湖南省湘西州永顺一中2015_2016学年高二数学上学期期中试卷理含解析.doc

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1、2015-2016学年湖南省湘西州永顺一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x22x30，则A=( )Ax|x1Bx|1x3Cx|1x3Dx|1x12设3，x，5成等差数列，则x为( )A3B4C5D63已知ab，则下列不等式中正确的是( )ABacbcCDa2+b22ab4命题p：x5，命题q：x3，则p是q的( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件5命题p：xZ，则x240；与命题q：xZ，使x240，下列结论正确的是( )Ap真q假Bp假q

2、真Cpq为真Dpq为假6抛物线y2=2px的准线方程是x=2，则p的值是( )ABC4D47已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A3B3C1D8已知等比数列an满足a3a5=100，则a4=( )A10B10C10D9一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，那么它的长轴长是( )A3BC2D610函数的最小值为( )A20B30C40D5011已知=( )A2B3C4D512与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为( )A=1B=1C=1D=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上13在ABC中若b=5，sinA=，则a=_14双曲线

3、的离心率为_15（文）在ABC中，a=3，b=5，C=120，则c=_16在数列an中，已知a1+a2+an=2n1，则an=_三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，已知（1）求B和A；（2）求ABC的面积S18如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点（1）求证：PD平面ACE；（2）求证：平面ACE平面PBC19设等差数列an的前n项和为Sn，且a3=2，a4=3（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2，求数列bn的前n项和Tn20已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交

4、于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（）求a，b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由21设m个不全相等的正数a1，a2，am（m7）依次围成一个圆圈，（）若m=2009，且a1，a2，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，am的前n项和Sn（nm）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项an（nm）；（）若每个数an（nm）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+a6+a72+am2ma1a2

5、am四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22已知求（1）（2）23如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得CAB=105，CBA=45，且AB=100m（1）求sinCAB的值；（2）求该河段的宽度24已知lg（3x）+lgy=lg（x+y+1），求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值2015-2016学年湖南省湘西州永顺一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每

6、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x22x30，则A=( )Ax|x1Bx|1x3Cx|1x3Dx|1x1【考点】集合的表示法 【专题】计算题；方程思想；综合法；集合【分析】利用一元二次不等式的性质能求出集合A【解答】解：集合A=x|x22x30，解方程x22x3=0，得x1=1，x2=3，不等式x22x30的解集为x|1x3，A=x|1x3故选：B【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式的性质的合理运用2设3，x，5成等差数列，则x为( )A3B4C5D6【考点】等差数列的通项公式 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比

7、数列【分析】由3，x，5成等差数列，可得2x=3+5，解出即可【解答】解：3，x，5成等差数列，2x=3+5，解得x=4故选：B【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3已知ab，则下列不等式中正确的是( )ABacbcCDa2+b22ab【考点】不等关系与不等式 【分析】弄清一些特殊不等式成立的条件，以及不等式的一些性质【解答】解：运用排除法，A项，若ab0则不成立B项，若c=0则不成立C项，a0，b0时不成立D项正确【点评】做这类题考虑的要全面，不要忽略了特殊情况4命题p：x5，命题q：x3，则p是q的( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分

8、也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若x5，则x3一定成立，若x=4，满足x3，但x5不成立，即p是q的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础5命题p：xZ，则x240；与命题q：xZ，使x240，下列结论正确的是( )Ap真q假Bp假q真Cpq为真Dpq为假【考点】复合命题的真假 【专题】简易逻辑【分析】先判断命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p：xZ，则x240，是假命题，例如取x=0，则不成立；命题q：xZ，使x240

9、，是真命题，例如取x=3p假q真故选：B【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题6抛物线y2=2px的准线方程是x=2，则p的值是( )ABC4D4【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线y2=2px的准线方程是x=2，可得=2，即可求出p的值【解答】解：因为抛物线y2=2px的准线方程是x=2，所以=2，所以p=4故选：D【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础7已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A3B3C1D【考点】简单线性规划 【专题】计算题【分析】先根据约束条件

10、画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，1）时，z最大是3，故选A【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题8已知等比数列an满足a3a5=100，则a4=( )A10B10C10D【考点】等比数列的通项公式 【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由等比数列的性质得a3a5=，由此能求出结果【解答】解：等比数列an满足a3a5=100，a3a5=100，解得a4=10故选：A【

