甘肃省天水一中2016届高三数学上学期第三次月考试卷理含解析.doc

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1、2015-2016学年甘肃省天水一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1已知全集为R，集合A=x|2x1，B=x|x23x+20，则ARB=( )Ax|x0Bx|1x2Cx|0x1或x2Dx|0x1或x22=( )A1+2iB1+2iC12iD12i3已知向量=（cos，2），=（sin，1），且，则tan（）等于( )A3B3CD4已知a=2，b=log2，c=log23，则( )AabcBacbCcbaDcab5ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ab”是“cos2Acos2B”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也

2、不必要条件6已知直线l：xky5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=( )A2B2CD7已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：若，m，则m；若m，n，且mn，则；若m，m，则；若m，n，且mn，则其中正确命题的序号是( )ABCD8已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5，若am，an满足=8a1，则+的最小值为( )A2B4C6D89已知f（x）=cos（x+）（0）的图象与直线y=1的两个交点的最短距离是，要得到y=f（x）的图象，只需要把y=sinx的图象( )A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位10若O是ABC的

3、重心，=2，A=120，则|的最小值为( )ABCD11已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A8B7C6D012过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为( )ABC（2，+）D（1，2）二、填空题（每小题5分，共20分）13以抛物线y=x2的焦点为圆心，以焦点到准线的距离为半径的圆被双曲线y2=1的渐近线截得的弦长为_14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_15已知函数f（x）=3

4、x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a）（a0）则a=_16定义方程f（x）=f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），（x）=cosx（）的“新驻点”分别为，那么，的大小关系是_三、解答题（共70分）17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+acosB=（1）求A的大小（2）若c=3b，求tanC的值18已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn（I）求an及Sn；（II）求数列的前n项和为Tn19如图，PA平面ABCD，ADBC，ABC=90，AB=BC=PA=1，AD=3，E是P

5、B的中点（1）求证：AE平面PBC；（2）求二面角BPCD的余弦值20已知圆C的圆心C与点A（2，1）关于直线4x+2y5=0对称，圆C与直线x+y+2=0相切（）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1，1），M（2，2），求的最小值；（）过点P（1，1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由21已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E（1）求点E的轨迹方程；（2）若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆

6、的内部，求实数m的取值范围22已知函数f（x）=lnxa（x1）（aR）（）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若不等式f（x）0对任意x（1，+）恒成立（）求实数a的取值范围；（）试比较ea2与ae2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）2015-2016学年甘肃省天水一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1已知全集为R，集合A=x|2x1，B=x|x23x+20，则ARB=( )Ax|x0Bx|1x2Cx|0x1或x2Dx|0x1或x2【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】先求出集合AB，再求

7、出B的补集，根据交集的定义即可求出【解答】解：全集为R，集合A=x|2x1=x|x0，B=x|x23x+20=x|1x2，RB=x|x1或x2，ARB=x|0x1或x2故选：C【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2=( )A1+2iB1+2iC12iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：原式=12i，故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题3已知向量=（cos，2），=（sin，1），且，则tan（）等于( )A3B3CD【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正

8、切函数【专题】平面向量及应用【分析】根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cos，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果【解答】解：，cos+2sin=0，tan=，tan（）=3，故选B【点评】向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视本题是把向量同三角函数结合的问题4已知a=2，b=log2，c=log23，则( )AabcBacbCcbaDcab【考点】对数值大小的比较【

9、专题】函数的性质及应用【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：0a=21，b=log20，c=log231，cab，故选：D【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题5ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ab”是“cos2Acos2B”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：在三角形中，cos2Acos2B等价为12sin2A12sin2B，即sinAsinB若ab，由正弦定理，

10、得sinAsinB充分性成立若sinAsinB，则正弦定理，得ab，必要性成立所以，“ab”是“sinAsinB”的充要条件即ab是cos2Acos2B成立的充要条件，故选C【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，注意三角形中大边对大角的关系的应用6已知直线l：xky5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=( )A2B2CD【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系【专题】平面向量及应用【分析】由题意可得弦长AB对的圆心角等于90，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值【解答】解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90，

11、故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得 k=2，故选：B【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题7已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：若，m，则m；若m，n，且mn，则；若m，m，则；若m，n，且mn，则其中正确命题的序号是( )ABCD【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对于当，m时，m不一定成立；对于可以看成m是平面的法向量，n是平面的法向量即可；对于可由面面垂直的判断定理作出判断；对于m，n，且mn，也可能相交【解答】解：当，m时，m不一定成立，所以错误；利用当两个平面的法向量互相

12、垂直时，这两个平面垂直，故成立；因为m，则一定存在直线n在，使得mn，又m可得出n，由面面垂直的判定定理知，故成立；m，n，且mn，也可能相交，如图所示，所以错误，故选B【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键8已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5，若am，an满足=8a1，则+的最小值为( )A2B4C6D8【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由等比数列的性质易得m+n=8，可得+=（+）（m+n）=（10+），由基本不等式求最值可得【解答】解：正项等比数列an满足a7=a6+2a5，q2a5=q

