【中考12年】江苏省常州市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题10 四边形.doc

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1、2001-2012年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形一、 选择题1. （2001江苏常州2分）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是【】A矩形B.菱形C.梯形D.正方形【答案】D。【考点】等腰梯形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定。【分析】如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABCD，E、F、G、H分别是各边的中点，连接AC、BD。E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。同理FG=BD，GH=AC，EH=BD。又四边形ABCD是等腰梯形，AC=BD。EF=FG=GH=HE。四边形EFGH是菱形。故选D。2. （2001江苏常州2分）下列命题中的真命题是【】A

2、有一组邻边相等的四边形是菱形B.对角线相等的四边形是矩形C.有一组对边平行的四边形是梯形 D.对角线相等的菱形是正方形【答案】D。【考点】命题与定理，菱形、矩形、梯形、正方形的判定。【分析】根据菱形、矩形、梯形、正方形的判定作出判断：A、假命题，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形；B、假命题，例如等腰梯形，对角线也相等；C、假命题，例如平行四边形的一组对边也平行；D、真命题，符合矩形的判定定理。故选D。3. （江苏省常州市2005年2分）如图，等腰梯形ABCD中，ABDC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是【 】 A、 B、 C、 D、【答案】A。【考点】等腰梯形的性

3、质，勾股定理。【分析】知道等腰梯形的上底、下底，只要求出高，就可得梯形的面积：过D，C分别作高DE，CF，垂足分别为E，F，等腰梯形ABCD中，ABDC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，DC=EF=6，AE=BF=2。DE=，梯形ABCD的面积=。故选A。4. （江苏省常州市2008年2分）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是【 】A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形【答案】D。【考点】菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定。【分析】先证明四边形EFGH是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断：如图：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的

4、中点，EHFGBD，EH=FG=BD；EFHGAC，EF=HG= AC。四边形EFGH是平行四边形，又ACBD，EHEF，HEF=90。四边形EFGH是矩形。故选D。二、填空题1. （江苏省常州市2002年1分）四边形的对角线互相垂直，顺次连结它的各边中点所得的四边形是 .【答案】矩形。【考点】矩形的判定，三角形中位线定理。【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答：顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时，平行四边形的邻边也互相垂直，该四边形是是矩形。2. （江苏省常州市2003年1分）如图，梯形ABCD中，ADBC，G、F、E、H分别是边AB、BC

5、、CD、DA的中 点，梯形ABCD的边满足条件 时，四边形EFGH是菱形。【答案】AC=BD。【考点】三角形中位线定理，菱形的判定。【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，故可添加：AC=BD。如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是ABD、BCD的中位线，EF、HG分别是ACD、ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG= AC，当AC=BD，有EH=FG=FG=EF，则四边形EFGH是菱形。3. （江苏省常州市2004年2分）如图，点D是RtABC的斜

6、边AB上的一点，DEBC于E，DFAC于F，若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是 。【答案】150。【考点】矩形的判定和性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】DFAC，DEBC，DFC=C=DEC=90，四边形DFCE是矩形。DFBC，则ADF=B。又AFD=DEB，ADFDBE。，即DEDF=AFBE=150。四边形DFCE的面积=DEDF=150。4. （江苏省常州市2005年2分）如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于 cm，四边形EFGH的面积等于 cm2. 【答案】；8。【考点】

7、正方形的性质，三角形中位线定理。【分析】根据已知可求得ABCD的边长及对角线的长，根据中位线的性质可得到EFGH的边长，从而可求得其周长及面积：正方形ABCD的周长为16cm，则它的边长为4，对角线是 ，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，所以利用中线性质可得四边形EFGH的边长为。四边形EFGH的周长等于 。由正方形的定义可知四边形EFGH是正方形，所以面积等于8。5. （江苏省2009年3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为 cm2【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求

8、得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，EF是梯形ABCD的中位线，DEF的高为 。DEF的面积为，。梯形ABCD的面积为。三、解答题1. （江苏省常州市2002年8分）已知：在菱形ABCD中，BAD=600，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为（）（1） 画出符合题目条件的菱形与直角坐标系。（2） 写出A，B两点的坐标。（3） 设菱形ABCD的对角线的交点为P，问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由。（第37题不必写出计算过程）【答案】解：（1）本题有两种情况。画图，如

9、图所示： 图1 图2（2）图1时：A（0，2），B（）；图2时：A（0，14），B（）（3）图1时：F（0，8）；图2时：F（0，4）。【考点】菱形的性质，坐标与图形性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，含300角直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的判定。【分析】（1）本题可分两种情况，如图。（2）情况一，如图1，过C作CFy轴于F，CDF=60，CF= ，。OA=OFAF=8（42）=2。A点坐标为（0，2）。又菱形的边长为4，因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标（）。情况二，如图2，过C作CFy轴于F，CDF=60，CF= ，。OA=OFA