11、点评】本题考查等比数列中第4项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用9一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，那么它的长轴长是( )A3BC2D6【考点】集合的含义；椭圆的简单性质 【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆的半焦距为2，离心率e=，可得c=2，a=3，从而求出答案【解答】解：椭圆的半焦距为2，离心率e=，c=2，a=3，2a=6故选：D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质属基础题10函数的最小值为( )A20B30C40D50【考点】基本不等式 【专题】函数思想；综合法；不等式【分析】由题意和基本不等式可得y=4x+2=20，验证等

12、号成立即可【解答】解：x0，y=4x+2=20，当且仅当4x=即x=时取等号故选：A【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题11已知=( )A2B3C4D5【考点】空间向量的数量积运算 【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用【分析】由已知条件利用利用向量数量积的坐标运算能求出结果【解答】解：=（3，2，5），=（1，5，1），=3+105=2故选：A【点评】本题考查向量的数量积的求法，是基础题，解题时要注意向量数量积坐标运算法则的合理运用12与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为( )A=1B=1C=1D=1【考点】双曲线的标准方程 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程

13、【分析】根据椭圆方程先求出焦点坐标，再由渐近线相同设出双曲线方程为，根据c值列出方程求出的值即可【解答】解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c=5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，5），因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则6436=25，解得=，所以双曲线方程为，故选：A【点评】本题考查渐近线相同的双曲线方程设法，以及椭圆、双曲线的基本量的关系，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上13在ABC中若b=5，sinA=，则a=【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】直接利用正弦定理，求出a 的值即可【解答】解：

14、在ABC中若b=5，sinA=，所以，a=故答案为：【点评】本题是基础题，考查正弦定理解三角形，考查计算能力，常考题型14双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力15（文）在ABC中，a=3，b=5，C=120，则c=7【考点】余弦定理 【专题】计算题【分析】由余弦定理c2=a2+b22abcosC，代入可求【解答】解：由余弦定理c2=a2

15、+b22abcosC，=49，c=7故答案为：7【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础试题16在数列an中，已知a1+a2+an=2n1，则an=2n1【考点】数列递推式 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由已知递推式求得数列首项，且得到n2时的另一递推式a1+a2+an1=2n11，与原递推式作差后验证首项得答案【解答】解：由a1+a2+an=2n1，可得a1=1，且a1+a2+an1=2n11（n2），得：当n=1时，上式成立an=2n1故答案为：2n1【点评】本题考查数列递推式，考查了作差法求数列的通项公式，是中档题三、解答题：本大题共5小题，满分6

16、0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，已知（1）求B和A；（2）求ABC的面积S【考点】正弦定理；余弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinB=，利用大边对大角可得B为锐角，解得B，A的值（2）根据三角形的面积公式即可求值【解答】解：（1），由正弦定理可得：sinB=，cb，可得B为锐角，解得B=30，A=180CB=30（2）ABC的面积S=bcsinA=【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力，属于基础题18如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，

17、PA=AB，点E为PB的中点（1）求证：PD平面ACE；（2）求证：平面ACE平面PBC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）连BD交AC于O，连EO，利用三角形的中位线的性质证得EOPD，再利用直线和平面平行的判定定理证得PD平面ACE（2）由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得 BC平面PAB，可得BCAE再利用等腰直角三角形的性质证得AEPB再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE平面PBC【解答】证明：（1）连BD交AC于O，连EO，ABCD为矩形，O为BD中点E为PB的中点，EOPD 又EO平面ACE，PD平面ACE，PD平面

18、ACE（2）PA平面ABCD，BC底面ABCD，PABC底面ABCD为矩形，BCABPAAB=A，BC平面PAB，AEPAB，BCAEPA=AB，E为PB中点，AEPBBCPB=B，AE平面PBC，而AE平面ACE，平面ACE平面PBC【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于基础题19设等差数列an的前n项和为Sn，且a3=2，a4=3（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）直接由已知求出

19、等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）把（1）中的an代入bn=2，可得数列bn是等比数列，然后利用等比数列的前n项和求得Tn【解答】解：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a3=2，a4=3，得d=1，a1=a32d=221=0，an=a1+（n1）d=0+1（n1）=n1；（2）bn=2=2n1，【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题20已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（）求a，b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求

