2013年中考数学专题复习讲座 第十八讲 等腰三角形与直角三角形 .doc

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1、2013年中考数学专题复习第十八讲 等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形 1、定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等边三角形 2、等腰三角形的性质： 等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为 等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合，简称为 等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，是 3、等腰三角形的判定： 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 有两 相等的三角形是等腰三角形，简称 【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的 相等，两腰上的 相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题

2、，讨论边时应注意保证 讨论角时应主要底角只被围 角】4、等边三角形的性质：等边三角形的每个内角都 都等于 等边三角形也是 对称图形，它有 条对称轴等边三角形的判定： 有三个角相等的三角形是等边三角形 有一个角是 度的 三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是 三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在 角的平分线：1、性质：角平分线上的点到 得距离相等2、判定：到角两边距离相等的 【

3、名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是 的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理： 勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足 逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足 则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组 、 、 】2、直角三角形的性质： 除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：直角三角形两锐角 直角三

4、角形斜边的中线等于 在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对 边是 边的一半3、直角三角形的判定： 除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：有一个角是 的三角形是直角三角形 有两个角是 的三角形是直角三角形 如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】 考点一：等腰三角形性质的运用例1 （2012襄阳）在等腰ABC中，A=30，AB=8，则AB边上的高CD的长是 或4分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象

5、，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可解：（1）当AB=AC时，A=30，CD=AC=8=4；（2）当AB=BC时，则A=ACB=30，ACD=60，BCD=30，CD=cosBCDBC=cos308=4；（3）当AC=BC时，则AD=4，CD=tanAAD=tan304=；故答案为：或或4。点评：本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质和解直角三角形，关键是根据题意画出所有图形，要熟练掌握好边角之间的关系对应训练1（2012广安）已知等腰ABC中，ADBC于点D，且AD=BC，则ABC底角的度数为（）A45B75C45或75D601C分析：首先根据题意画

6、出图形，注意分别从BAC是顶角与BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案解答：解：如图1：AB=AC，ADBC，BD=CD=BC，ADB=90，AD=BC，AD=BD，B=45，即此时ABC底角的度数为45；如图2，AC=BC，ADBC，ADC=90，AD=BC，AD=AC，C=30，CAB=B=75，即此时ABC底角的度数为75；综上，ABC底角的度数为45或75故选C点评：此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键 考点二：线段垂直平分线例2 （2012毕节地区）如图在RtA

7、BC中，A=30，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A B2 C D4思路分析：求出ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可解：A=30，B=90，ACB=180-30-90=60，DE垂直平分斜边AC，AD=CD，A=ACD=30，DCB=60-30=30，BD=1，CD=2=AD，AB=1+2=3，在BCD中，由勾股定理得：CB=，在ABC中，由勾股定理得：AC=2，故选A点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等

8、知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中对应训练2（2012贵阳）如图，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若F=30，DE=1，则EF的长是（）A3 B2 C D12B分析：连接AF，求出AF=BF，求出AFD、B，得出BAC=30，求出AE，求出FAC=AFE=30，推出AE=EF，代入求出即可解答：解：连接AF，DF是AB的垂直平分线，AF=BF，FDAB，AFD=BFD=30，B=FAB=90-30=60，ACB=90，BAC=30，FAC=60-30=30，DE=1，AE=2DE=2，FAE=AFD=30，E

9、F=AE=2，故选B点评：本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线，角平分线的性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强 考点三：等边三角形的判定与性质例3 （2012遵义）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由思路分析：（1）由ABC是边长为6的等边三角

10、形，可知ACB=60，再由BQD=30可知QPC=90，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6-x= （6+x），求出x的值即可；（2）作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变解答：解：（1）ABC是边长为6的等边三角形，ACB=60，BQD=3

11、0，QPC=90，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6-x=（6+x），解得x=2；（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变理由如下：如图，作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90，点P、Q做匀速运动且速度相同，AP=BQ，ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60，在APE和BQF中，A=FBQ=AEP=BFQ=90，APE=BQF，,APEBQF，AE=BF，PE=QF且PEQF，四边形PEQF是平行四边形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB

12、，又等边ABC的边长为6，DE=3，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键对应训练3（2012湘潭）如图，ABC是边长为3的等边三角形，将ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到DCE，连接BD，交AC于F（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长3分析：（1）由平移的性质可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BDDE，由E=ACB=60可知ACDE，故可得出结论；（2）在RtBDE中利用勾股定理即可得出BD的长解答：解

