa1,yyxxb11，a 与 b 的大小关系（）Aa bBa 0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式.解：解：mbmaba解析:由盐的浓度变大得例例 2.已知 a，b，x，yR+（a，b 为常数），1ybxa，求 xy 的最小

11、值.解：解：ab2ab变式训练变式训练 2：已知 a，b，x，yR+（a，b 为常数），ab10，1ybxa，若 xy 的最小值为 18，求 a，b 的值解解：，82ba或.28ba，例例 3.已知 a,b 都是正数，并且 a b，求证：a5+b5 a2b3+a3b2解解：证：(a5+b5)(a2b3+a3b2)=(a5 a3b2)+(b5 a2b3)=a3(a2 b2)b3(a2 b2)=(a2 b2)(a3 b3)=(a+b)(a b)2(a2+ab+b2)a,b 都是正数，a+b,a2+ab+b2 0又a b，(a b)2 0(a+b)(a b)2(a2+ab+b2)0即：a5+b5 a

12、2b3+a3b2变式训练变式训练 3：比较下列两个数的大小：http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（1）；与3212（2）5632与；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明解解：（1）3212,（2）5632（3）一般结论：若231nnnnNn则成立证明证明欲证231nnnn成立只需证23111nnnn也就是231nnnn（）Nn13,2nnnn从而（*）成立，故231nnnn)(Nn例例 4.甲、乙两地相距 S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过 c（千米/小时）已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成可变部分与速

13、度 v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数 b；固定部分为 a 元(1)试将全程运输成本 Y(元)表示成速度 V(千米/小时)的函数.(2)为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？解解:(1)依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs,全程运输成本为 yavsbv2vss(vabv)，故所求函数及其定义域为 ys(vabv)v(0,c)(2)s、a、b、vR+，故 s(vabv)2sab当且仅当vabv 时取等号，此时 vba若bac 即 vba时，全程运输成本最小若bac，则当 v(0，c)时，ys(vabv)s(cabc)vcs(cv)(abcv)cv0，且 abc2，

14、故有 abcvabc20 s(vabv)s(cabc)，且仅当 vc 时取等号，即 vc 时全程运输成本最小变式训练变式训练 4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：第一种传统方法是建造一台超级计算机 此种方法在过去曾被普遍采用 但是人们逐渐发现建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作站)组成一个计算网络这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个工作站的效能之和假设计算机的计算能力的单

15、位是 MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为6000MIPS 的传统巨型机的成本为 100 万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为300MIPS，其价格仅为 5 万元需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为 600 万元请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？解：解：设投入的资金为x万元，两种方法所能达到的计算能力为21,yyMIPS，则xky11把100 x，60001y代入上式得6001k，又)600(22xky，当5600 x时，3002y代入上式得602k，由2y1y得)600(60 xx600，

16、即60010 xx0，解得x900(万元)答：在投入费用为 900 万元以上时，建造新型的分布式计算系统更合算。1在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件2在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”变量为正数，“二定”和或积为定值，“三相等”等号应能取到，简记为“一正二定三相等”第第 3 课时课时不等式证明（一）不等式证明（一）1比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式(1)作差比较法，它的依据是：babababababa000它的基本步骤：作差变形判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理

17、化等(2)作商比较法，它的依据是：若a0，b0，则babababababa111它的基本步骤是：作商变形判断商与 1 的大小它在证明幂、指数不等式中经常用到基础过关基础过关归纳小结归纳小结http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论3分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立例例 1.已知0,0b

18、a，求证：baabba证法 1：)(baabbaababbaba)()()(33abbababa)(2)(22abbaba2)(ba 0，ab0，0)(2ba0)(baabba即baabba证法 2：ababbaabbababaabba)()()(3311)(2abbabaabba故原命题成立，证毕变式训练变式训练 1：已知 a、b、x、yR+且a1b1，xy.求证：axxbyy解：证法一解：证法一：(作差比较法)axxbyy）（byaxaybx，又a1b1且 a、bR+，ba0.又 xy0，bxay.）（byaxaybx0，即axxbyy.典型例题典型例题http:/ 永久免费组卷搜题网ht

