火线100天遵义专版2016中考数学总复习专题复习三二次函数与几何图形综合.doc

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1、二次函数与几何图形综合(2015贵阳)如图，经过点C(0，4)的抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交于A(2，0)，B两点(1)a_0，b24ac_0(填“”或“”)；(2)若该抛物线关于直线x2对称，求抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由. 【思路点拨】(1)根据二次函数的图象与性质，确定a及b24ac的正负；(2)用待定系数法求抛物线的函数表达式；(3)由平行四边形性质及点在抛物线上求得点E的

2、坐标【解答】(1)由抛物线开口向上，可知a0；由抛物线与x轴有两个不同的交点，可知b24ac0.(2)由题意得解得抛物线的函数表达式是yx2x4.(3)存在理由如下：当点E在x轴下方，过点E作AC的平行线交x轴于点F，如图1, 四边形ACEF是平行四边形，CEAF，这时点E的纵坐标为4，则x2x44，解得x0或x 4，故E点的坐标是(4，4)当点E在x轴上方，过点E作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，过点E作EDx轴于点D，如图2, 四边形ACFE是平行四边形，EFAC，EFAC.EFDCAO，又AOCFDE90.ACOFED.EDOC.这时点E的纵坐标为4，则x2x44，解得x22 .故E

3、点的坐标是(22，4)，(22，4)综上所述，E点坐标为(4，4)或(22，4)或(22，4)(1)解决存在性问题的一般步骤是：首先假设其存在，画出相应的图形；然后根据所画图形进行解答，得出某些结论，若结论符合题目要求或是定义定理，则假设成立；若出现与题目要求或是定义定理相悖的情况，则假设错误，不存在(2)分类讨论是一种重要的数学思想，当问题涉及的元素具有不确定性时，往往需要运用分类讨论思想对该元素的不同情况进行分类讨论对于某些不确定的情况，如由于时间变化引起的数量变化、等腰三角形的腰或底的不确定、直角三角形直角的不确定、运动问题、旋转问题等，当情况不唯一时，我们就要分类讨论在进行分类讨论时，

4、要根据题目要求或是时间变化等，做到不重不漏地解决问题(2015遵义)如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2). (1)求抛物线的解析式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；(3)以AB为直径作M，直线经过点E(1，5)，并且与M相切，求该直线的解析式【思路点拨】 (1)根据A、B、C三点为抛物线上的点列出方程组，求出抛物线的解析式；(2)过D作DHx轴交直线AC于点G，设D点横坐标为m，用割补法把ACD的面积用含m的式子表示出来，求出ACD面积的最大

5、值及D点坐标；(3)过E的直线与M切于点N交x轴于点F，利用相似三角形的性质与判定或用三角函数求出点F坐标，从而求出直线的解析式【解答】(1)抛物线yax2bxc(a0)过A(4，0)，B(2，0)，C(0，2)三点，解得抛物线的解析式为yx2x2.(2)过D作DHx轴交直线AC于点G，设D点横坐标为m，则DHm2m2，AHm4，OHm.设直线AC的解析式为ykxb，则解得直线AC的解析式为yx2.G(m，m2)DGm2m2(m2)m2m.SADCSADGSCDGDGAHDGOHDG(AHOH)DGAO，SADC(m2m)4m22m(m2)22.0，SADC面积有最大值当m2时，SADC面积的

6、最大值为2，此时D点的坐标为(2，2)(3)如图，设过点E的直线与M切于点N，交x轴于点F，连接MN，A(4，0)，B(2，0)，AB为M的直径，AB6，M(1，0)MNAB3.E(1，5)，ME5，FME90.EF与M切于点N，MNE90.EN4.MNEFME，MENFEM，MNEFME.，即.MF.FO1或FO1.F(，0)或(，0)设直线EF的解析式为ykxb，当F(，0)时，则有解得直线EF的解析式为yx.当F(，0)时，则有解得直线EF的解析式为yx.综上所述，直线EF的解析式为yx或yx.解这类问题关键是：(1)善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函

7、数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件；(2)会用待定系数法求函数解析式；(3)利用“数形结合”的思想，按照“解析式坐标距离(线段长度)几何图形性质及应用”的思路进行思考；(4)周长最短、面积最大等，一般都是先化为二次函数的顶点式，再得出最大值或最小值(2015黔南)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc，过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.(1)求b，c的值；(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A，B

8、，D为顶点的三角形与AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】(1)用待定系数法求出二次函数的解析式，从而得到b、c的值；(2)利用AOPPEB，用含t的式子表示出D的坐标，再代入到二次函数的解析式中求出t的值；(3)当P在线段OC上和点C的右侧时，根据相似三角形的对应关系分类讨论【解答】(1)由抛物线yx2bxc过点A(0，4)和C(8，0)，得解得(2)AOPPEB90，OAP90APOEPB，AOPPEB，且相似比为2.AO4，PE2，OEOPPEt2.又DEOA4，点D的坐标为(t2，4)点D落在抛物线上时，有(t2)2(t2)44.解得t3或t2.t0，t3，