10、F=8（42）=14。A点坐标为（0，14）。又菱形的边长为4，因此将C点坐标向上平移4个单位就是B点的坐标（）。（3）在（2）中所作的F点其实就是P点关于CD的对称点，理由如下：设CD与FP相交于点E，根据菱形的性质可知：FAC=30，在RtFAC中，FC=AC=PC。而DCF=DCP=30，CE=CE，CFECPE（SAS）。CD垂直平分PF，即可得出P、F关于CD对称。由（2）即可得到两种情况下的点F 为（0，8）和（0，4）。2. （江苏省常州市2003年6分）如图，在平行四边形ABCD中，EFBC，GHAB，EF、GH的交点P在BD上图中有 对四边形面积相等；他们是 。【答案】解：

11、3；SAEPG=SPHCF、SABHG=SEBCF、SAEFD=SCDGH。【考点】平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质即可推出3对四边形的面积相等。在平行四边形ABCD中，BD是对角线，SABD=SDBC，SBEP=SBHP，SGPD=SDPF。让最大的三角形面积减去其他两个小三角形面积可得：，都加上SEBHP可得SABHG=SEBCF，再都加上SGPFD可得：SAEFD=SCDGH。S四边形ABPG=SABDSGPD=SBCDSPFD=S四边形CBPF；S四边形ADPE=SABD-SEPB=SCBD-SHPB=S四边形CDPH。图中有3对四边形面积相等，即：SAEPG=SPHCF、

12、SABHG=SEBCF、SAEFD=SCDGH。3. （江苏省常州市2004年7分）已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：ABCD；OA=OC；AB=CD；BAD=DCB；ADBC。（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）：如与、 。（2）对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明。4. （江苏省常州市2005年5分）如图，在ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DEBC，EFAB，且F是BC的中点求证：DE=CF【答案】证明：DEBC，EFAB，

13、 四边形BDEF是平行四边形 。 DE=BF 。F是BC的中点，BF=CF。 DE=CF。 【考点】平行四边形的判定和性质。【分析】利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形BDEF是平行四边形；再根据平行四边形的对边相等可得DE=BF，由中点的定义可得BF=CF；由等量代换可得DE=C F。5. （江苏省常州市2006年5分）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交与点O，ABCD，AO=CO，求证：四边形ABCD是平行四边形。【答案】证明： ABCD，BAO=DCO。AO=CO，AOB=COD ， ABOCDO（ASA）。AB=CD。四边形ABCD是平行四边形。 【考点】平

14、行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证ABOCDO，由已知条件很快确定ASA，即证。6. （江苏省常州市2006年6分）在平面直角坐标系中描出下列各点A（2，1），B（0，1），C（），D（6，），并将各点用线段一次连接构成一个四边形ABCD。（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？答：（2）在四边形ABCD内找一点P，使得APB、BPC、CPD、APD都是等腰三角形，请写出P点的坐标。【答案】解：画图如下： （1）等腰梯形。 （2）P点的坐标为，（），（），。【考点】坐标与图形

15、性质，等腰梯形的判定，线段中垂线的性质，勾股定理。【分析】（1）由A（2，1），B（0，1），C（），D（6，）得ABDC，BC不平行于AD, 四边形ABCD是梯形。 又由勾股定理可得 ， BC=AD。四边形ABCD是等腰梯形。（2）如图，作AB和BC的中垂线，二者交点P即为所求。 由线段中垂线的性质和等腰梯形的对称性，得PA=PB=PC=PD， APB、BPC、CPD、APD都是等腰三角形。 此时，由点P在AB的中垂线上，点P的横坐标为1。 设点P的坐标为（1，y），由勾股定理，得 ，。 ，解得。 P的坐标为（1，4）。 如图，以点B为圆心BC长为半径交AB的中垂线于点P， 点P即为所求，此

16、时有两点。 由线段中垂线的性质、圆的性质和等腰梯形的对称性， 得PA=PB=BC=AD，PC=PD，APB、BPC、CPD、APD都是等腰三角形。 此时，由点P在AB的中垂线上，点P的横坐标为1。 设点P的坐标为（1，y），由勾股定理，得 ，。 ，解得。 P的坐标为（）或（）。 如图，以点C为圆心BC长为半径交AB的中垂线于点P， 点P即为所求，此时有两点。 由线段中垂线的性质、圆的性质和等腰梯形的对称性， 得PC=PD=BC=AD，PA=PB，APB、BPC、CPD、APD都是等腰三角形。 此时，由点P在AB的中垂线上，点P的横坐标为1。 设点P的坐标为（1，y），由勾股定理，得，。 ，解得