13、a5+2a5，即q2q2=0，解得公比q=2，或q=1（舍去）又am，an满足=8a1，aman=64a12，qm+n2a12=64a12，qm+n2=64，m+n2=6，即m+n=8，+=（+）（m+n）=（10+）（10+2）=2当且仅当=即m=2且n=6时取等号，故选：A【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及等比数列的通项公式，属基础题9已知f（x）=cos（x+）（0）的图象与直线y=1的两个交点的最短距离是，要得到y=f（x）的图象，只需要把y=sinx的图象( )A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函

14、数的图像与性质【分析】由条件利用诱导公式、y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：由题意可得f（x）=cos（x+）（0）的最小正周期为=，求得=2，f（x）=cos（2x+），故只需要把y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=cos（2x+）=f（x）的图象，故选：A【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题10若O是ABC的重心，=2，A=120，则|的最小值为( )ABCD【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】根据已知条件容易得到，O是ABC的重心，而重心是中线的交点，从而可得到（），

15、从而可得到，由基本不等式即可得到，从而求得的最小值【解答】解：，A=120；O是ABC的重心；的最小值为故选C【点评】考查数量积的计算公式及其运算，重心的定义，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及基本不等式用于求最值，以及要求的范围先求范围的方法11已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A8B7C6D0【考点】分段函数的应用【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用【分析】化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的

16、图象，通过图象观察上的交点的横坐标的特点，求出它们的和【解答】解：由题意知g（x）=2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为3，若设C的横坐标为t（0t1），则点A的横坐标为4t，所以方程f（x）=g（x）在区间上的所有实数根之和为3+（4t）+t=7故选：B【点评】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题12过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，

17、则此双曲线的离心率e的取值范围为( )ABC（2，+）D（1，2）【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设双曲线方程为=1，作出图形如图，由左顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2e20，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围【解答】解：设双曲线方程为=1，ab0则直线AB方程为：x=c，其中c=因此，设A（c，y0），B（c，y0），=1，解之得y0=，得|AF|=，双曲线的左焦点M（a，0）在以AB为直径的圆内部|MF|AF|，即a+c，将b2=c2a2，并化简整理

18、，得2a2+acc20两边都除以a2，整理得e2e20，解之得e2（舍负）故选：C【点评】本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题二、填空题（每小题5分，共20分）13以抛物线y=x2的焦点为圆心，以焦点到准线的距离为半径的圆被双曲线y2=1的渐近线截得的弦长为【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，得到圆心坐标和半径，由双曲线方程求出其渐近线方程，再由点到直线距离求得圆心到渐近线的距离，利用勾股定理求得弦长【解答】解：由y=x2，

19、得x2=4y，F（0，1），则所求圆的方程为x2+（y1）2=4，由双曲线y2=1，得其渐近线方程为y=，不妨取y=，即x2y=0，则F（0，1）到直线x2y=0的距离为d=，弦长为故答案为：【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，考查了点到直线的距离公式，是中档题14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为8【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥，求出底面面积和高，代入锥柱体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥，其底面面积S=（2+4）4=12，高h=2，故棱

20、锥的体积V=Sh=8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点由三视图求体积和表面积，其中根据已知中的三视图，判断出几何体的形状，是解答的关键15已知函数f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a）（a0）则a=【考点】定积分【专题】函数的性质及应用【分析】根据定积分的计算法则，计算即可，再代入值构造方程，解得a的值【解答】解：f（x）dx=（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|=4，2f（a）=2（3a2+2a+1）=4解得a=，a=1（舍去），故答案为：【点评】本题主要考查了定积分的计算和方程的解法，属于基础题16定义方程f（x）=f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻

21、点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），（x）=cosx（）的“新驻点”分别为，那么，的大小关系是【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】新定义【分析】分别对g（x），h（x），（x）求导，令g（x）=g（x），h（x）=h（x），（x）=（x），则它们的根分别为，即=1，ln（+1）=，31=32，然后分别讨论、的取值范围即可【解答】解：g（x）=1，h（x）=，（x）=sinx，由题意得：=1，ln（+1）=，cos=sin，ln（+1）=，（+1）+1=e，当1时，+12，+12，1，这与1矛盾，01；cos=sin，1故答案为：【点评】函数、导数、不等式密不可分，此题就是

22、一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点三、解答题（共70分）17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+acosB=（1）求A的大小（2）若c=3b，求tanC的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，结合同角的基本关系式，化简整理，即可得到A；（2）运用三角形的内角和定理和正弦定理，结合同角的商数关系，化简整理，即可得到所求值【解答】解：（1）由正弦定理可得，sinAsinB+sinAcosB=sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosA

