【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 9三角函数的简单应用 新人教A版必修4.doc

《【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 9三角函数的简单应用 新人教A版必修4.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 9三角函数的简单应用 新人教A版必修4.doc（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、9三角函数的简单应用, )1问题导航(1)如图为电流强度I与时间t的函数关系的图像，根据图像探求下面的问题：由图知电流强度I与时间t的函数关系式是哪种类型的函数？(2)结合三角函数的周期性，思考下列物理方面的知识，哪些可以用三角函数模型解决？单摆；简谐振动；机械波；电磁学；力学(3)应用三角函数模型需注意什么？2例题导读P58例通过本例学习，学会从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型，进而解决实际问题试一试：教材P59练习你会吗？1三角函数模型周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型2建立三角函数模型的步骤1.如图，单摆从某点

2、开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为：s6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A2 s B sC0.5 s D1 s解析：选D.T1.2某人的血压满足函数关系式f(t)24sin 160t110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()A60 B70C80 D90解析：选C.因为T，所以f80.3用作调频无线电信号的载波以yasin(1.83108 t)为模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为_，频率为_解析：T1.09108(s)f9.15107(Hz)答案：1.09108 s9.15107 Hz4如图是一弹簧振子做简谐振动的图像，

3、横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的函数解析式是_解析：不妨设所求解析式为yAsin(t)，(A0，0)，则A2，0.8，由于图像过点(0，)，所以2sin ，结合图像可取，故y2sin.答案：y2sin解答三角函数应用题的基本步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、回归实际问题(1)审题审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件(2)建模在细心阅读与

4、深入理解题意的基础上，引进数学符号，将试题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系建立三角函数模型这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题(3)解模运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决(4)回归实际问题应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判应用函数模型解题估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的解析式是D(t)sin12，其中t表示某天的序号，t0表示1月1日，依此类推，常数k与某地所处的纬度有关(1)若在波士顿，k6，试作出函数D(t)在0t365时

5、的图像；(2)在波士顿，哪一天的白昼时间最长？哪一天最短？(3)估计在波士顿一年中白昼超过10.5小时的天数(链接教材P60习题19A组T1、T2、T3)解(1)当k6时，D(t)3sin12.设f(t)3sin，利用“五点法”，列出下表：t79170262353444f(t)03030描点并连线，作出f(t)3sin的简图，如虚线图若t0，f(0)3sin3sin(1.36)2.9.因为f(t)的周期为365，所以f(365)2.9.将yf(t)，t0，365的图像向上平移12个单位长度，得到yD(t)的图像，如实线图(2)因为k6，所以D(t)3sin12.白昼时间最长的一天，即D(t)取

6、得最大值的一天，此时t170，对应的是6月20日(闰年除外)类似地，t353时，D(t)取得最小值，即12月20日白昼时间最短(3)由D(t)10.5，即3sin1210.5，得sin，t0，365，所以49t0，0)，最大值为Ab，最小值为bA.(2)解答有关实际问题时，一定要明确各个变量所代表的实际意义，同时自变量的取值范围要符合实际意义1(1)已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y10sin20，x4，16求该地区这一段时间内温度的最大温差；若有一种细菌在15 到25 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？(2)如图所示是一个半径为10个单位长度的水轮，水

7、轮的圆心离水面7个单位长度已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面的距离d与时间t满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为sin .求正弦曲线的振幅；正弦曲线的周期是多少？如果从P点在水中浮现时开始计算时间，写出有关d与t的关系式；P点第一次到达最高点大约要多少秒？解：(1)x4，16，则x.由函数图像易知，当x，即x14时，函数取最大值即最高温度为30 ，当x，即x6时，函数取最小值即最低温度为10 ，所以最大温差为30 10 20 .令10sin2015，可得sin，而x4，16，所以x.令10sin2025，可得sin，而x4，16，所以x.故该细菌的存活时间为(小时)(2)Ar10；T15

8、(s)；由sin，得dbsink.又bA10，T2a15，所以a.因为圆心距水面7个单位长度，所以k7.所以d10sin7.将t0，d0代入上式，得sin0.7，由计算器计算得h0.775，所以h1.85.所以d10sin7.P点第一次到达最高点时，d17，代入中的解析式得1710sin7.即sin1，所以，解得t5.6 s.构建函数模型解题游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O距地面40.5 m，半径40 m若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化，5 min后到达最高点从你登上摩天轮时开始计时，请解答下列问题(1)能求出你与地面的距离y与时间t的函数解析式吗？(2)当你登上摩天轮

9、8 min后，你与地面的距离是多少？(3)当你第一次距地面30.5 m时，用了多长时间？(4)当你第四次距地面30.5 m时，用了多长时间？(链接教材P58例)解(1)如图所示，O是摩天轮中心，作ON垂直地面于N，交轮于P，ON40.5 m，OP40 m由题意可知，t0时，你在摩天轮的P点，经过t min，旋转到P1处，P1到地面的距离为P1My.作P1Q垂直OP于Q.因为人从最低点旋转到最高点需5 min，所以摩天轮的旋转速度为 rad/min，经过t min时间摩天轮旋转的角度是t rad，即P1ONt rad.由图不难看出：yP1MONOQ40.5OP1cosP1OQ40.540cos4