19、tp:/ 永久免费组卷搜题网证法二：证法二：(分析法)x、y、a、bR+，要证axxbyy，只需证明 x(y+b)y(x+a)，即证 xbya.由a1b10，ba0.又 xy0，知 xbya 显然成立.故原不等式成立.例例 2.已知 a、bR+，求证：)(22)1)(abbababa证明：abba2，因此要证明原不等式成立，则只要证)(21baba由于)(21baba0)22()22(22ba所以)(21baba从而原不等式成立变式训练变式训练 2：已知 a、b、cR，求证：cbabcba234222证明：左边右边cbabcba234222)812416444(41222cbabcba0)1(

20、4)2(3)2(41222cbbacbabcba234222例例 3.已知ABC 的外接圆半径 R1，41ABCS，a、b、c是三角形的三边，令cbas，cbat111求证：st 证明：证明：RabcRcabCabSABC4221sin21又 R1，41ABCS1abcabcabccbas111211211211baaccbtcba111ts 但st 的条件是1cba，此时43ABCS与已知矛盾st 变式训练变式训练 3：若,a b c为ABC 的三条边，且222,Sabcpabbcac，则（）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网A2SpB2pSpCSpD2pSp答

21、案答案:D解析：2222221()()()()0,2SpabcabbcacabbcacSp，又222222222|,|,|,2,2,2abc bca acbaabbc bbccaaaccb2222(),2abcabbcacSp。例例 4.设二次函数)0()(2acbxaxxf，方程0)(xxf的两个根1x、2x满足axx1021(1)当 x(0，x1)时，证明：xf(x)x1(2)设函数 f(x)的图象关于直线 xx0对称，证明：x0(n)f(n)例例 4.证明：23112122xxx证明：证明：设1122xxxy，则(1y)x2x1y0(1)当 y1 时，xR，14(1y)20得)1(232

22、1yy(2)当 y1 时，由(1y)x2x1y0 得 x0而 x0 是函数1122xxxy的定义域中的一个值；y1 是它值域中的一个值.综合(1)和(2)可知，2321 y，即23112122xxx变式训练 4：设二次函数)0()(2aRcbacbxaxxf且、，若函数)(xfy 的图象与直线xy 和xy均无公共点(1)求证：142bac(2)求证：对于一切实数x恒有|41|2acbxax证明：(1)由 ax2(b1)xc0 无实根，得1(b1)24ac0由 ax2(b1)xc0 无实根得2(b1)24ac1(2)4acb210，a(xab2)2与abac442同号，axbxc a(xab2)

23、2abac442a(xab2)2abac442abac442a411凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法2在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进归纳小结归纳小结http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性3放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等4含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制第第 5 课时课时绝对值不等

24、式的应用绝对值不等式的应用1、有关绝对值不等式的主要性质：|x|)0()0(0)0(xxxxx|x|0|a|b|ab|a|b|ab|，ba(b0)特别：ab0，|ab|，|ab|ab0，|ab|，|ab|2、最简绝对值不等式的解法|f(x)|a；|f(x)|a；a|f(x)|b 对于类似 a|f(x)|b|g(x)|c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解例例 1.解不等式：|x23x4|x1解解:xx1 或1x3 或 x5变式训练变式训练 1：若不等式|x4|x3|a 对一切实数 x 都成立，则实 数 a 的取值范围是（）Aa1Ba1Ca1Da1解解:D例例 2.设 f(

25、x)x2xb，|xa|1，求证：|f(x)f(a)|0)，当 a4 时，求)()()(xfxgaxf的最小值；若不等式)()()(xfxgaxf1 对 x1,4恒成立，求 a 的取值范围典型例题典型例题基础过关基础过关http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解解:(1)a4 时，最小值 15；(2)1)()()(xfxagxf，x1，4恒成立等价变形后，只要 a(tta)2，t1，2恒成立(tx)设 h(t)a(tta)，h(t)a(12ta)当 0ta时，h(t)0，h(t)单调递减；当 ta时，h(t)0，h(t)单调递增；当 ta时，h(t)0，h(a)为极小值；