23、sinB，即有sinAsinB=cosAsinB，即tanA=，0A，则A=；（2）由A=，则B+C=，由正弦定理，可得c=3b，即为sinC=3sinB，即sinC=3sin（C）=3（cosC+sinC），即有sinC=3cosC，则tanC=3【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角函数的化简和求值，运用两角和差的正弦公式和诱导公式是解题的关键18已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn（I）求an及Sn；（II）求数列的前n项和为Tn【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】（）设等差数列an的公差为d，利用等差数列的通项公式

24、与前n项和公式即可得出（）由（）可知，Sn=n2+2n，可得Sn=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，a3=7，a5+a7=26，解得a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1；Sn=n2+2n（）由（）可知，Sn=n2+2n，Sn=，Tn=+=【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19如图，PA平面ABCD，ADBC，ABC=90，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点（1）求证：AE平面PBC；（2）求二面角BPCD的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定【

25、专题】综合题；空间向量及应用【分析】（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求得=0，=0，即可证得结论；（2）确定平面PCD、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式可得结论【解答】 （1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），P（0，0，1），E（，0，），=（，0，），=（0，1，0），=（1，0，1）=0，=0，所以，所以AEBC，AEBP因为BC，BP平面PBC，且BCBP=B，所以AE平面PBC （2）解：设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则=0，=0因为=（1，2，0），=（0，3，1），所以令

26、x=2，则y=1，z=3所以=（2，1，3）是平面PCD的一个法向量 8分因为AE平面PBC，所以平面PBC的法向量所以cos，=根据图形可知，二面角BPCD的余弦值为 10分【点评】本题考查线面垂直，考查面面接哦，考查利用向量知识解决立体几何问题，正确用坐标表示向量是关键20已知圆C的圆心C与点A（2，1）关于直线4x+2y5=0对称，圆C与直线x+y+2=0相切（）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1，1），M（2，2），求的最小值；（）过点P（1，1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由【考点】直线和

27、圆的方程的应用；直线的倾斜角【专题】直线与圆【分析】（）根据点与直线的对称性求出圆心，利用数量积的坐标公式即可求的最小值；（）利用直线和圆的方程联立，结合直线的斜率公式即可得到结论【解答】解：）设圆心C（a，b），则A，C的中点坐标为（），圆心C与点A（2，1）关于直线4x+y5=0，解得，圆心C（0，0）到直线x+y+2=0的距离r=，圆C的方程为x2+y2=2设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x1，y1）（x+2，y+2）=x2+y2+x+y4=x+y2，作直线l：x+y=0，向下平移此直线，当与圆相切时，x+y取得最小值，此时切点坐标为（1，1），的最小值4（）由题意知，直线PA和直

28、线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y1=k（x1），PB：y1=k（x1），由，得（1+k2）x2+2k（1k）x+（1k）22=0因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，同理，则=kOP直线AB和OP一定平行【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合直线的对称性和直线的斜率公式是解决本题的关键21已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E（1）求点E的轨迹方程；（2）若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问

29、题；轨迹方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用已知条件推出轨迹方程为椭圆，即可轨迹方程（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则将直线与椭圆的方程联立，消去y，利用判别式以及韦达定理，通过数量积小于0，求出m、k的关系式，求出结果即可【解答】解：（1）由题意知|EP|=|EA|，|CE|+|EP|=2，|CE|+|EA|=22=|CA|，E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为： （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则将直线与椭圆的方程联立得：，消去y，得：（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0，0，m22k2+1 x1+x2=，x1x2= 因为O在以PQ

30、为直径的圆的内部，故，即x1x2+y1y20 而y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，由x1x2+y1y2= 得：，且满足式M的取值范围是【点评】本题考查轨迹方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力22已知函数f（x）=lnxa（x1）（aR）（）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若不等式f（x）0对任意x（1，+）恒成立（）求实数a的取值范围；（）试比较ea2与ae2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数

31、的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数f（x）在区间所以切点为（1，0），k=f（1）=2所以a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=2x2（ II）（ i）由f（x）=lnxa（x1），所以，当a0时，x（1，+），f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增，f（x）f（1）=0，a0不合题意当a2即时，在（1，+）上恒成立，f（x）在（1，+）上单调递减，有f（x）f（1）=0，a2满足题意若0a2即时，由f（x）0，可得，由f（x）0，可得x，f（x）在上单调递增，在上单调递减，0a2不合题意综上所述，实数a的取值范围是2，+）（ ii）a2时，“比较ea2与ae2的大小”等价于“比较a2与（e2lna）的大小”设g（x）=x2（e2）lnx，（x2）则g（x）在2，+）上单调递增，因为g（e）=0当x2，e）时，g（x）0，即x2（e2）lnx，所以ex2xe2当x（e，+）时g（x）0，即x2（e2）lnx，ex2xe2综上所述，当a2，e）时，ea2ae2；当a=e时，ea2=ae2；当a（e，+）时，ea2ae2【点评】本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想- 22 -