2013高考数学 解题方法攻略 二次绝对值不等式 理.doc

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1、与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。1设 ，当 时，总有 ，求证当 时， . 证明：由于 是二次函数， 在 上最大值只能是 ，或 ，故只要证明 ；当 时，有 ，由题意有 . 由 得 . . 当 时， . 因此当 时， .

2、 点评：从函数性质的角度分析，要证 时， ，只要证当 时， 的最大值 满足 . 而 又是二次函数，不论 、 、 怎么取值 在 上的最大值只能是 ，或 ，因而只要证明 ， ，这里需要特别指出的是要将 与 建立联系，将二次函数中的系数 用 、 、 表示：，然后用含有绝对值不等式的性质，进行适当放缩。2已知 是实数，函数 ，当 时， ，（1）证明： ；（2）证明：当 时， ；（3）设 ，当 时， 的最大值为2，求 . （1996年全国高考题）证明：（1）依题设得 ，而 所以 . （2）证法：当 时， 在 上是增函数。则 时，有 ，又 , ， ，因此得 . 当 时， 在 上是减函数，则当 时， . 又

3、 , ， ，因此得 . 当 时， , 综上可知，当 时，都有 . （3）依题意 ，故 在 上是增函数，又 在 上的最大值为2，故 ； ， . 。 当 时， ，即函数 在区间 的内点 上取得最小值为 ，所以， 是二次函数且它的图像是对称轴 是直线 ，由此得 ，即 . ，故 . 点评：本题运用了赋值法，函数的单调性、二次函数的最小值，含有绝对值不等式的性质等，问题（1）的设置意在降低难度，容易上手，抓住这2分，问题（3）的意义是证明问题（2）中的结论不能改进，从而是精确的，这样（2）、（3）合在一起构成问题的完整解答。本题的设计背景是：对于二次函数 和一次函数 ，给定条件“当 时， ”，则有结论“

4、当 时， ”. 更一般地，对于多项式函数 和 ，给定件“当 时， ”，则有结论“当 时， ”.3、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围(1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=,x1x2=|A1B1|2=(x1

5、x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的对称轴方程是(2,)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|()4、二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)0)，方程(x)x=0的两个根x1，x2满足0x1x2。 ()当X(0,x1)时，证明X(x)x1。 ()设函数(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0 。 解题思路： 本题要证明的是x(x)，(x)x1和x0 ，由题中所提供的信息可以联想到：(x)=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；方程(x)x=0可变为a

6、x2+(b1)x+1=0，它的两根为x1,x2，可得到x1,x2与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条图象法利用一元二次方程根与系数关系利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路为例解决这道题： ()先证明x(x)，令(x)=(x)-x，因为x1,x2是方程(x)-x=0的根，(x)=ax2+bx+c，所以能(x)=a(xx1)(xx2) 因为0x1x2,所以,当x(0,x1)时, xx10, xx20,又a0,因此(x) 0,即(x)-x0.至此,证得x(x) 根据韦达定理,有 x1x2= 0x1x2，c=ax1x2x=(x1), 又c=(0),(0)(0)，所以当x(0,x1)时(x)(x1)=x1， 即x(x)0） 函数(x)的图象的对称轴为直线x= ,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=，因为x1,x2是二次方程ax2+（b1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=，x20， x0=（x1+x2）,即x0=。7、二次函数的图像过原点，且，求的范围。分析：设，则也可以用待定系数法，设- 6 -