9、故当t为3时，点D落在抛物线上(3)存在t，能够使得以A、B、D为顶点的三角形与AOP相似，理由如下：当0t8时，若POAADB，则，即，整理得t2160，所以t无解若POABDA，同理，得t22(负值舍去)；当t8时，若POAADB，则，即，解得t84(负值舍去)若POABDA，同理，得t无解综上所述，当t22或t84时，以A、B、D为顶点的三角形与AOP相似关于动点的问题，一般都要注意动点在不同位置时，对几何图形的影响三角形相似时，若没有用相似符号标记，也要注意不同的对应关系所以对于这样的一类问题需要分类讨论，做到不重复，也不要遗漏(2015铜仁)如图，已知：关于x的二次函数yx2bxc的

10、图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D 与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问M、N运动到何处时，MNB的面积最大，试求出最大面积【思路点拨】(1)根据A、C两点坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)分别以线段BC为腰和底确定P点的位置并求得坐标；(3)把MNB的面积用二次函数的表达式表

11、示出来，应用二次函数求得MNB的最大面积【解答】(1)二次函数yx2bxc经过点A(1，0), C(0，3)，解得二次函数的表达式为yx24x3.(2)存在令y0，则x24x30，解得x1或x3.B(3，0)当以BC为底边时，由于OBOC3，点O符合条件，即有点P1(0，0)，使PBC为等腰三角形；当以PB为底边时，BC为腰时，PCBC3，当点P在C点上方时，P2点坐标为(0，33)；当点P在C点下方时，P3点坐标为(0，33)当以PC为底边时，BC为腰时，OPOC，P点和C点关于原点对称，即点P4坐标为(0，3)综上所述，符合条件的P点有P1(0，0)，P2(0，33)，P3(0，33)，P

12、4(0，3)，使PBC为等腰三角形(3)设点M运动t个单位时，MNB的面积最大，二次函数yx2bxc经过点A(1，0), B(3，0)，OA1，OB3.BMOBOAAM31t2t.点N的速度是点M的2倍，DN2t.SMNB(2t)2t(t1)21，当t1时，MNB的面积有最大值为1.即当M(2，0)、N(2，2)或N(2，2)时，MNB的面积最大，最大面积为1.(1)会用待定系数法求函数解析式；(2)对于单个图形形状的存在性判断，先假设图形形状存在，然后根据图形的特殊性求出存在的条件(即要求的点的坐标)当图形的形状无法确定唯一时，还应该根据已知条件进行分类；(3)在运动中求最大值或最小值时，通

13、常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决；对于数形结合的思想的应用要注意几何图形的性质为相应的函数或方程提供的条件的应用类型之一二次函数与存在等腰三角形1(2015黔东南)如图，已知二次函数y1x2xc的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2kxb.(1)求二次函数的解析式及点B的坐标；(2)由图象写出满足y10)与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B(x1，0)，C(x2，0)，且x2x14.直线ADx轴，在x轴上有一动点E(t，0)，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.(1)求抛物线的

14、解析式；(2)当0t8时，求APC面积的最大值；(3)当t2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由类型之三二次函数与存在特殊四边形1(2015毕节)如图，抛物线yx2bxc与x轴相交于A(1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线A M与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积；(3)是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由2(2015泸州)如图，已知二次函数的图象M经过A(1，0)，B

15、(4，0)，C(2，6)三点(1)求该二次函数的解析式；(2)点G是线段AC上的动点(点G与线段AC的端点不重合)，若ABG与ABC相似，求点G的坐标；(3)设图象M的对称轴为l，点D(m，n)(1m2)是图象M上一动点，当ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由类型之四二次函数与线段相关的存在性问题1(2014黔东南)如图，直线yx2与抛物线yax2bx6(a0)相交于A(，)和B(4，m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C.(

16、1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求PAC为直角三角形时点P的坐标2(2014毕节)如图，抛物线yax2bxc(a0)的顶点为A(1，1)，与x轴交点M(1，0)C为x轴上一点，且CAO90，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F(1，0)(1)求抛物线的解析式； (2)求直线AC的解析式及B点坐标；(3)过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D(0，2)且垂直于y轴的直线于E点，若P是BEF的边EF上的任意一点，是否存在BPEF？若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由类型之五二次函数与面积问题1

17、(2015黔西南)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90得到平行四边形ABOC.抛物线yx22x3经过点A、C、A三点(1)求A、A、C三点的坐标；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形ABOC重叠部分的面积；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标2.(2014六盘水)如图，二次函数yx2bxc的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是(2，0)，B点的坐标是(8，6)(1)求二次函数的解析式；(2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；(3)该二次函数的对称轴交x轴于