17、。 P的坐标为（）或（）。 当APB是以AB为腰或CPD是以CD为腰的等腰三角形时，BPC和APD都不可能是等腰三角形（可以验证）。 综上所述，满足条件的点P的坐标为，（），（），。7. （江苏省常州市2007年5分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC边于点E求证：BE=CD【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AB=CD。DAE=BEA。AE平分BAD，BAE=DAE。BAE=BEA。AB=BE。又AB=CD，BE=CD。【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定。【分析】先根据平行四边形的性质，求出AB=CD，DAE=BEA，再根据角平分

18、线的性质，确定BAE=DAE，结合等腰三角形等角对等级边的判定证出BE=CD。8. （江苏省常州市2007年6分）如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是，越小，菱形越接近于正方形若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于 ；当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义【答案】

19、解：（1）40。0。（2）不合理。例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等。合理定义方法不唯一，如定义为。越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形。【考点】新定义，菱形、矩形和正方形的判定和性质。【分析】（1）由菱形的一个内角为700，则另一个内角为1100。“接近度”。 根据正方形的判定，有一个角是直角的菱形是正方形，则由得。（2）不合理。合理定义方法不唯一。9. （江苏省常州市2007年9分）已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，连接（1）当时，求的面积；（2）设，用含的代数式表示的面积

20、；（3）判断的面积能否等于，并说明理由【答案】解：（1）正方形的边长为6，。又，即菱形的边长为。在和中，。，。，菱形是正方形。同理可以证明。，即点在边上，同时可得。（2）作，为垂足，连结。，。，。在和中，。无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2。（3）若，由，得。此时，在中，。相应地，在中，即点已经不在边上。故不可能有。【考点】正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，反证法的应用。【分析】（1）由已知可用证得和，从而此时菱形是正方形。同理可以证明，从而证得点在边上，同时可得。面积可求。（2）通过的证明，得到无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2的结论。的面积可求。（3

21、）用反证法，先假设，得出与已知条件矛盾的结论。从而证明。10. （江苏省常州市2008年7分）已知:如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EFED.求证:AE平分BAD.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，B=C=BAD=90，AB=CD。BEF+BFE=90。EFED，BEF+CED=90。BFE=CED。BEF=CDE。又EF=ED，EBFDCE（ASA）。BE=CD。BE=AB。BAE=BEA=45。EAD=45。BAE=EAD。AE平分BAD。【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质。【分析】要证AE平分BAD，可转化为ABE为等

22、腰直角三角形，得AB=BE，又AB=CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定，和矩形的性质，可确定ASA即求可得证。11. （江苏省2009年10分）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形【答案】解：（1）AD=BC。理由如下：ADBC，ABDE，AFDC，四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形。AD=BE,AD=FC，又四边形AEFD是平行四边形，AD=EF。AD=BE=EF=FC。AD=BC。（2）证明：四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，DE=AB,AF=DC。AB=DC，DE

23、=AF。又四边形AEFD是平行四边形，四边形AEFD是矩形。【考点】梯形，平行四边形的判定和性质，矩形的判定。【分析】（1）由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出AD=BC的结论。（2）根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形只要证明DE=AF即可得出结论。12. （江苏省常州市2010年7分）如图，在ABC中，ABAC，D为BC中点。四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。13. （2011江苏常州7分）已知：如图，在梯形ABCD中，ABCD，BC=CD，ADBD，

24、E为AB的中点。求证：四边形BCDE是菱形【考点】梯形, 等腰三角形，直角三角形，平行，菱形。15. （2012江苏常州7分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。求证：AE=AF。【答案】证明：连接CE。ADBC，AEO=CFO，EAO=FCO，。 又AO=CO，AEOCFO（AAS）。AE=CF。四边形AECF是平行四边形。又EFAC，平行四边形AECF是菱形。AE=AF。【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由已知，根据AAS可证得AEOCFO，从而得AE=CF。根据一组

25、对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EFAC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。16. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。（1）写出y与x之间的函数关系式 ；（2）若点E与点A重合，则x的值为 ；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：

26、（1）y=x24x。 （2）或。 （3）存在。 过点P作PHAB于点H。则 点D关于直线PE的对称点D落在边AB上， P D=PD=4x，E D=ED= y=x24x，EA=ADED= x24x2，P DE=D=900。 在RtDP H中，PH=2， DP =DP=4x，DH=。 E DA=1800900P DH=900P DH=DP H，P DE=P HD =900， E DADP H。，即， 即，两边平方并整理得，2x24x1=0。解得。当时，y=，此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。当时，y=，此时，点E在边AD上，符合题意。当时，点D关于直线PE的对称点D落在边AB上。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。【分析】（1）CM=1，CP=x，DE=y，DP=4x，且MCPPDE， ，即。y=x24x。（2）当点E与点A重合时，y=2，即2=x24x，x24x2=0。 解得。（3）过点P作PHAB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D落在边AB上，可得E DA与DP H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。18用心 爱心 专心