26、这样对于 t1，2有a2 时，h(t)minh(2)a(22a)2a4 1a2 时，h(t)minha2aa2 1a4 0a1 时，h(t)minh(1)a(a1)无解综上知：a1变式训练变式训练 3：已知适合不等式|x24xp|x3|5 的 x 的最大值是 3，求 p 的值解解:P8例例 4.设 a、bR，已知二次函数 f(x)ax2bxc，g(x)cx2bxa，当x1 时，f(x)求证：g(1)；求证：当x1 时，|g(x)|4.证明证明(1)x1 时，f(x)2g(1)cbaf(x)2(2)当x1 时，g(x)cx2bxac(x21)bxacc(x21)bxaccabc224变式训练变式

27、训练 4：(1)已知：|a|1，|b|1，求证：|baab1|1；(2)求实数的取值范围，使不等式|baab1|1 对满足|a|1，|b|1 的一切实数 a、b 恒成立；(3)已知|a|1，若|abba1|1，求 b 的取值范围.(1)证明证明：|1ab|2|ab|21+a2b2a2b2(a21)(b21).|a|1，|b|1，a210，b210.|1ab|2|ab|20.|1ab|ab|，|1|baab|1|baba1.(2)解：解：|baab1|1|1ab|2|ab|2http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网(a221)(b21)0.b21，a2210 对于任意满足

28、|a|1 的 a 恒成立.当 a0 时，a2210 成立；当 a0 时，要使221a对于任意满足|a|1 的 a 恒成立，而21a1，|1.故11.(3)|abba1|1(abba1)21(a+b)2(1+ab)2a2+b21a2b20(a21)(b21)0.|a|1，a21.1b20，即1b1.1利用性质|a|b|ab|a|b|时，应注意等号成立的条件2解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解3绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合第第 6 课时课时含参数的不等式含参数的不等式含有参数的不等式可渗透到各类

29、不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式 而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点 解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键在分类讨论过程中要做到不重，不漏例例 1.已知 Ax|2ax2(2ab)xb，Bx|x，其中 b0，若 AB，求a、b 的取值范围解解:a21且 0b6变式训练变式训练 1：不等式11xax的解集是x|x2，则 a解:a21例例 2.已知关于 x 的不等式axax25m(x21)对满足2m2 的所有 m 都成立，求 x 的取值范围解解:271x231变式训练变式训练 3：若不

30、等式122)31(3xaxx对一切实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是解解:21a23例例 4.解关于 x 的不等式 ax222xax(aR)解解:a0 时，x1；a0 时，x1 或 xa2，2a0 时，a2x1；a2 时，x1；a2 时，1xa2变式训练变式训练 4：解关于 x 的不等式01224222aaaxx解：解：(1)当 2a10，即 a21时，原不等式为(x4a)(x6a)0当 a0 时，x(，4a)(6a，)当21a0 时，x当 a0 时，x(，0)(0，)(2)当 2a10，即 a21时，原不等式为(x4a)(x6a)x(6a，4a)综合以上，原不等式的解集为：当 a0

31、时，解集为(，4a)(6a，)http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网当21a0 时，解集为(，6a)(4a，)当 a21时，解集为(6a，4a)解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解能避免讨论的应设法避免讨论第第 7 课时课时不等式的应用不等式的应用1不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系2能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及

32、不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题例例 1.若关于 x 的方程 4xa2xa10 有实数解，求实数 a 的取值范围.解解:令 t2x(t0)，则原方程化为 t2ata10，变形得212)1(112tttta222)222(变式训练变式训练 1：已知方程 sin2x4sinx1a0 有解，则实数 a 的取值范围是（）A3，6B2，6C3，2D2，2解解:B例例 2.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出 设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比 现有制箱材料

33、 60 平方米 问当 a，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B 孔的面积忽略不计)解法一解法一：设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 yabk，其中 k0 为比例系数.依题意，即所求的 a，b 值使 y 值最小.根据题设，有 4b2ab2a60(a0，b0)，得 baa230(0a30)于是yabkaaak230226432aak典型例题典型例题基础过关基础过关归纳小结归纳小结http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网264234aak2642234aak18k当 a2264a时取等号，y 达到最小值.这时 a6，a10(舍去).将 a6 代