18、C点连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求BDE的面积；(4)抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成ADP，是否存在SADPSBCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1(1)将A(4，0)代入y1x2xc，得424c0，解得c3.所求二次函数的解析式为y1x2x3.当x0时，y13，点B的坐标为(0，3)(2)满足y1y2的自变量x的取值范围是：x4.(3)存在，理由如下：作线段AB的中垂线l，垂足为C，交x轴于点P1，交y轴于点P2.A(4，0)，B(0，3)，OA4，OB3.在RtAOB中，AB5.ACBC.RtACP1与RtAOB有公共OAB，RtA

19、CP1RtAOB.，即，解得AP1.而OP1OAAP14，点P1的坐标为(，0)又RtP2CB与RtAOB有公共OBA，RtP2CBRtAOB.，即，解得P2B.而OP2P2BOB3，点P2的坐标为(0，)所求点P的坐标为(，0)或(0，)2(1)将A(0，6)，B(2，0)代入yx2bxc，得解得yx22x6，顶点坐标为(2，8)(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m0)个单位长度，得到新抛物线y1(x21)28m，P(1，8m)在抛物线yx22x6中易得C(6，0)，直线AC为y2x6.当x1时，y25，58m0.解得3m8.(3)A(0，6)，B(2，0)，线

20、段AB的中点坐标为(1，3)，直线AB的解析式为y3x6.过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式为yx.当3m时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形； 当m时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；当m8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形类型之二二次函数与存在相似三角形(1)由A(0，2)知OA2，在RtABO中，AOB90，AB2，OB2.B(2，0)根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为(4，0)设直线AC的函数解析式为ykxn，则解得直线AC的函数解析式为yx2.(2)设过点A，C，D的抛物线的函数解析式为yax2bxc，则解得抛物线的函数解析式为yx2x2.(3)点P(m，n)(n0)在抛物

21、线yx2x2上，m2或m4，nm2m20.PMm2m2.RtPCM与RtAOC相似，或2.若m2，则MC4m.当时，解得m14，m24(不合题意，舍去)，此时点P的坐标为(4，4)；当2时，2，解得m110，m24(不合题意，舍去)，此时点P的坐标为(10，28)； 若m4，则MCm4.当时，解得m10，m24，不合题意，舍去；当2时，2，解得m16，m24(不合题意，舍去)，此时点P的坐标为(6，4)综上所述，所求点P的坐标为(4，4)或(10，28)或(6，4)2(1)由题意知x1，x2是方程mx28mx4m20的两根，x1x28.由解得B(2，0)，C(6，0)则4m16m4m20，解得

22、m.该抛物线的解析式为yx22x3.(2)由(1)知A(0，3)，C(6，0)，直线AC的解析式为yx3.要构成APC，显然t6，下面分两种情况讨论：当0t6时，设直线l与AC的交点为F，则F(t，t3)P(t，t22t3)，PFt3(t22t3)t2t.SAPCSAPFSCPF(t2t)t(t2t)(6t)(t2t)6(t3)2.当t3时，APC面积的最大值是.当6t8时，延长AC交直线l于点H，则H(t，t3)，则PHt22t3(t3)t2t.SAPCSPAHSPCH(t2t)t(t2t)(t6)(t2t)6(t3)2.此时，当t8时，APC面积的最大值是12.综上所述，当t8时，APC面

23、积的最大值是12.(3)由题意可知OA3，OB2，Q(t，3)，t2.当点P在直线AD下方时，令AOBAQP，.解得t0(舍去)或t；令AOBPQA，.解得t0(舍去)或t2(舍去)；当P在直线AD上方时，令AOBAQP，.解得t0(舍去)或t；令AOBPQA，.解得t0(舍去)或t14.综上所述，满足条件的点P有3个，此时t的值分别是，14.类型之三二次函数与存在特殊四边形1(1)由题意，将A(1，0)，B(3，0)的坐标代入抛物线方程得解得抛物线的解析式为yx22x3.(2)yx22x3(x1)24，抛物线顶点M(1，4)，其关于x轴的对称点M(1，4)设直线AM的解析式为ykxm，则解得

24、直线AM的解析式为y2x2.由解得直线AM与抛物线的交点A(1，0)，C(5，12)又AB4，SABCAByc41224.(3)假设存在满足条件的抛物线使四边形APBQ为正方形由该抛物线过A(1，0)，B(3，0)两点，可设抛物线方程为ya(x1)(x3)，其中a0.ya(x22x3)a(x1)24a，抛物线顶点P(1，4a)P(1，4a)关于x轴的对称点Q(1，4a)PQ|8a|.四边形APBQ为正方形，其对角线PQ与AB互相垂直平分且相等，PQAB，即|8a|4.a.假设成立，存在满足条件的抛物线，其解析式为yx2x或yx2x.2(1)二次函数的图象M经过A(1，0)，B(4，0)两点，可