13、：（1）ACBDDCE由ABC平移而成，BE=2BC=6，DE=AC=3，E=ACB=60，DE=BE，BDDE，E=ACB=60，ACDE，BDAC；（2）在RtBED中，BE=6，DE=3，BD=点评：本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键考点四：角的平分线例4 （2012梅州）如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB，若EC=1，则EF= 2思路分析：作EGOA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到OEF=COE=15，然后利用三角形的外角和内角的关系求出EFG=30，利用30角所对的直角边是斜边的一

14、半解题解答：解：如图，作EGOA于F，EFOB，OEF=COE=15，AOE=15，EFG=15+15=30，EG=CE=1，EF=21=2故答案为2点评：本题考查了角平分线的性质和含30角的直角三角形，综合性较强，是一道好题对应训练4（2012常德）如图，在RtABC中，C=90，AD是BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是 242分析：过D作DEAB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可解答：解：过D作DEAB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离AD平分CAB，ACD=90，DEAB，DC=DE=2（角平分线性质），故答案为：2点评：

15、本题考查了对角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中考点五：勾股定理例5 （2012黔西南州）如图，在ABC中，ACB=90，D是BC的中点，DEBC，CEAD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为 思路分析：先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长解：ACB=90，DEBC，ACDE又CEAD，四边形ACED是平行四边形DE=AC=2在RtCDE中，由勾股定理得CD=2，D是BC的中点，BC=2CD=4，在ABC中，ACB=90，由勾股定理得AB=2，D是BC的中点，DEBC，E

16、B=EC=4四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2，故答案为：10+2点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径对应训练5 （2012新疆）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=，S2=2，则S3是 分析：在直角三角形中，利用勾股定理得到a2+b2=c2，在等式两边同时乘以，变形后得到S2+S3=S1，将已知的S1与S2代入，即可求出S3的值解答：解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a2+b2=c2，a2+b2=c2，即（）2+（）2=（）2，S2+S3=S1，又S1=，S2=2，则S3=S

17、1-S2=-2=故答案为：。点评：此题考查了勾股定理，以及圆的面积求法，利用了转化的思想，灵活运用勾股定理是解本题的关键【聚焦山东中考】1（2012泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A3B3.5C2.5D2.81C专题：计算题分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在RtCDE中，利用勾股定理列式计算即可得解解答：解：EO是AC的垂直平分线，AE=CE，设CE=x，则ED=AD-AE=4-x，在RtCDE中，CE2=CD2+ED2，即x

18、2=22+（4-x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5故选C点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键2（2012济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）A-4和-3之间B3和4之间C-5和-4之间D4和5之间2A分析：先根据勾股定理求出OP的长，由于OP=OA，故估算出OP的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论解答：解：点P坐标为（-2，3），OP=，点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，OA

19、=OP=，91316，34点A在x轴的负半轴上，点A的横坐标介于-4和-3之间故选A点评：本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键【备考真题过关】一、选择题1（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A16B18C20D16或201C分析：由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析解答：解：当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；当8为腰时，8-488+4，符合题意故此三角形的周长=8+8+4=20故选C点评：本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解2（2012攀枝

20、花）已知实数x，y满足|x-4|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A20或16B20C16D以上答案均不对2B分析：根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解解答：解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20故选B点评：本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断根据题意列出方程是正确

21、解答本题的关键3（2012江西）等腰三角形的顶角为80，则它的底角是（）A20B50C60D803B分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数解答：解：等腰三角形的一个顶角为80底角=（180-80）2=50故选B点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单4（2012三明）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A2个B3个C4个D5个4C分析：分为三种情况：OA=OP，AP=OP，OA=OA，分别画出即可解答：解：以O为圆心，以OA为比较画弧交x轴于点P和P，此时三角形

22、是等腰三角形，即2个；以A为圆心，以OA为比较画弧交x轴于点P（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，此时三角形是等腰三角形，即1个；2+1+1=4，故选C点评：本题考查了等腰三角形的判定和坐标于图形性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解啊5（2012本溪）如图在直角ABC中，BAC=90，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则ACE的周长为（）A16B15C14D135分析：首先连接AE，由在直角ABC中，BAC=90，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC的长，又由DE是AB边的垂

23、直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，继而可得ACE的周长为：BC+AC解答：解：连接AE，在RtABC中，BAC=90，AB=8，AC=6，BC=10，DE是AB边的垂直平分线，AE=BE，ACE的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16故选A点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用6（2012荆门）如图，ABC是等边三角形，P是ABC的平分线BD上一点，PEAB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q若BF=2，则PE