34、入式得 b3.故当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的 a，b 的值使 ab 最大.由题设知4b2ab2a60(a0，b0)，即a2bab30(a0，b0).因为a2b2ab2，所以ab22+ab30，当且仅当 a2b 时，上式取等号.由 a0，b0，解得 0ab18.即当 a2b 时，ab 取得最大值，其最大值为 18.所以 2b218.解得 b3，a6.故当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小变式训练变式训练 2：一批物资要用 11 辆汽车从甲地运到 360 千米外的乙地，若车速为 v 千

35、米/小时，两车的距离不能小于(10v)2千米，运完这批物资至少需要（）A10 小时B11 小时C12 小时D13 小时解解:C例例 3.已知二次函数 yax22bxc，其中 abc 且 abc0.（1）求证：此函数的图象与 x 轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截 x 轴所得线段的长为 l，求证：3l23.证明证明:(1)由 abc0 得 b(ac).(2b)24ac4(ac)24ac4(a2acc2)4(a2c)243c20.故此函数图象与 x 轴交于相异的两点.(2)abc0 且 abc，a0，c0.由 ab 得 a(ac)，ac2.由 bc 得(a+c)c，ac21.http:/ 永久

36、免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2ac21.l|x1x2|32142）（ac.由二次函数的性质知 l(3，23)变式训练变式训练 3：设函数 f(x)x22bxc(cb1)，f(1)0，且方程 f(x)10 有实根(1)证明：3c1 且 b0；(2)若 m 是方程 f(x)10 的一个实根，判断 f(m4)的正负，并加以证明证明证明:(1)210210)1(cbcbf又 cb1，故313121ccc又方程 f(x)10 有实根，即 x22bxc10 有实根故4b24(c1)0，即(c1)24(c1)0c3 或 c1由1313313cccc或由021bcb知(2)()1(2)(22

37、cxcxcxcbxxxf)1(xf(m)10cm1c4m43cf(m4)(m4c)(m41)0f(m4)的符号为正例例 4.一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距 S(千米)，水速为常量 p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为 q(千米/小时)(qp)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度 v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为 k 把全程燃料费用 y(元)表示为静水中速度 v 的函数，并求出这个函数的定义域 为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解解:(1)ykv2pvs，v(p，q(2)i)2pq 时，船的实际前进速度为 p；ii)2pq 时，船的实际前

38、进速度为 qp变式训练变式训练 4：某游泳馆出售冬季游泳卡，每张 240 元，使用规定：不记名，每卡每次只限 1人，每天只限 1 次某班有 48 名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为 40 元，若使每个同学游泳 8 次，每人最少交多少钱？解解:设购卡 x 张，总费用 y 元y240(xx64)3840 x8 时，ymin384038404880(元)答：每人最少交 80 元钱归纳小结归纳小结http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网不等式的应用主要有两类：一类是不等式在其它数学问题中

39、的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化 注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通 一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决不等式章节测试题不等式章节测试题一、选择题一、选择题1.关于 x 的不等式|x1|m 的解集为 R 的充要条件是（）Am0Bm1Cm0Dm12.若a、b是任意实数，且ba，则（）A22ba B1abC0)lg(baDba)21()21(3 若,hayhax则下列不等式一定成立的是（）Ahy

40、xBhyx2ChyxDhyx24 欲证7632，只需证（）A22)76()32(B22)73()62(C22)63()72(D22)7()632(5.设 x1，x2是方程 x2px40 的两个不相等的实根，则（）A|x1|2 且|x1|2 B|x1x2|4C|x1x2|4D|x1|且|x2|16.对一切正整数 n，不等式211nnbb恒成立，则 b 的范围是（）A(0,32)B(32,0C(52,),1(D(52,1)7.已知函数 f(x)0()0(22xxxxxx，则不等式 f(x)20 的解区间是（）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网A(2，2)B(,2)(2

41、,)C(1，1)D(,1)(1,)8.在 R 上定义运算(1)xyxy 若不等式()()1x ax a 对任意实数x恒成立，则（）A11a B02a C3122a D1322a 9 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据 lg20.3010，lg30.4771）（）A5B10C14D1510.集合1|01xAxx 、axxB1，则1a 是BA的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件二、填空题11若yxyx2,2416,4230则的取值范围是.12若不等式02baxx的解