10、0.540sin.即所求函数的解析式为y40sin40.5.(2)令t8，得y40sin40.528.14，即登上摩天轮8 min后与地面的距离约为28.14 m.(3)令y30.5，得40sin10，即cos t0.25，得t2.1，即当第一次距地面30.5 m时，用了约2.1 min.(4)当第二次距地面30.5 m时，用了约102.17.9 min.当第四次距地面30.5 m时，用了107.917.9 min.当你登上摩天轮100 s后，你的朋友也在摩天轮的最低处登上摩天轮问你的朋友登上摩天轮多少时间后，第一次出现你和你的朋友与地面的距离之差最大？求出这个最大值解：当你的朋友离地面高度为

11、y240sin40.540cost40.5时，由于100 smin，这时你自己离地面的高度为y140cos40.5.所以y1y240.当两人所处位置的连线垂直于地面时，距离之差最大，此时t.即当你的朋友登上摩天轮min100 s后，第一次出现你和你的朋友与地面的距离之差最大，这个最大值为40 m.方法归纳建立三角函数模型解决实际问题的步骤第一步，阅读理解，审清题意第二步，搜集整理数据，建立函数模型第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答，求得结果第四步，将所得结论转译成实际问题的答案2(1)如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3

12、min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处试确定在时刻t分时P点距离地面的高度y；在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间P点距离地面超过70 m?(2)某公司的职工活动室全天对职工开放，工作人员经过长期统计而得到的一天中从0时到24时记录的时间t(小时)与到活动室活动人数y的关系如下表：t(小时)03691215182124y(人)1001501005010012010050100选用一个函数模型来近似描述这个活动室的活动人数y与时间t的函数关系；若活动室的活动人数达到140人时需工作人员进入活动室帮助管理，该工作人员应何时进入活动室？每天在活动室需要工作多长时间？解：(1)由题意得y40

13、sin50.令40sin5070，所以sin，所以2kt2k(kZ)，所以2kt2k(kZ)，所以3k1t3k2(kZ)令k0得1t2.因此，约有1分钟时间P点距离地面超过70 m.(2)以时间t为横坐标、人数y为纵坐标在直角坐标系中画出散点图，如图，根据图像，可以考虑用函数yAsin(t)b来反映人数与时间之间的对应关系从数据和图像可以得出：A50，b100，T12，0.由T12，得.所以这个活动室的活动人数y与时间t的函数关系式为y50sin 100.由y140，即y50sin 100140，得sin ，若sin ，在0，24内可得t11.8，t261.84.2，t3121.813.8，t

14、41261.816.2，所以工作人员应当在t11.8时即凌晨1点48分左右和t313.8即下午1点48分左右进入活动室每天在活动室需要工作的时间为t2t1t4t32.42.44.8(小时)思想方法转化与化归思想下表是芝加哥19511981年月平均气温(华氏).月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x月份1，以平均气温为y轴(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据；(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A；(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合

15、这些数据cos；cos；cos；sin.解(1)(2)如图所示(3)1月份的气温最低为21.4，7月份的气温最高为73.0，根据图知，716，所以T12.(4)2A最高气温最低气温73.021.451.6，所以A25.8.(5)因为x月份1，所以不妨取x211，y26.0，代入，得1cos，所以错误；代入，得0cos，所以错误；同理错误，所以四个模型中最适合这些数据感悟提高(1)利用三角函数的周期能够建立三角函数模型解决一些简单问题，其实施的过程就是转化与化归根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为三角函数问题，实现问题

16、的数学化，即建立三角函数模型(2)三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意的几点反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质；充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量；结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论1如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是()A该质点的振动周期为0.7 sB该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大D该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 解析：选B.由图知，该质点的振幅为5 cm.2.如图所示为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮

17、上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系yAsin(x)2，则()A，A3 B，A3C，A5 D，A5解析：选A.因为T15，所以.又ymax5，所以A3.3已知简谐运动f(x)2sin的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()AT6， BT6，CT6， DT6，解析：选A.T6，将点(0，1)代入方程，有sin .因为，所以., 学生用书单独成册)A.基础达标1如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至()A甲 B乙C丙 D丁解析：选C.相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.2一根长l cm的线，一端固

18、定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于()A. BC. D解析：选D.因为周期T，所以2，则l.3商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)504sin(t0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A0，5 B5，10C10，15 D15，20解析：选C.由2k2k，kZ，得4kt4k，kZ.当k1时，得t3，5，而10，153，5，故在10，15上是增加的4设yf(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0t24.下表是该