24、的长为（）A2 B C D36C分析：先根据ABC是等边三角形P是ABC的平分线可知EBP=QBF=30，再根据BF=2，FQBP可得出BQ的长，再由BP=2BQ可求出BP的长，在RtBEF中，根据EBP=30即可求出PE的长解：ABC是等边三角形P是ABC的平分线，EBP=QBF=30，BF=2，FQBP，BQ=BFcos30=2=，FQ是BP的垂直平分线，BP=2BQ=2，在RtBEF中，EBP=30，PE=BP=故选C点评：本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都是60是解答此题的关键7（2012黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，

25、AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）A（2，0）B（，0）C（，0）D（，0）7C分析：在RTABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M的坐标解答：解：由题意得，AC=，故可得AM=，BM=AM-AB=-3，又点B的坐标为（2，0），点M的坐标为（-1，0）故选C点评：此题考查了勾股定理及坐标轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般1（2012铜仁地区）如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段

26、MN的长为（）A6B7C8D9考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质。分析：由ABC、ACB的平分线相交于点O，MBE=EBC，ECN=ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可MBE=MEB，NEC=ECN，然后即可求得结论解答：解：ABC、ACB的平分线相交于点E，MBE=EBC，ECN=ECB，MNBC，EBC=MEB，NEC=ECB，MBE=MEB，NEC=ECN，BM=ME，EN=CN，MN=ME+EN，即MN=BM+CNBM+CN=9MN=9，故选D点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握此题关键是证明BMOCNO是等腰三角形2（2012佳木斯

27、）如图，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（）A20B12C14D13考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质。分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得ADBC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解解答：解：AB=AC，AD平分BAC，BC=8，ADBC，CD=BD=BC=4，点E为AC的中点，DE=CE=AC=5，CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14故选C点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角

28、形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键二、填空题8（2012随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 6和4或5和586和4或5和5分析：此题分为两种情况：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形解答：解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+66，满足三边关系定理；当底边是6时，另两边长是5，5，5+56，满足三边关系定理，故该等腰三角形的另两边为 6和4或5和5故答案为：6和4或5和5点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中9（2012泉州）如图，在ABC中，AB=A

29、C，BC=6，ADBC于D，则BD= 393分析：直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可解答：解：ABC中，AB=AC，BC=6，ADBC于D，BD=BC=6=3故答案为：3点评：本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合10（2012钦州）已知等腰三角形的顶角为80，那么它的一个底角为 501050分析：已知给出了等腰三角形的顶角等于80，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接可求得答案解答：解：等腰三角形的顶角等于80，又等腰三角形的底角相等，底角等于（180-80）2=50故答案为：50点评：本题考查了三角形内角和定理和等腰三角

30、形的性质；题目比较简单，属于基础题11（2012黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长 116或或 分析：根据不同边上的高为4分类讨论，即可得到本题的答案解答：解：如图1，当AB=AC=5，底边上的高AD=4时，则BD=CD=3，故底边长为6；如图2，ABC为锐角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，则AD=3，BD=2，BC=，此时底边长为；如图3，ABC为钝角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，则AD=3，BD=8，BC=，此时底边长为故答案为：6或或点评：本题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理，解题的关键是分三种情况进行讨论12（2012贵阳）如图，在

31、ABA1中，B=20，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；，按此做法进行下去，An的度数 12分析：先根据等腰三角形的性质求出BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出CA2A1，DA3A2及EA4A3的度数，找出规律即可得出An的度数解答：解：在ABA1中，B=20，AB=A1B，BA1A=80，A1A2=A1C，BA1A是A1A2C的外角，CA2A1=40；同理可得，DA3A2=20，EA4A3=10，An=故答案为：点评：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质

32、，根据题意得出CA2A1，DA3A2及EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键13（2012海南）如图，在ABC中，B与C的平分线交于点O，过点O作DEBC，分别交AB、AC于点D、E若AB=5，AC=4，则ADE的周长是 9139考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质分析：由在ABC中，B与C的平分线交于点O，过点O作DEBC，易证得DOB与EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案解答：解：在ABC中，B与C的平分线交于点O，DBO=CBO，ECO=BCO，DEBC，DOB=CBO，EOC=BCO，DBO=DOB，ECO=EOC，O

33、D=BD，OE=CE，AB=5，AC=4，ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9故答案为：9点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质此题难度适中，注意证得DOB与EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用14（2012黄冈）如图，在ABC中，AB=AC，A=36，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则EBC的度数为 361436分析：由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，则可求得ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与

