2014届高三数学一轮复习 （教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）专讲专练 7.7　数学归纳法.doc

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1、2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：7.7数学归纳法一、选择题1对于不等式n1(nN*)，某学生采用数学归纳法证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：n1的验证及归纳假设都正确，但从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求答案：D2用数学归纳法证明等式135(2n1)(n1)2(nN*)的过程中，第二步假设n

2、k时等式成立，则当nk1时应得到()A135(2k1)k2B135(2k3)(k2)2C135(2k1)(k2)2D135(2k3)(k3)2解析：nk1时，等式左边135(2k1)(2k3)(k1)2(2k3)(k2)2.答案：B3某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立现已知当n5时，该命题不成立，那么可推得()A当n6时，该命题不成立B当n6时，该命题成立C当n4时，该命题不成立D当n4时，该命题成立解析：因为当nk时命题成立可推出nk1时成立，所以n5时命题不成立，则n4时命题也一定不成立答案：C4已知123332433n3n13n(nab)

3、c对一切nN*都成立，则a、b、c的值为()Aa，bcBabcCa0，bc D不存在这样的a、b、c解析：等式对一切nN*均成立，n1,2,3时等式成立即整理得解得a，bc.答案：A5在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A. B.C. D.解析：由a1，Snn(2n1)an，得S22(221)a2，即a1a26a2.a2，S33(231)a3，即a315a3.a3，同理可得a4.答案：C6设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成

4、立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析：对于A，f(3)9，加上题设可推出当k3时，均有f(k)k2成立，故A错误对于B，逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误C显然错误对于D，f(4)2542，由题设的递推关系，可知结论成立答案：D二、填空题7若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系是_解析：f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)

5、2(2k2)2.答案：f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)28在数列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差数列(Sn表示数列an的前n项和)，则S2，S3，S4分别为_，由此猜想Sn_.解析：由Sn，Sn1,2S1成等差数列，得2Sn1Sn2S1，S1a11，2Sn1Sn2.令n1，则2S2S12123，S2.同理，分别令n2，n3，可求得S3，S4.由S11，S2，S3，S4，猜想Sn.答案：，9下面三个判断中，正确的是_f(n)1kk2kn(nN*)，当n1时，f(n)1；f(n)1(nN*)，当n1时，f(n)1；f(n)(nN*)，则f(k1)f(k).解析：中n1时，f(n

6、)f(1)1k不一定等于1，故不正确；中n1时，f(1)1，故正确；中f(k1)f(k)，故不正确答案：三、解答题10已知数列an中，a1，an1sin(nN*)，求证：0anan11.证明：n1时，a1，a2sin(a1)sin.0a1a21，故结论成立假设nk时结论成立，即0akak11，则0akak1.0sin(ak)sin(ak1)1，即0ak1ak21.也就是说nk1时，结论也成立由可知，对一切nN*均有0anan11成立11数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解析：(1)当n1时，a1S12

7、a1，a11.当n2时，a1a2S222a2，a2.当n3时，a1a2a3S323a3，a3.当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)证明：当n1时，a11，结论成立假设nk(k1且kN*)时，结论成立，即ak，那么nk1(k1且kN*)时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1.2ak12ak2.ak1，由可知，对nN*，an都成立12已知数列an，an0，a10，aan11a(nN*)记Sna1a2an，Tn.求证：当nN*时，(1)anan1；(2)Snn2.解析：(1)用数学归纳法证明当n1时，a2是方程x2x10的正根，a1a2.假设当nk(k1且kN*)时，akak1，aa(aak21)(aak11)(ak2ak1)(ak2ak11)，ak1ak2.即当nk1时，anan1也成立根据可知，anan1对任何nN*都成立(2)aaa21，aaa31，aaa41，aaan1，累加得a(a2a3an)(n1)a.a10，Snn1a，Sn1na.，得an11aa，0anan1，an11aa1.又anan1，得an1，Snn2.6