20、出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质 【专题】综合题；压轴题【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为xyc=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程0由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：xyc=0，

21、由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my4=0，显然0由韦达定理有：，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及代入解得，x1+

22、x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够所谓“算”，主要讲的是算理和算法算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质有时候算理和算法并不是截然区分的例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点21设m个不全相等的正数a1，a2，am（m7）依次围成一个圆圈，（）若m=2009，且a1，a2，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，a1006

23、是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，am的前n项和Sn（nm）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项an（nm）；（）若每个数an（nm）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+a6+a72+am2ma1a2am【考点】等差数列的性质；数列的应用；等比数列的性质；反证法与放缩法 【专题】压轴题；反证法【分析】（1）利用等比数列的性质，用a1、d表示出a2009、a2008，结合已知，列方程即可解出a1、d，进而求出an（2）通过探求数列的周期性或利用反证法求解【解答】解：（I）因a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列，从而a2009=a1d，

24、a2008=a1d2，由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1，解得d=3或d=4（舍去）d=3，又S3=3a1+3d=15解得a1=2从而当n1005时，an=a1+（n1）d=2+3（n1）=3n1当1006n2009时，由a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列得an=a1d2009（n1）=a1d2010n（1006n2009）因此（II）由题意an2=an12an+12（1nm），am2=am12a12，a12=am2a22得有得由，得a1a2an=（a1a2an）2，故a1a2an=1又，故有下面反证法证明：m=6k若不然，设m=6k

25、+p，其中1p5若取p=1即m=6k+1，则由得am=a6k+1=a1，而由得，得a2=1，由得，而及可推得an=1（1nm）与题设矛盾同理若P=2，3，4，5均可得an=1（1nm）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数由均值不等式得由上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1，从而a4=a5am=1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1+a2+a3+a66又m=6k，由和得a72+am2=（a72+a122）+（a6k52+a6k2）=（k1）（a12+a62）=因此由得a1+a2+a3+a6+a72+am26+6（k1）=6k=m=ma1a2a3am【点评】本题考查了等差数列和等比数

26、列的通项公式、性质及方程、解不等式的有关知识，考查运算能力和推理能力四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22已知求（1）（2）【考点】空间向量运算的坐标表示 【专题】计算题；方程思想；综合法；空间向量及应用【分析】由已知条件利用空间向量的坐标运算公式直接求解【解答】解：（1）=（1，5，7）（2）=（5，3，3）【点评】本题考查空间向量的坐标运算，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的坐标运算法则的合理运用23如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取

27、两点A、B，观察对岸的点C，测得CAB=105，CBA=45，且AB=100m（1）求sinCAB的值；（2）求该河段的宽度【考点】解三角形的实际应用 【专题】计算题【分析】（1）由题意，利用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值加以计算即可得sinCAB的值；（2）由题意画出简图，在三角形中利用正弦定理先求出BC的长度，然后过点C作CD垂直于对岸，垂足为D，由题意可得CD的长就是该河段的宽度，解出ACB的BC长后再在BDC中即可解出BD长，可得该河段的宽度【解答】解：（1）sinCAB=sin（60+45）=sin60cos45+cos60sin45=+=；（2）CAB=105，CBA=4

28、5ACB=180CABCBA=30，由正弦定理得，得BC=（m），如图过点C作CD垂直于对岸，垂足为D，则CD的长就是该河段的宽度在RtBDC中，BCD=CBA=45，BD=BCsin45=50（）=50（）（m）答：（1）求sinCAB的值为；（2）该河段的宽度为50（）（m）【点评】本题给出实际问题，求河岸的宽度，着重考查了学生对题意的理解，还考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦公式，查了学生的计算能力，属于基础题24已知lg（3x）+lgy=lg（x+y+1），求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质 【专题】函数的性质及应用【分析】根据对数的运算法则得到3xy=x+y+1，然后利用基本不等式进行求解即可【解答】解：（1）lg（3x）+lgy=lg（x+y+1），lg（3xy）=lg（x+y+1），且x0，y0则3xy=x+y+1，3xy=x+y+1，解得，即xy1即xy的最小值为1（2）3xy=x+y+1，且xy1，3xy=x+y+13，即x+y2，x+y的最小值是2【点评】本题主要考查对数的基本运算，以及基本不等式的应用，考查学生的运算能力- 16 -