19、港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数yf(t)的图像可以近似地看成函数ykAsin(t)的图像，下面函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()Ay123sint，t0，24By123sin，t0，24Cy123sint，t0，24Dy123sin，t0，24解析：选A.将t0及t3分别代入给定的四个选项A，B，C，D中，可以看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.5如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的

20、弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图像大致是()解析：选C.由lR可知，结合圆的几何性质可知Rsin ，所以d2Rsin 2Rsin ，又R1，所以d2sin ，故结合正弦图像可知，选C.6.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角(0，0)，则这段曲线的函数解析式为_解析：图中从6时到14时的图像是函数yAsin(x)b的半个周期的图像所以146，解得，由图知A(3010)10，b(3010)20，这时y10sin20，将x6，y10代入上式可取.综上所求的解析式为y10sin20，x6，14答案：y10sin20，x6，148某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，

21、秒针匀速地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d_，其中t0，60解析：秒针1 s转弧度，t s后秒针转了 t弧度，如图所示，(1)当t0时，d0，(2)当0t30时，由sin ，所以d10sin ；(3)当t30时，d10；(4)当30t60时，sin，即sin，所以d10sin10sin；(5)当t60时，d0.综上可知当0t60时，均有d10sin.答案：10sin 9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律如图所示，轮胎以角速度做圆周运动，P0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O

22、距离为r cm，求气针P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期，当，r1时，说明其图像与函数ysin t图像有什么关系？解：过P作x轴的垂线(图略)，设垂足为M，则MP就是正弦线所以yrsin(t)，因此T.当，r1时，ysin，其图像是将ysin t的图像向左平移个单位长度得到的，如图所示10生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).时间(时)温度()036.8236.7436.6636.7836.810371237.21437.31637.41837.32037.222372436.8(1)在直

23、角坐标系中以时间为横轴，温度为纵轴，描述以上数据组对应的点的图像；(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据；(3)作出(2)中所选函数的图像解：(1)图像如下(2)设t时的体温yAsin(t)c，则c37，A0.4，.由0.4sin3737.4，得sin1，取.故可用函数y0.4sin37来近似描述这些数据(3)图像如下B.能力提升1.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致是()解析：选C.因为P0(，)，所以P0Ox，按逆时针转时间t后得POP0t，POxt，此时P点纵坐标为2sin，所以d2，当t0时，d，

24、排除A，D；当t时，d0，排除B.2据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()Af(x)2sin7(1x12，xN)Bf(x)9sin(1x12，xN)Cf(x)2sinx7(1x12，xN)Df(x)2sin7(1x12，xN)解析：选A.由得又T2(73)8.所以，所以f(x)2sin7，由f(3)9，得sin1.所以2k(kZ)又因为|，所以，所以f(x)2sin7.3.如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA2，B

25、为半圆上任意一点，以AB为边作等边ABC，设AOBx时，S四边形OACB等于_解析：如图，S四边形OACBSAOBSABC.过点B作BDMN于D，则BDBOsin(x)，即BDsin x.所以SAOB2sin xsin x.因为ODBOcos(x)cos x，所以AB2BD2AD2sin2x(cos x2)254cos x.所以SABCABABsin 60cos x.所以S四边形OACBsin xcos x.答案：sin xcos x4如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|3，P0为圆周上一点，且AOP0，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方

26、向作匀速圆周运动(1)1秒钟后，点P的横坐标为_(2)t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为_解析：(1)1秒钟后，点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为.(2)由题意得，周期为2，则t秒钟后，旋转角为t，则此时点P的横坐标为2cos，所以点P到直线l的距离为32cos，t0.答案：(1)(2)32cos(t0)5.一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度 rad/s做圆周运动已知绳子的长度为l，求：(1)P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；(2)点P的运动周期和频率；(3)如果

27、 rad/s，l2，试求y的最值；(4)在(3)中，试求小球到达x轴的非负半轴所需的时间解：(1)ylsin(t)，t0，)(2)由解析式得，周期T，频率f.(3)将 rad/s，l2，代入解析式，得到y2sin，t0，)得最小正周期T12.当t12k1.5，kN时，ymax2，当t12k7.5，kN时，ymin2.(4)设小球经过时间t后到达x轴非负半轴，令t2，得t10.5，所以当t0，)时，t12k10.5，kN，所以小球到达x轴非负半轴所需要的时间为10.512k，kN.6(选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24 单位：小时)而

28、周期性变化为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据平均值如下表：y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.41.0t(时)03691215182124(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从yatb，yAsin(t)b，yAcos(t)b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天进行训练的具体时间段解：(1)散点图如图(2)由散点图可知，选择yAsin(t)b函数模型较为合适由图可知A1.41.00.4，T12，b1，此时解析式为ysin1，以点(0，1.0)为“五点法”作图的第一关键点则有00，所以0.所求函数的解析式为ysin1(0t24)(3)由ysin1(0t24)，得sin，则2k2k，(kZ)，得112kt712k，(kZ)令k0，1，2，从而得0t7或11t19，或23t24，所以应在白天11时19时进行训练16