25、设二次函数的解析式为ya(x1)(x4)二次函数的图象M经过点C(2，6)，6a(21)(24)，解得a1.二次函数的解析式为y(x1)(x4)，即yx23x4.(2)设直线AC的解析式为ysxt，把A、C坐标代入可得解得直线AC的解析式为y2x2，设点G的坐标为(k，2k2)(1k2)G与C点不重合，ABG与ABC相似只有AGBABC一种情况.AB5，AC3，AG|k1|，|k1|，k或k(舍去)点G的坐标为(，)(3)能理由如下：过D点作x轴的垂线交AC于点H，D(m，n)(1m2)，H(m，2m2)点D(m，n)在图象M上，D(m，m23m4)ACD的面积为，2m2(m23m4)(m1)

26、(2m)，即4m24m10，解得m.D(，)yx23x4(x)2，图象M的对称轴l为x.点D关于l的对称点为E，E(，)，DE2.若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则PQDE且PQDE2.点P的横坐标为2或2.点P的纵坐标为()2.点P的坐标为(，)或(，)类型之四二次函数与线段相关的存在性问题1(1)B(4，m)在直线yx2上，m426，B(4，6)A(，)、B(4，6)在抛物线yax2bx6上，解得抛物线的解析式为y2x28x6.(2)设动点P的坐标为(n，n2)，则C点的坐标为(n，2n28n6)，PC(n2)(2n28n6)2n29n42(n)2.(n4)20，当n时，线

27、段PC有最大值为.(3)当PAC90时，设直线AC的解析式为yxc，把A(，)代入，得c，解得c3.直线AC解析式为yx3.点C在抛物线上，设C(n，2n28n6)，代入yx3，得2n28n6n3.整理得2n27n30.解得n3或n(与A点重合，应舍去)P(3，5)当ACP90时，可知ACx轴，C点纵坐标为，可求得C点横坐标为.P点横坐标为，纵坐标为yP2.P点坐标为(，)综上所述，PAC为直角三角形时，点P的坐标为(3，5)或(，)2(1)设抛物线解析式为ya(x1)21，将(1，0)代入得0a(11)21，解得a，抛物线的解析式为y(x1)21.(2)A(1，1)，COA45.CAO90，

28、CAO是等腰直角三角形ACAO.C(2，0)设直线AC的解析式为ykxb，将A，C点代入，得解得直线AC的解析式为yx2.将y(x1)21和yx2联立得解得B点坐标为(5，3)(3)过点B作BPEF于点P，由题意可得：E(5，2)，设直线EF的解析式为：ymxn，则解得直线EF的解析式为yx.直线BPEF，设直线BP的解析式为y2xe.将B(5，3)代入得32(5)e.解得e7.直线BP的解析式为y2x7.将y2x7和yx联立得解得P(3，1)故存在P点使得BPEF，此时P(3，1)类型之五二次函数与面积问题1(1)当y0时，x22x30，解得x13，x21，C(1，0)，A(3，0)当x0时

29、，y3，A(0，3)(2)设AC与OB相交于点D.C(1，0)，A(0，3)，B(1，3)OB.SBOA13.又平行四边形ABOC旋转90得到平行四边形ABOC，ACOOCD.又ACOABO，ABOOCD.又CODAOB， COD BOA.()2()2.SCOD.(3)设M点的坐标为(m，m22m3)，连接OM.SAMASMOASMOASAOA3(m22m3)3m33m2m(m)2.(0m3)当m时，SAMA取到最大值，M(，)2(1)二次函数yx2bxc的图象过A(2，0)，B(8，6)解得二次函数解析式为yx24x6.(2)由yx24x6，得y(x4)22，函数图象的顶点坐标为(4，2)点

30、A，D是yx2bxc与x轴的两个交点，A(2，0)，对称轴为x4，点D的坐标为(6，0)(3)二次函数的对称轴交x轴于C点，C点的坐标为(4，0)设BC所在直线的解析式为ykxb，B(8，6)，解得BC所在的直线解析式为yx6.E点是yx6与yx24x6的交点，x6x24x6.解得x13，x28(舍去)当x3时，y，E(3，)SBDESCDBSCDE262.(4)存在，设点P到x轴的距离为h.SBCD266，SADP4h2h，SADPSBCD，2h6，解得h.当P在x轴上方时，x24x6，解得x14，x24.当P在x轴下方时，x24x6，解得x13，x25.存在4个这样的点P，它们分别是P1(4，)，P2(4，)，P3(3，)，P4(5，)18