34、三角形内角和定理，即可求得ABC的度数，继而求得答案解答：解：DE是AB的垂直平分线，AE=BE，ABE=A=36，AB=AC，ABC=C=72，EBC=ABC-ABE=72-36=36故答案为：36点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质此题比较简单，注意数形结合思想的应用15（2012黔东南州）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成 4个正三角形154分析：先在平面内摆出一个正三角形，然后再在空间又可以搭出三个等边三角形解答：解：如图，用6根火柴棒搭成正四面体，四个面都是正三角形故答案为：4 点评：本题考查的是等边三角形的性质，解答此题时要注意题中是求空间图形而不是平面图形1

35、6（2012泰州）如图，ABC中，C=90，BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 4164分析：过点D作DEAB于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，即可得解解答：解：如图，过点D作DEAB于点E，AD是BAC的平分线，DE=CD，CD=4，DE=4故答案为：4点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，作出图形并熟记性质是解题的关键17（2012佳木斯）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 178或或分析：由已知的是一边上的高，分腰上的高于底边上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况，当三角形

36、为锐角三角形时，如图所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB-AD求出BD的长，在直角三角形BDC中，由BD及CD的长，即可求出底边BC的长；当三角形为钝角三角形时，如图所示，同理求出AD的长，由AB+AD求出BD的长，同理求出BC的长；当高为底边上的高时，如图所示，由三线合一得到BD=CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由BC=2BD即可求出BC的长，综上，得到所有满足题意的底边长解答：解：如图所示：当等腰三角形为锐角三角形，且CD为腰上的高时，在RtACD中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD=4，BD=AB-

37、AD=5-4=1，在RtBDC中，CD=3，BD=1，根据勾股定理得：BC=；当等腰三角形为钝角三角形，且CD为腰上的高时，在RtACD中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD=4，BD=AB+AD=5+4=9，在RtBDC中，CD=3，BD=9，根据勾股定理得：BC=3；当AD为底边上的高时，如图所示：AB=AC，ADBC，BD=CD，在RtABD中，AD=3，AB=5，根据勾股定理得：BD=4，BC=2BD=8，综上，等腰三角形的底边长为8或或故答案为：8或或.点评：此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，利用了分类讨论的数学思想，要求学生考虑问题要全面，注意不要漏解4（2012鸡西

38、）RtABC中，A=90，BC=4，有一个内角为60，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且ACP=30，则PB的长为4或或考点：含30度角的直角三角形；勾股定理。专题：分类讨论。分析：分两种情况考虑：当ABC=60时，如图所示，由ABC=60，利用直角三角形的两锐角互余求出CAB=30，又PCA=30，由PCA+ACB求出PCB为60，可得出三角形PCB为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，由BC的长即可求出PB的长；当ABC=30时，再分两种情况：（i）P在A的右边时，如图所示，由PCA=30，ACB=60，根据PCA+ACB求出PCB为直角，由ABC=30及BC的长，利用锐角三角形函数

39、定义及cos30的值，即可求出PB的长；当P在A的左边时，如图所示，由PCA=30，ACB=60，根据ACBACP求出PCB为30，得到PCB=ABC，利用等角对等边得到PC=PB，由BC及ABC=30，利用30所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长，由ABBP表示出AP，在直角三角形ACP中，利用勾股定理列出关于PB的方程，求出方程的解得到PB的长，综上，得到所有满足题意的PB的长解答：解：分两种情况考虑：当ABC=60时，如图所示：CAB=90，BCA=30，又PCA=30，PCB=PCA+ACB=60，又ABC=60，PCB为等边三角形，又BC=4，PB=4；

40、当ABC=30时，如图所示：（i）当P在A的右边时，如图所示：PCA=30，ACB=60，PCB=90，又B=30，BC=4，cosB=，即cos30=，解得：PB=；（ii）当P在A的左边时，如图所示：PCA=30，ACB=60，BCP=30，又B=30，BCP=B，CP=BP，在RtABC中，B=30，BC=4，AC=BC=2，根据勾股定理得：AB=2，AP=ABPB=2PB，在RtAPC中，根据勾股定理得：AC2+AP2=CP2=BP2，22+（2BP）2=BP2，解得：BP=，综上，BP的长分别为4或或故答案为：4或或点评：此题考查了含30直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，利用了转化及分类讨论的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键5（2012无锡） 如图，ABC中，ACB=90，AB=8cm，D是AB的中点现将BCD沿BA方向平移1cm，得到E