42、集为32 xx，则ba.13实数 x 满足sin1log3x，则91xx的值为.14已知 a、b、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m，n)在直线 axby2c0 上，则 m2n2的最小值是15对 a，bR，记 max|a，b|babbaa，函数 f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是三、解答题16.若 a、b、c 都是正数，且 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc17已知函数 f(x)xaxx 22，x,1(1)当 a21时，求函数 f(x)的最小值；(2)若对任意 x,1，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围18（理）解关于 x 的不等式222

43、(1)21xaxxax （文）解关于 x 的不等式：2(1)1 0,(0)axaxa http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网19设函数 yf(x)的定义域为(0，)，且对任意 x、yR，f(xy)f(x)f(y)恒成立，已知 f(8)3，且当 x1 时，f(x)0(1)证明：函数 f(x)在(0，)上单调递增；(2)对一个各项均正的数列an满足 f(Sn)f(an)f(an1)1(nN*)，其中 Sn是数列an的前n 项和，求数列an的通项公式；(3)在()的条件下，是否存在正整数 p、q，使不等式)1(211121qpnaaan对nN*恒成立，求 p、q 的值20对

44、 1 个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1)(含污物物体质量污物质量）为 0.8，要求洗完后的清洁度是 0.99有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1a3)设用 x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0 xx(xa1)，用 y 质量的水第二次清洗后的清洁度是ayacy，其中 c(0.8c0.99)是该物体初次清洗后的清洁度(1)分别求出方案甲以及 c0.95 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(2)若采用方案乙，当 a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量

45、最少？并讨论 a 取不同数值对最少总用水量多少的影响21.已知条件 p：|5x1|a 和条件01321:2 xxq，请选取适当的实数 a 的值，分别利用所给的两个条件作为 A、B 构造命题：“若 A 则 B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.不等式章节测试题参考答案不等式章节测试题参考答案1.A2.D3.B4.C5.B6.C7.A8.D9.C10.A11.)10,18(12.113.814.415.23http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网16.证明：因为 a、b、c 都是正数，且 a

46、bc1，所以)()()1)(1)(1(bacacbcbaabcabacbc822217.解：(1)当 a21时，221)(xxxf，易证 f(x)在1，)上单调递增当 x1 时，f(x)minf(1)27(2)由 f(x)0 得022xaxxx1，)x22xa0a(x22x)，令 t(x22x)，x1，)则 t(x22x)1(x1)2当 x1 时，tmax1(11)23a318.(理)原不等式可化为：(1)(2)0()xxx x a 当 a1 时，原不等式的解集为 102x xaxx 或或 当01a 时，原不等式的解集为 102x xaxx 或或 当 a1 时，原不等式的解集为 02x xx

47、或 当20a 时，原不等式的解集为 12x xxa x 或0或 当 a0 时，原不等式的解集为 12x xx 或 当2a 时，原不等式的解集为 12x xxxa 或00，b0）的是最大值为 12，则23ab的最小值为().A.625B.38C.311D.4答案A解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z（a0，b0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而23ab=23 23131325()()26666abbaabab,故选A.【命题立意】:本

48、题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求23ab的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.2.（2009 安徽卷理）若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，则k的值是A.73B.37C.43D.34x22yO-2z=ax+by3x-y-6=0 x-y+2=0http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网答案B解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由3434xyxy得 A（1，1），又 B（0，4），C（0，43）S

49、ABC=144(4)1233，设ykx与34xy的交点为 D，则由1223BCDSS ABC知12Dx，52Dy 5147,2233kk选 A。3.（2009 安徽卷文）不等式组所表示的平面区域的面积等于A.23B.32C.34D.43解析由340340 xyxy 可得(1,1)C，故S阴阴=1423cABx，选 C。答案C4.（2009 四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过

50、 13 吨，B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是A.12 万元B.20 万元C.25 万元D.27 万元答案D解析设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：A原料B原料甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y则有：183213300yxyxyx目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x3，y5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 D5.（2009 宁夏海南卷理）设 x,y 满足241,22xyxyzxyxy 则A.有最小值 2，最大值 3B.有最小值 2，无最大值AxDyCOy=kx+43（3，4）（0，6）O（313，0）yx913http:/